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第2课时　椭圆方程及其性质的应用
学习目标 1.了解椭圆在实际生活中的应用. 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
应用一　直线与椭圆的位置关系
已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)若(，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；
(2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？
解：(1)因为(，n)在椭圆内，
所以＋n2＜1，解得－＜n＜.
所以n的取值范围是.
(2)由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(4m2－5m2＋5)＝16(5－m2).
当Δ＝16(5－m2)＞0，即－＜m＜时，直线与椭圆相交；
当Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝±时，
直线与椭圆相切；
当Δ＝16(5－m2)＜0，即m＞或m＜－时，直线与椭圆相离.
直线与椭圆位置关系的判断方法
对点练1.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围.
解：因为直线y＝kx＋1过定点A(0，1).由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上.
所以＋≤1，所以m≥1.又椭圆焦点在x轴上，所以m＜5，
故m的取值范围为[1，5).
应用二　直线与椭圆的相交弦问题
已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
解：(1)由已知可得直线l的方程为
y－2＝(x－4)，
即y＝x.由
可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是｜AB｜＝
＝
＝＝×6＝3，
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：易知直线l的斜率存在，不妨设为k，则其方程为y－2＝k(x－4).
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ＞0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4).
即y＝－x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0.
整理得kAB＝＝－，
由于P(4，2)是AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
1.直线与椭圆相交弦长的求法 (1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点距离公式求弦长. (2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则 由①－②， 得－)＋－)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
对点练2. 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程.
解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为M(2，1)为AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则＋4＝16，＋4＝16，
两式相减，得(－)＋4(－)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
经检验，所求直线满足题意.
对点练3.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且｜PQ｜＝，求椭圆方程.
解：因为e＝，所以b2＝a2，所以椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0得a2＞32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]，所以a2＝36，b2＝9.所以椭圆方程为＋＝1.
应用三　与椭圆有关的最值(范围)问题
(1)已知椭圆C：＋x2＝1的离心率为，P为椭圆C上的一个动点，定点A，则的最大值为(　　)
A. B.2
C. D.3
(2)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点.①若A(1，1)是一定点，则｜PA｜＋｜PF｜的最大值为　　　　；②若M(3，3)是一定点，则｜PM｜＋｜PF｜的最大值为　　　　.
答案：(1)B 　(2)①6＋　②6＋
解析：(1)因为椭圆C：＋x2＝1，所以椭圆的离心率e＝＝＝，又b2＝1，则a2＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.设椭圆上一动点P(x0，y0)，则＝2－2，所以＝＝＝＝，因为－1≤x0≤1，所以当x0＝1时，取最大值2.故选B.
(2)设椭圆的右焦点为F2，①根据椭圆的定义：｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PA｜＋｜PF｜取得最大值时，即｜PA｜－｜PF2｜最大，如图①所示.｜PA｜＋｜PF｜≤2a＋｜AF2｜＝6＋＝6＋，当P，A，F2共线且F2在A，P之间时取得最大值.所以｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋﹒
②根据椭圆的定义：｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PM｜＋｜PF｜取得最大值时，即｜PM｜－｜PF2｜最大，如图②所示.｜PM｜＋｜PF｜≤2a＋｜MF2｜＝6＋＝6＋，当P，M，F2共线且F2在P，M之间时取得最大值.所以｜PM｜＋｜PF｜的最大值为6＋﹒
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 1.定义法：利用定义转化为几何问题处理. 2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. 3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
对点练4.(1)点P为椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则·的最大值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.不存在
(2)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大时，点M的坐标为　　　　　　.
答案：(1)B　(2)
解析：(1)设P(x，y)，F1(－1，0)，F2(1，0)，所以·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2＋y2－1＝x2＋3－x2－1＝x2＋2(－2≤x≤2)，所以当x＝±2时，取到最大值，最大值为3.故选B.
(2)设直线x＋2y＋b＝0与椭圆＋＝1相切，联立方程得25y2＋16by＋4b2－36＝0①，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(16b)2－4×25(4b2－36)＝0，得b＝±5，结合直线与椭圆的位置关系，当b＝5时，x＋2y＋5＝0与x＋2y－10＝0的距离最大，最大距离为3，把b＝5代入①得，25y2＋80y＋64＝(5y＋8)2＝0，得y＝－，代入x＋2y＋5＝0，得x＝－，所以点M的坐标为(－，－).
1.已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A.1 B.1或2
C.2 D.0
答案：C
解析：因为直线过定点(3，－1)且＋＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.
2.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是　　　　　　　.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又因为直线与椭圆有两个公共点，
所以Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m
＝12m2－12m＞0，
解得m＞1或m＜0.
