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第一章有理数专题二：绝对值的几何意义期中复习压轴题训练
2025—2026学年人教版数学七年级上册
1．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为．
【问题解决】
（1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离；
（2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）；
【关联运用】
（3）运用一：若，则x的值为　　；
（4）运用二：代数式的最小值为　　；
（5）运用三：代数式的最大值为　　；
（6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值
2．先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______；
(2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______；
(3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等．
3．已知：b是最小的正整数，且a、b满足．
(1)请求出a、b、c的值；
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程）
(3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
4．点在数轴上的位置如图所示，表示数轴上点A与点之间的距离．若点表示的数为，点表示的数为，且．
(1)______，______；
(2)动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当为多少秒时，两点之间的距离为4？
(3)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离．
①若，则的取值范围为______；
②直接写出当或时，的最小值．
5．认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
利用数轴探究下列问题：
(1)的最小值是 ，此时x的取值范围 ；
(2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是 ，此时x的值是 ；
(3)的最小值是 ，此时x的值是 ；
(4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
6．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定，
(1)当时，则___ ， ___ ．
(2)当时，则___ ．
(3)当，且，求c的值．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 ；
（2）①若，则x= ；
②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，求所有符合条件的整数的和．
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）若，求的值．
8．对于有理数，，，，若，则称和关于的“明德值”为．例如，，则2和3关于1的“明德值”为3．
(1)和3关于1的“明德值”为________；
(2)若和2关于1的“明德值”为3，求的值；
(3)若和关于1的“明德值”为1，和关于2的“明德值”为1，和关于3的“明德值”为1，，和关于50的“明德值”为1，求的值．（用含的式子表示）
9．[阅读材料]
数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为．
[初步感知]
（1）如图1，A、C两点之间的距离为_____；
（2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____；
[拓展研究]
（1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____；
（2）已知，则的最大值是_____；
[实际应用]
某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素）
10．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：

(1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ．
(2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ．
(3)结合数轴思考，的最小值为多少？
(4)满足，求的值为多少？
11．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且满足．现将A、B之间的距离记作，定义．
(1)A点表示的数______；B点表示的数_______； ________；
(2)点C在数轴上对应的数是x，点D在数轴上对应的数是3．则________；如果，则__________；
(3)设点M在数轴上是有理数，对应数为m（m为整数），请直接写出：有最小值时，m取值的有______个；
(4)设点P在数轴上对应的数是x，当时，x的值为____________；
(5)设点P在数轴上对应的数是x，当时，x的值为____________；
(6)n是一个有理数，则的最小值是_____________；
12．【总结提炼】
小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则．
【解决问题】
（1）若，则 ．
（2）若，则 ．
【拓展提升】
（3）若，计算：_________．
13．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
AI
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
（1）的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
（2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ；

（3）求出的最小值；
【思维拓展】
（4）如图⑤，数轴上有一小球A，若使小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示．请直接写出 a 在数轴上的取值范围 ；

（5）求出的最小值．
14．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ．
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ．
(3)数轴上点A用数a表示，
①若，那么a的值是 ．
②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个
③有最小值，最小值是 ．
15．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______．

(4)若，，，，，则式子的最小值为______．
16．【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：
(1)【初步应用】
当取最小值时，可以取的整数有几个_________；
(2)当的值最小时，最小值为__________；
(3)【解决问题】
如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由．
17．阅读材料，回答下列问题：
数轴是学习有理数的一种重要工具，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为．

(1)数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于___________；若数轴上有理数与对应的两点之间的距离为2，可记为，则等于_______________；
(2)如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为．

