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3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程
学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.掌握抛物线定义的应用，体会数形结合思想和提升直观想象的核心素养. 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升数学运算的核心素养.
任务一　抛物线的定义
问题1.利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示：点M随着点H运动的过程中，始终有｜MF｜＝｜MH｜，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(1)已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是(　　)
A.射线 B.直线
C.抛物线 D.椭圆
(2)正方体ABCD A1B1C1D1中，P为面ABCD所在平面上的一个动点，且点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，则动点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为｜MF｜，又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径｜MF｜，
因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，所以动圆圆心M的轨迹是抛物线.故选C.
(2)如图，因为ABCD A1B1C1D1是正方体，
所以D1D⊥面ABCD，
而PD 面ABCD，
所以D1D⊥DP，
即点P到直线D1D的距离是DP的长度，
过点P作PM⊥BC于M，因为ABCD A1B1C1D1是正方体，
所以面BCC1B1⊥面ABCD，而面BCC1B1∩面ABCD＝BC，所以PM⊥面BCC1B1，
则PM的长为P到平面BCC1B1的距离，
点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，
即P到定点D的距离等于P到定直线BC的距离，
所以点P的轨迹为抛物线.
故选D.
对点练1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　)
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
答案：A
解析：设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A.因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A.
任务二　抛物线的标准方程
问题2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示：我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设｜KF｜＝p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－.
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}.
则M到F的距离为｜MF｜＝，M到直线l的距离为，
所以 ＝，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0).
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px (p＞0) x＝－
y2＝－2px (p＞0) x＝
x2＝2py (p＞0) y＝－
x2＝－2py (p＞0) y＝
[微提醒]　四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上.
解：(1)由于点M(－6，6)在第二象限，
所以过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
所以p＝3.所以抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
所以p＝3，所以抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①因为直线l与x轴的交点为(2，0)，
所以抛物线的焦点是F(2，0)，所以＝2，
所以p＝4，
所以抛物线的标准方程是y2＝8x.
②因为直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
所以＝3，所以p＝6，
所以抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2.求抛物线的标准方程的注意点 (1)把握开口方向与方程间的对应关系； (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论的次数； (3)注意p与的几何意义.
对点练2.抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为　　　　，准线方程为　　　　.
答案：　x＝－
解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x，
所以2p＝，p＝，
所以焦点坐标为，
准线方程为x＝－.
对点练3.抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5，求抛物线的标准方程.
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3).
由抛物线的定义得｜AF｜＝＝5，
又(－3)2＝2am，所以a＝±1或a＝±9.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
任务三　抛物线定义的应用
(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，
所以｜MC｜＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以｜MC｜＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小值为
d＝＝.
[变式探究]　
若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2).其他条件不变，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
解：将x＝3代入
y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部.
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d.
则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.
由图可知，当PA⊥l时，
｜PA｜＋d最小，最小值是.
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值为.
抛物线定义的2种应用 1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
对点练4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为(　　)
A.12　　　　 B.8　　　　
C.6　　　　 D.4
答案：B
解析：因为点P到y轴的距离为6，所以点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8.根据抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离为8.
对点练5.已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与直线l相切的圆的圆心的轨迹方程为　　　　.
答案：x2＝－8y
解析：设圆的圆心为C，则｜CA｜＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以原点为顶点，A为焦点，l为准线的抛物线.所以所求动圆圆心的轨迹方程为x2＝－8y.
1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)
A.(－1，0) B.(1，0)
C.(0，－1) D.(0，1)
答案：B
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，
因为准线经过点(－1，1)，所以－＝－1，p＝2，
所以抛物线焦点坐标为(1，0)，故选B.
2.以双曲线－＝1的右顶点为焦点的拋物线的标准方程为(　　)
A.y2＝16x B.y2＝－16x
C.y2＝8x D.y2＝－8x
答案：A
解析：因为双曲线－＝1的右顶点为(4，0)，即拋物线的焦点坐标为(4，0)，所以拋物线的标准方程为y2＝16x.
3.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)
A.y2＝x B.y2＝8x
C.y2＝－8x D.x2＝－8y
答案：AD
解析：当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1＞0)， 则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2＞0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
4.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标.
解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6).
课时测评33　抛物线的标准方程
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)
A.(1，0)　　　　　　 B.
C. D.
答案：D
解析：抛物线的方程可化为x2＝y，可知焦点在y轴上，且＝，所以焦点坐标是.故选D.
2.已知抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，则实数a的值为(　　)
A.8　 　　 B.　 　　
C.－8　 　　 D.－
答案：C
解析：因为抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，所以－＝4，解得a＝－8，故选C.
3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.抛物线
答案：D
解析：由题可知动点到点(3，0)的距离与到直线x＝－3的距离相等，故动点的轨迹为抛物线.
4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.12
答案：B
解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交准线l于点B，则｜AB｜＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离｜PB｜＝4＋2＝6，所以点P到焦点F的距离｜PF｜＝｜PB｜＝6.故选B.
5.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件中满足抛物线方程y2＝10x的有(　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
答案：BD
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，所以C不满足；若由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足为(2，1)，则该直线斜率存在，又抛物线y2＝10x的焦点坐标为，可设过该焦点的直线方程为y＝k，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足.所以满足抛物线y2＝10x的有BD.
6.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为　　　　.
答案：
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.
7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝　　　　，准线方程为　　　　.
答案：2　x＝－1
解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－.由题意知3＋＝4，所以p＝2.准线方程为x＝－1.
8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　　.
答案：(－6，6)，(－6，－6)
解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6.)
9.(10分)分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).又＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)因为点(3，－4)在第四象限，
所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
10.(13分)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解：设动点M(x，y)，☉M与直线l：x＝－3的切点为N，
则｜MA｜＝｜MN｜，即动点M到定点A的距离与到定直线l：x＝－3的距离相等，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以＝3，所以p＝6，所以动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线l上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.4
答案：D
解析：如图，因为△FPM是等边三角形，所以｜PF｜＝｜PM｜＝｜FM｜，
由抛物线的定义知PM⊥l.
在Rt△MQF中，｜QF｜＝2，∠QMF＝30°，所以｜MF｜＝4，
所以S△PMF＝×42＝4.故选D.
12.已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)
A.3 B.4
C. D.
答案：A
解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离.过焦点F作直线4x－3y＋11＝0的垂线，如图，当点P为该垂线与抛物线的交点时，d1＋d2取得最小值.由F(1，0)，直线方程为4x－3y＋11＝0，得(d1＋d2)min＝＝3.故选A.
13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么｜PF｜＝　　　　.
答案：8
解析：如图，∠AFE＝60°，
因为F(2，0)，
所以E(－2，0)，
则＝tan 60°，
即｜AE｜＝4，
所以点P的坐标为(6，4)，
故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8.
14.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程.
解：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x.
(2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，
则
而点P(x0，y0)在抛物线C上，
所以＝8x0，
所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，
所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1).
15.(17分)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求｜PA｜＋d的最小值；
(2)若B(3，2)，求｜PB｜＋｜PF｜的最小值.
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知｜PF｜＝d，
于是问题转化为求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
如图，连接AF，交抛物线于点P，此时｜PA｜＋d最小，最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2，
因为2＞2，所以点B在抛物线内部.
过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).
由抛物线的定义，
知｜P1Q｜＝｜P1F｜，
则｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝3＋1＝4.
即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4.
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3.3.1　抛物线的标准方程
　
第3章　3.3　抛物线
学习目标
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，培养数学抽象、直观想象的核心素养.
2.掌握抛物线定义的应用，体会数形结合思想和提升直观想象的核心素养.
3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升数学运算的核心素养.
任务一　抛物线的定义
问题1．利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示：点M随着点H运动的过程中，始终有｜MF｜＝｜MH｜，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
问题导思
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)__________的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
新知构建
距离相等
(1)已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是
A.射线 B.直线
C.抛物线 D.椭圆
典例1
√
因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为｜MF｜，又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径｜MF｜，
因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，所以动圆圆心M的轨迹是抛物线.故选C.
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为面ABCD所在平面上的一个动点，且点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，则动点P的轨迹是
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
√
如图，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以D1D⊥面ABCD，
而PD 面ABCD，
所以D1D⊥DP，
即点P到直线D1D的距离是DP的长度，
过点P作PM⊥BC于M，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以面BCC1B1⊥面ABCD，而面BCC1B1∩面ABCD＝BC，所以PM⊥面BCC1B1，
则PM的长为P到平面BCC1B1的距离，
点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，
即P到定点D的距离等于P到定直线BC的距离，
所以点P的轨迹为抛物线.
故选D.
对点练1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A.因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A.
√
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任务二　抛物线的标准方程
问题导思
新知构建
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
______________ ______________ ________
________________
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________________ __________
________________
_____
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
　 四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
微提醒
求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点M(－6，6)；
解：由于点M(－6，6)在第二象限，
所以过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
所以p＝3.所以抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
所以p＝3，所以抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
典例2
规律方法
1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
规律方法
对点练2．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为______.


