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第2课时　组合数的综合应用
学习目标 1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题. 2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题. 3.通过几种有限制条件的组合实例的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
应用一　简单的组合问题
(1)将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　)
A.种　　　　　　　　 B.种
C.58种 D.85种
(2)将5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　)
A.种 B.种
C.58种 D.85种
(3)将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有(　　)
A.种 B.种
C.58种 D.85种
答案：(1)A　(2)B　(3)D
解析：(1)由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有种不同的放法.
(2)由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可，故共有种不同的放法.
(3)由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，…，第5个球也有8种放法.故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85(种).
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. 2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
对点练1.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，各有多少种不同的选法？
(1)甲、乙、丙3人必须参加；
(2)甲、乙、丙3人不能参加；
(3)甲、乙、丙3人只能有1人参加.
解：(1)甲、乙、丙3人必须参加，则只需从另外9人中选2人，不同的选法种数为＝36.
(2)甲、乙、丙3人不能参加，则只需从另外9人中选5人，不同的选法种数为＝126.
(3)甲、乙、丙3人只能有1人参加，可分两步：
第1步，从甲、乙、丙三人中选1人，有种选法；
第2步，从另外9人中选4人，有种选法.
根据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为＝378.
应用二　不同元素分组、分配问题
有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？
解：(1)分三步：先选一本有种选法，再从余下的5本中选两本有种选法，最后余下的三本全选有种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有··＝60(种).
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题.因此，分配方式共有···＝360(种).
(3)先分三组，有种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共种情况，而这种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种).
(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·＝90(种).
(5)可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有＝90(种)方法；②“1，2，3型”，有＝360(种)方法；③“1，1，4型”，有＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法.
“分组”与“分配”问题的解法 1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 2.分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
对点练2.(1)某科室派出4名调研员到3个学校调研高三复习备考近况，要求每个学校至少1名，则不同的分配方案种数为　　　　；
(2)若将9名教师分到3所中学任教，一所1名，一所3名，一所5名，则有　　　　种不同的分法.
答案：(1)36　(2)3 024
解析：(1)分两步完成：
第一步，将4名调研员按2，1，1分成3组，其分法有种；
第二步，将分好的3组分配到3个学校，其分法有种，
所以满足条件的分配方案有·＝36(种).
(2)将9名教师分组，分三步完成：
第一步，在9名教师中任取1名作为一组，有种分法；
第二步，在余下的8名教师中任取3名作为一组，有种分法；
第三步，余下的5名教师作为一组，有种分法，
根据分步乘法计数原理，共有＝504种分法.
再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，
故共有504×6＝3 024种不同的分法.
应用三　相同元素分配问题
6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子.
解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有＝10(种).
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如｜0｜000｜00｜，有种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如｜0｜000｜｜00｜，有种插法，故共有·＝40(种).
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.
先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有种插法，如｜00｜0000｜，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，
如｜｜00｜｜0000｜，有种插法.
②将两块板与前面三块板之一并放，如｜00｜｜｜0000｜，有种插法.
故共有·(＋)＝30(种).
1.隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. 2.将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为n－1个空中插入m－1块板.
对点练3.(1)10个数学竞赛名额，分给一、二、三、四、五这5个不同的班级，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方法？
(2)20个不加区别的小球放入标有1号、2号、3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，不同的放法种数是多少？
解：(1)由于数学竞赛名额是完全相同的，且每班至少1个名额，将10个名额排成一排，中间形成9个空隙，插入4块挡板分为5堆，分别分给一、二、三、四、五这5个班级，有＝126(种)分配方法.
(2)由于小球是完全相同的，先在编号为2，3的盒内分别放入1个球，2个球，还剩17个小球.三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，中间形成16个空隙，插入2块挡板分为三堆，分别放入三个盒子中，共有＝120(种)放法.
应用四　与几何有关的组合应用题
如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解：(1)法一：C1至C6中任取3个点构成个三角形；
D1至D4中任取2个点，C1至C6中任取1个点构成个三角形；C1至C6中任取2个点，D1至D4中任取1个点构成个三角形，故一共可作出三角形＋·＋·＝116(个).
其中以C1为顶点的三角形，有以下三种：
以C1为顶点，C2至C6中取2点，构成个三角形；
以C1为顶点，D1至D4中取2点，构成个三角形；
以C1为顶点，C2至C6中取1点，D1至D4中取一点，
构成个三角形，故一共有＋·＋＝36(个).
法二：可作三角形－＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有＋·＋＝36(个).
(2)分三类：①C1至C6中任取4个点有个四边形；