又因为m＞0且m≠3，所以m＞1且m≠3.
3.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为　　　　.
答案：4，3
解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.
4.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长.
解：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2，
所以直线AB的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝0.
所以｜AB｜＝
＝
＝
＝＝.
课时测评29　椭圆方程及其性质的应用
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A.－＜a＜ B.a＜－或a＞
C.－2＜a＜2 D.－1＜a＜1
答案：A
解析：由题意知＋＜1.
解得－＜a＜.
2.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：椭圆的左焦点F1(－，0)，kAB＝，故直线AB：y＝(x＋)，由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式得｜AB｜＝＝.
3.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A.3 B.2
C.2 D.4
答案：C
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0.由Δ＝0及c＝2，可得a2＝7，所以2a＝2.故选C.
4.若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
答案：C
解析：由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0.
当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点，故选C.
5.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1.
由
得＋＝0，
所以＝－＝1，所以＝，
故椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.
6.直线y＝x＋m(m∈R)被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为　　　　.
答案：－
解析：由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，
设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
所以－＝，解得m＝－，
由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－.
7.椭圆x2＋2y2＝2与直线y＝x＋m交于A，B两点，且｜AB｜＝，则实数m的值为　　　　.
答案：±1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝
＝
＝.
解得m2＝1，即m＝±1.
8.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则椭圆的离心率为　　　　，若过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其中一点为A，则｜F1A｜＝　　　　.
答案：　
解析：由题意，可得a＝2，b＝，则c＝1，所以椭圆的离心率e＝＝.过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，所以｜AF2｜＝＝.由椭圆的定义，可知｜F1A｜＝2a－｜AF2｜＝4－＝.
9.(10分)已知椭圆有两个顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，若｜CD｜＝，求直线l的方程.
解：因为椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由已知得b＝1，c＝1，所以a＝.
所以椭圆方程为＋x2＝1.
当直线l垂直于x轴时CD＝2，与题意不符，
故设直线l的方程为y＝kx＋1，联立椭圆方程，化简
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
｜CD｜＝·
＝，
由已知得＝，
解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
10.(13分)已知直线l：y＝x－，椭圆C：x2＋4y2＝4.
(1)求证：直线l与椭圆C有两个交点；
(2)求连接这两个交点所成线段的长.
解：(1)证明：由
消去y得5x2－4x－3＝0.
所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0，
所以直线l与椭圆C有两个交点.
(2)设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知x1＋x2＝，x1·x2＝－，
所以｜AB｜＝
＝·
＝·
＝·
＝.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0).如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　)
A.，1 B.，1
C.5，3 D.5，4
答案：A
解析：由题意知，a2－b2＝c2＝｜OF0｜2＝＝，
b2－c2＝｜OF1｜2＝＝，
所以b2＝c2＋＝＋＝1，b＝1.
所以a2＝b2＋c2＝1＋＝，a＝.
12.(多选)椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.kAB·kOM＝－1
B.若点M坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为(，)
D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝
答案：BD
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M(，)，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，
所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选BD.
13.椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为　　　　.
答案：
解析：由椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，周长为2a＋2c.由题意可得S＝bc＝(2a＋2c)·，得a＋c＝5c，所以e＝＝，因此该椭圆的离心率为.
14.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A，B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求｜AB｜的最小值.
解：(1)由题意，得
解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知，F1，F2的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，设直线l：x＝2上A，B两点的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)，
则＝(－3，－y1)，＝(－，－y2).
由·＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－.
不妨设y1＞0，则｜AB｜＝｜y1－y2｜＝y1＋≥2，当y1＝，y2＝－时取等号，所以｜AB｜的最小值是2.
15.(17分)已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.
解：(1)设M(x，y).
因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1).
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1).
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2).
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意.
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2＋＝2，①
2＋＝2，②
①－②整理得k＝＝－＝
－＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
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第3章　 3.1　椭圆
3.1.2　椭圆的简单几何性质
第2课时 椭圆方程及其性质的应用
学习目标
1. 了解椭圆在实际生活中的应用.
2. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
应用一　直线与椭圆的位置关系
典例1
规律方法
直线与椭圆位置关系的判断方法
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应用二　直线与椭圆的相交弦问题
典例2
规律方法
1.直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点距离公式求弦长.
(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.
2.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
规律方法
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应用三　与椭圆有关的最值(范围)问题
典例3
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规律方法
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
1.定义法：利用定义转化为几何问题处理.
2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
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随堂评价
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(1，3)∪(3，＋∞)
4，3
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课时测评
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