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任务三　抛物线定义的应用
(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，
所以｜MC｜＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以｜MC｜＝d＋1.
典例3
规律方法
抛物线定义的2种应用
1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
对点练4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为
A.12　　　　 B.8　　　　
C.6　　　　 D.4
因为点P到y轴的距离为6，所以点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8.根据抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离为8.
√
对点练5．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与直线l相切的圆的圆心的轨迹方程为__________.
设圆的圆心为C，则｜CA｜＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以原点为顶点，A为焦点，l为准线的抛物线.所以所求动圆圆心的轨迹方程为x2＝－8y.
x2＝－8y
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随堂评价
1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐
标为
A.(－1，0) B.(1，0)
C.(0，－1) D.(0，1)
√
√
3.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为
A.y2＝x B.y2＝8x
C.y2＝－8x D.x2＝－8y
√
√
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课时测评
√
√
3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.抛物线
√
由题可知动点到点(3，0)的距离与到直线x＝－3的距离相等，故动点的轨迹为抛物线.
4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A.4 B.6
C.8 D.12
如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物
线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交准
线l于点B，则｜AB｜＝2.由于点P到y轴的距离为4，
则点P到准线l的距离｜PB｜＝4＋2＝6，所以点P到焦
点F的距离｜PF｜＝｜PB｜＝6.故选B.
√
5.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件中满足抛物线方程y2＝10x的有
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
√
√
6.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为_____.

7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝___，准线方程为_______.
2
x＝－1
8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________
_____________.
√

√

8

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