②C1至C6中任取3个点，线段AB上取1个点有个四边形；
③C1到C6中任取2个点，线段AB上取2个点有，故一共可作出四边形＋·＋·＝360(个).
1.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. 2.在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.
对点练4.平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线.
(1)过每两点连线，可得几条直线？
(2)以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
(3)分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
解： (1)任取两点共有种取法，共线四点任取两点有种取法，所以共有直线－＋1＝31条.
(2)不共线的五点可连得条射线，共线的四点中，外侧两点各可发出1条射线，内部两点各可发出2条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有条，故共有＋2×1＋2×2＋＝66条射线.
(3)任意两点之间，可有方向相反的2个向量各不相等，则可有＝72个向量.
1.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加一个社团且每个社团至多2人参加，则这6名同学中没有人参加“演讲团”的不同参加方法种数为 (　　)
A.3 600　　 B.1 080　　
C.1 440　　 D.2 520
答案：C
解析：由于每名同学必须参加且只能参加一个社团且每个社团至多2人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：第一类，先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个社团，不同的参加方法种数为·＝1 080；第二类，将6人平均分成三组，再分配到除“演讲团”外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法种数为·＝360，所以不同的参加方法种数为1 080＋360＝1 440，故选C.
2.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线、四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　)
A.205 B.110
C.204 D.200
答案：A
解析：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为－＝205.
3. CES(国际消费类电子产品展览会)是世界上最大的消费类电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020年CES在美国拉斯维加斯举办，在这次展会上，中国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳全场.现有媒体想来该企业采访，若该企业从甲、乙等7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再从剩余的4名员工中选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有　　　　种.
答案：360
解析：先安排接待工作，分两类：一类是没安排甲、乙两人负责接待工作，有种方案；
另一类是安排甲、乙中的1人负责接待工作，有种方案.
再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共有种方案，
故不同的安排方案共有(＋＝360(种).
4.高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种).
所以不同的取法有561种.
(2)从34名可选学生中选取3名，有种.或者－＝＝5 984(种).
所以不同的取法有5 984种.
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有＝2 100(种).所以不同的取法有2 100种.
(4)选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式N＝＋＝2 100＋455＝2 555(种).
所以不同的取法有2 555种.
(5)选取3名的总数有种，因此选取方式共有N＝－＝6 545－455＝6 090(种).
所以不同的取法有6 090种.
课时测评43　组合数的综合应用
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有(　　)
A.480种　　 B.255种　　
C.240种　　 D.120种
答案：C
解析：先从6双鞋中任选一双，有＝6种方法，然后在剩下的5双中任选2双，有＝10种方法，再在每双中任取一只，有＝4种方法.由分步乘法计数原理，得恰好有一双同色的取法有6×10×4＝240(种).故选C.
2.已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (　　)
A.33 B.34
C.35 D.36
答案：A
解析：①当从集合B中取元素2时，再从集合C中任取一个元素，则确定的不同点有＝18(个)；
②当从集合B中取元素1，且从集合C中取元素1时，确定的不同点有＝3(个)；
③当从集合B中取元素1，且从集合C中取出元素3或4时，确定的不同点有＝12(个).
由分类加法计数原理，得确定的不同点的个数为18＋3＋12＝33.故选A.
3.如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有(　　)
A.6种 B.12种
C.15种 D.60种
答案：C
解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可(剩下的4个位置放奥运会吉祥物)，＝15.故选C.
4.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：首先从14人中选出12人共种，然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共×＝种.故选A.
5.(多选)甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲乙不相邻的排法种数为72种
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
答案：ABCD
解析：A. 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有＝24种，故A正确.
B.最左端排甲时，有＝24种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则甲从最左最右之外的三个位置中选一个排列有种排法，剩下的三个人全排，有种排法，则不同的排法共有＋＝3×6＋24＝42(种)，所以B正确.
C.丙、丁、戊三人全排有种排法，形成4个空，选两个位置排甲、乙有种排法，共有＝72(种)，故C正确.
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20种，故D正确.故选ABCD.
6.某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.若随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门功课，每名志愿者至少辅导1门功课，每门功课由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有　　　　种.
答案：150
解析：根据题意，分2步进行：
①将5门功课分为三组，
若分为3，1，1的三组，则有＝10种分组方法，
若分为2，2，1的三组，则有＝15种分组方法，
则共有10＋15＝25种分组方法；
②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，有＝6种情况.
故不同的安排方法共有25×6＝150(种).
7.学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍各自对子女的教育情况，如果这4位进行介绍的家长中至多有一对是夫妻，那么不同的选择方法有　　　　种.
答案：64
解析：法一：(直接法)4位进行介绍的家长可分两类：第1类，4位进行介绍的家长中没有任何两个人是夫妻，即4位进行介绍的家长来自4个不同的家庭，每个家庭是父亲进行介绍还是母亲进行介绍都有2种情况，所以不同的选择方法有24＝16(种)；
