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3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围，能利用双曲线的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一　双曲线的几何性质
问题.类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的几何性质.
提示：1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，
所以x≥a 或x≤－a； y∈R.
2.对称性
－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个.
(2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长.
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
方程为x2－y2＝m(m≠0).
4.渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，
它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.
(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
5.离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e＞1.
(3)e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝ 1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
[变式探究]
若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
由双曲线的方程研究其几何性质 1.把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. 2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. 3.由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
对点练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；
c＝＝＝，
焦点坐标是(0，－)，(0，)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
任务二　由双曲线的几何性质求标准方程
求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0).
因为e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝.
由题意得
所以所求的双曲线方程为－＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
由双曲线的性质求双曲线的标准方程 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. 2.设双曲线方程的技巧 (1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2). (2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (3)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
对点练2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等.
解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，
可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
可设其方程为－＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去).
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
任务三　求双曲线的离心率
已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
答案：C
解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝.
求双曲线离心率的方法 1.直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解. 2.解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
对点练3.已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.
解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由｜PF2｜＝｜QF2｜，∠PF2Q＝90°，
知｜PF1｜＝｜F1F2｜，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A.实轴长为8　　　　　 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
答案：ABD
解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
2.已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A，O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为　　　　.
答案：
解析：如图所示，不妨设AO＝2，D为BC的中点，则OD＝1，AD＝3，BD＝.以AO的中点O'为原点，AD方向为x轴，AO的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.因为＝2，所以＝＝1，即双曲线的实半轴长a＝1，所以双曲线的方程可以设为x2－＝1，将B的坐标，代入解得b＝1，所以c＝，所以e＝＝.
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
答案：A
解析：令y＝0，得x＝－4，
所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，
所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为　　　　.
答案：y＝±x
解析：因为＝，所以＝＝，
所以＝，所以＝，所以＝.
又因为双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
课时测评31　双曲线的简单几何性质
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：B
解析：因为e＝，所以＝，即＝3，
所以b2＝2a2，所以双曲线方程为－＝1，
所以渐近线方程为y＝±x.
4.设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案：C
解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.
5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为－＝1
B.C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为3
D.｜PF｜的最小值为2
答案：AD
解析：双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；
｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确.
6.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　)
A.2 B.
C. D.5
答案：B
解析：e＝＝＝.
7.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于　　　　.
答案：
解析：双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2，0)，一条渐近线的方程为y＝x，
因此焦点到渐近线的距离d＝＝.
8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为　　　　　　　.
答案：－＝1
解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
所以焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c'＝4，e'＝＝，
从而a'＝6，b'2＝12，
故所求双曲线的方程为－＝1.
9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
10.(10分)设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率.
解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由题意，点P(2，1)在双曲线的渐近线y＝x上，所以＝，即a＝2b.
又2c＝10，所以c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线方程为－＝1.
12.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160
C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24
答案：D
解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ＜0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
13.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，设左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.2
答案：B
解析：由题意得｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，如图所示，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，
则PF1⊥TF2，｜TF2｜＝c，
在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60° ｜PF1｜＝2c，
则由双曲线的定义可得｜PF2｜＝｜PF1｜－2a＝2c－2a，
所以2c＝2c－2a，解得e＝＝.
14.(13分)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，求△PQF的周长.
解：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)，
所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6，
所以｜PQ｜＝12.双曲线图象如图.
｜PF｜－｜AP｜＝2a＝4，①
｜QF｜－｜QA｜＝2a＝4，②
①＋②得｜PF｜＋｜QF｜－｜PQ｜＝8，
所以周长为｜PF｜＋｜QF｜＋｜PQ｜＝8＋2｜PQ｜＝32.
15.(5分)(多选)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为(　　)
A. B.2
C. D.3
答案：ABC
解析：由右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0，1)，｜AF1｜＝＝5，
△APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得｜PA｜＋｜PF1｜的最小值不小于9，如图所示，
又F2为双曲线的左焦点，可得｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a ，
当A，P，F2三点共线时，｜PA｜＋｜PF2｜＋2a取最小值5＋2a，
所以5＋2a≥9，即a≥2，
因为c＝2，可得e＝≤.即1＜e≤.
16.(17分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围.
解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a时取等号，
所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a，
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝≤3，所以e∈(1，3].
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3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
　
第3章　3.2　双曲线
学习目标
1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围，能利用双曲线的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一　双曲线的几何性质
问题导思
新知构建
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
性质 范围 _________________ _________________
对称性 对称轴：________；对称中心：______
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
坐标轴
原点
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
性质 顶点坐标 ________________________ ________________________
渐近线
离心率
a，b，c间的关系 c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1，＋∞)
a2＋b2
典例1
规律方法
由双曲线的方程研究其几何性质
1.把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
3.由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
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任务二　由双曲线的几何性质求标准方程
典例2
规律方法
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任务三　求双曲线的离心率
典例3
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规律方法
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随堂评价
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2.已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A，O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为_____.


3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
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课时测评
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8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒
数，则该双曲线的方程为___________.

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