① 若点在点之间，则______________；若，则__________；
②直接写出的最小值等于______________．
③根据阅读材料及上述各题的解答方法，直接写出下列式子的值（最小值）．
______________；
④当____________时，取最小值，最小值为______________．
18．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3，而；表示和2两点之间的距离是5．
而；表示和两点之间的距离是3，而．
一般地，教轴上表示数m和数n的两点之间的距离为．
(1)数轴上表示数的点与表示的点之间的距离为_____：
(2)数轴上表示数a的点与表示的点之间的距离表示为_______；
(3)若数轴上b位于与5之间，则_________；
(4)若，则_______；
(5)已知a，b为整数，满足，且，则整数a的最小值是_____
参考答案
1．【解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离；
故答案为：；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，，
当时， 则：，
解得：；
当时，则 ，不符合题意；
当时，则：，
解得：；
故答案为：或；
（4）解：，
当时， 则：，
当时，则，
当时，则：，
∴时，的最小值为，
故答案为：；
（5）解：∵表示与的距离和与的距离的差，
∴当时， 则：，
当时，则，
∴，
当时，则，
∴综上的最大值为：；
故答案为：7；
（6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为，
∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：，
∴的中点为：，的中点为：，的中点为：，
∵在的左边，在的左边，
∴在的左边，在的左边，
∴，，
∴，
∴时，的值与无关，即，
∴，
∴，．
2．【解】（1）解：由图可知，点表示的数为，
把点A向左移动1.5个单位，得到点C，
点表示的数为：，
由图可知，点表示的数为，
、两点间的距离是：，
故答案为：，；
（2）解：由题意可知：
，
解得：或，
故答案为：或；
（3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离，
又与的值相等，
如图所示：
当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，
故答案为：．
3．【解】（1）解：∵最小的正整数是1，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：，1，5；
（2）解：①当时，，
∴
，
②当时，，
∴
；
（3）解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不变，恒为2．
4．【解】（1）解：∵，
，
，
∴点A表示的数为，点B表示的数为8，
故答案为：，8．
（2）解：当点M在点B的左侧时，，
解得：；
当点M在点B的右侧时，，
解得：．
答：当t为2或6时，B、M两点之间的距离为4．
（3）解：①当时，，
，
随x的增大而减小，
；
当时，；
故答案为：；
②当时，，
，
随x的增大而增大，
．
的最小值为13．
故答案为：13．
5．【解】（1）如图
①若点P在点A左侧，得，，
，
②若点P在线段上，得，，
，
③若点P在点A左侧，得，，
，
④有图可知，当时，最小，最小值3，
故答案为：3；
（2）的几何意义是表示数x的点与，1，2三数对应点的距离之和，
当时，距离之和最小，最小值为，2对应点间的距离，
的最小值为；
故答案为：5；1
（3）的几何意义是表示数x的点与，0，4三数对应点的距离之和，
当，得，，
当，得，，
,
当，得，，
,
,
当，得，，
,
综上所述 ：当时，的最小值为9；
故答案为：9；0
（4）如图：
以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，
①当时，
；
②当时，
，
，
；
③当时，
此时；
④当，
，
，
⑤当时
综上所述：当时距离最小，最小值为
汇合地点M的位置在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为
6．【解】（1）解：由题意知，，
，
故答案为：3，7；
（2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，
∴，
当时，解得，；
当时，解得，；
故答案为：2或；
（3）解：当时，，，
当时，，则，
解得，；
当时，，则，
解得，；
当时，，，
∴，
当时，解得，；
当时，解得，；
综上所述，c的值为或或或 ．
7．【解】解：（1）表示5和两点之间的距离是，
故答案为：；
（2）①∵，
∴或，
解得或，
故答案为：1或；
②∵使所表示的点到表示和的点的距离之和为，
∴，
∵与的距离是，
∴，
∴所有符合条件的整数x的值为，
∴，即和为，
故答案为：；
（3）∵，
∴，或，或，或，
∵或不成立，
∴或，
解得：或．
8．【解】（1）解：和3关于1的“明德值”为：
．
（2）和2关于1的“明德值”为3，
，
整理得：，
或，
解得：或；
（3），
，都不为负数，
分为4种情况，