第2类，4位进行介绍的家长中仅有一对是夫妻，即4位进行介绍的家长中有2位为同一个家庭的父亲和母亲，不同的选法有种，另2位家长从另3个家庭中的2个家庭中选，不同的选法有种，并且被选中的家庭是父亲进行介绍还是母亲进行介绍都有2种情况，不同的选法有22种.根据分步乘法计数原理，得进行介绍的家长的不同的选择方法有××22＝48(种).
根据分类加法计数原理，可得满足题意的选法有16＋48＝64(种).
法二：(间接法)从8位家长中选出4位家长有种选法，但这4位家长来自2个家庭的选法有种，所以满足题意的选法有－＝64(种).
8.从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当3个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有　　　　个.
答案：51
解析：第一类：没有2和3，三位数由其他3个数字组成，有＝6(个)；
第二类：2和3中有一个，需从其他3个数字中取2个，组成的三位数有＝36(个)；
第三类：含有2和3，需从其他3个数字中选1个，组成的三位数有＝9(个).
所以符合题意的三位数有6＋36＋9＝51(个).
9. (10分)在100件产品中，有97件合格品，3件次品.从这100件产品中任意抽出5件.(此题结果用式子作答即可)
(1)抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种；
(2)抽出的5件中至少有2件是次品的抽法有多少种；
(3)抽出的5件中至多有2件是次品的抽法有多少种？
解：(1)根据题意，抽出的5件中恰好有2件是次品，即2件次品，3件合格品，
次品取法有种，合格品的取法有种，
则有种取法；
(2)根据题意，分2种情况讨论：
抽出的5件中2件次品，3件合格品，取法有种，
抽出的5件中3件次品，2件合格品，取法有种，
则有＋种取法；
(3)根据题意，分3种情况讨论：
抽出的5件中2件次品，3件合格品，取法有种，
抽出的5件中1件次品，4件合格品，取法有种，
抽出的5件都是合格品，取法有种，
则有＋＋种取法.
10.(10分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.
(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.
解：(1)根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，有＝15种分组方法，
②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有＝6种情况，则有15×6＝90种分配方案.
(2)根据题意，分2步进行分析：
①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，
②剩下4名学生分成2组，有两种分组方法(2，2)和(1，3)，安排其余两位教师指导，有(＋)×＝14种情况，则有5×14＝70种分配方案.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为(　　)
A.＋ B.＋
C.＋＋ D.＋
答案：C
解析：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有个；
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有个；
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有个.由分类加法计数原理知，可作出的三角形的个数为＋＋，故选C.
12.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：BD
解析：任意两位同学之间交换纪念品共要交换＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.故选BD.
13.从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作　　　　　　个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作　　　　个四面体.
答案：12　58
解析：正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作－12＝58个四面体.
14.(13分)某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队.其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？
解：(1)根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，
在剩下的7人中再选3人即可，有＝35种选法；
(2)甲、乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有＝21种选法；
(3)在9人中选出5人，有＝126种选法，甲、乙均不能参加的选法有21种，
则甲、乙两人至少有一人参加的选法有126－21＝105种；
(4)分3种情况讨论：
①队中有2名内科医生和3名外科医生，有＝40种选法，
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有＝60种选法，
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有＝20种选法，
则有40＋60＋20＝120种不同的选法.
15.(5分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有　　　　种不同的分派方案？
答案：12 960
解析：分两类：
第1类，甲被选中，再从5名男医生中选2名有种，从4名女医生中选2名有种，甲医生从A地区外的4个地区选一个地区有种，另外4人分配到A地区在内的四个地区有种，故一共有种分派方案；
第2类，甲不被选中，从另外5名男医生选3名有种，从4名女医生中选2名有种，选出的5人在5个地区全排有种，故共有种分派方案.
根据分类加法计数原理，共有
＋＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案.
16.(17分)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止.
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有＝(种)测法，再排余下4件的测试位置，有种测法.
所以共有不同测试方法··＝103 680(种).
(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现有种，从而前4次有一件正品出现有种，且4件次品在前4次全排有种，所以共有不同测试方法＝576(种).
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第2课时　组合数的综合应用
　
第4章　4.3　组合
学习目标
1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题.
2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题.
3.通过几种有限制条件的组合实例的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
应用一　简单的组合问题
典例1
√
√
√
由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，…，第5个球也有8种放法.故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85(种).
规律方法
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.
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应用二　不同元素分组、分配问题
典例2
规律方法
“分组”与“分配”问题的解法
1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除
以n！；
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
2.分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
对点练2．(1)某科室派出4名调研员到3个学校调研高三复习备考近况，要求每个学校至少1名，则不同的分配方案种数为____；

36
(2)若将9名教师分到3所中学任教，一所1名，一所3名，一所5名，则有______种不同的分法.
3 024
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应用三　相同元素分配问题
典例3
规律方法
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应用四　与几何有关的组合应用题
典例4
规律方法
1.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.
2.在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.
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随堂评价
1.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加一个社团且每个社团至多2人参加，则这6名同学中没有人参加“演讲团”的不同参加方法种数为
A.3 600　　
B.1 080　　
C.1 440　　
D.2 520
√

2.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线、四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
A.205 B.110
C.204 D.200
√
3. CES(国际消费类电子产品展览会)是世界上最大的消费类电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020年CES在美国拉斯维加斯举办，在这次展会上，中国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳全场.现有媒体想来该企业采访，若该企业从甲、乙等7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再从剩余的4名员工中选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有______种.
360
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课时测评
1.从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有
A.480种　　 B.255种　　
C.240种　　 D.120种
√
2.已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
A.33 B.34
C.35 D.36
√
3.如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有
A.6种
B.12种
C.15种
D.60种
√
√
5.(多选)甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲乙不相邻的排法种数为72种
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
√
√
√
√

6.某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.若随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门功课，每名志愿者至少辅导1门功课，每门功课由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有______种.
150
7.学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍各自对子女的教育情况，如果这4位进行介绍的家长中至多有一对是夫妻，那么不同的选择方法有____种.
64
法一：(直接法)4位进行介绍的家长可分两类：第1类，4位进行介绍的家长中没有任何两个人是夫妻，即4位进行介绍的家长来自4个不同的家庭，每个家庭是父亲进行介绍还是母亲进行介绍都有2种情况，所以不同的选择方法有24＝16(种)；

8.从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当3个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有____个.

51
√

√
√
12.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为
A.1 B.2
C.3 D.4
13.从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作____个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作____个四面体.
12
58
15.(5分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有________种不同的分派方案？
12 960

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