①当或时，，，，
此时．
②当时，若，则，此种情形不存在．
若，则，，
此时．
③当时，，，，
，，，，
，即；，即；
同理可得：，，，
，，，，，
④当，时，
，，，，
此时\，，，，，
，，，；
综上所述：当时，的值为，
当时，的值为．
9．【解】解：[初步感知]：（1）A、C两点之间的距离为；
故答案为：5；
（2）数轴上表示x和3两点之间的距离为；
故答案为：；
[拓展研究]（1）表示数轴上到1的距离与到4的距离之和，
∴当在到之间时，有最小值为：；
故答案为：3；
（2）∵表示数轴上到1的距离与到的距离之和，
∴当在到1之间时，有最小值为；
同理：当在到2之间时，有最小值为；
∵；
∴，，
∴，
∴当，时，有最大值为；
故答案为：5；
[实际应用]∵，
∴每个站点最终都应该有15辆车，
∵只能从相邻的公司调动，且一共调动的车辆数最小，
∴需要在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多，
∴先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站，
此时，站，站都是15辆车，站21辆，站9辆，
再从站调动6辆到站，此时站，站也都是15辆车，
共调动：辆；
故答案为：．
10．【解】（1）解：根据题意，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，与两点间的距离表示为，
故答案为：；
（3）解：根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”，
∴当时，的值最小，
∴的最小值为；
（4）解：∵由（3）知，的最小值5，
∴；
∴当时，，
∴；
当时，，
∴．
综上所述，的值为或．
11．【解】（1）解：，
，，
，，
A点表示的数为，B点表示的数为1，
，
故答案为：；1；6
（2）解：点C在数轴上对应的数是x，点D在数轴上对应的数是3，
，
，
，
或6，
故答案为：；0或6
（3）解：设点M在数轴上是有理数，对应数为m（m为整数），
当有最小值时，则，
为整数，
的值为：
m取值的有个，
故答案为：
（4）解：设点P在数轴上对应的数是x，
，
，
或，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上，或，
故答案为： 或
（5）解：设点P在数轴上对应的数是x，
，
当时，，不成立，无解，
当时，，解得：或，
当时，，不成立，无解，
综上，或，
故答案为：或．
（6）解：表示与、、三个数表示的点的距离之和，
当时，的值最小为：，
故答案为：
12．【解】解：（1）∵，
∴同号，
当时：；
当时：；
故答案为：或2；
（2）∵，
∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数，
当时，则：；
当有两个正数和一个负数时，假设：，则：；
故答案为：或1；
（3）∵，
∴中有两正一负，
①当时：则：均为正，
∴，
∴；
②当时，则：一正一负，
若，则：，此时：；
如，则：，此时：；
综上，原式或或3．
故答案为：或或3
13．【解】解：（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3；
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
的最小值是；
（3）当a取最中间数时，绝对值最小，
的最小值是 ；
（4）∵数轴上有一小球A，小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示，
∴，而，
显然小球A在数轴上位于与3对应的点之间符合题意；
当时，小球在3的右边时，
∴，解得，
当时，小球在的左边时，
，解得：，
∴数轴上有一小球A，小球到点，的距离之和小于，此时；
（5）当时，
∴
，
当时，
∴
，
∴此时，
当，
∴
，
∴此时，
当时，
∴
，
∴此时，
当时，
∴
，
∴此时，
当时，
∴
，
∴此时，
综上：当时，取最小值．
14．【解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是，
数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是；
故答案为：5，2；
（2）若，那么的值为5或，
故答案为：；
（3）①数轴上点用数表示，若，则或，
或，
故答案为：或8；
②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和，
时，，
是整数，
的值有，，0，1，2，3，
故答案为：，6；
③表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和，
当时，的最小值是，
故答案为：．
15．【解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴或；
（2）解：由题意得：，
∴；
故答案为；
（3）解：由数轴可知：，
∵，，，
∴，，，
∴
；
故答案为4；
（4）解：∵，，，，，
∴
，
根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小；
∴当时，则原式，此时当时，有最小值95；
当时，则原式，此时当时，有最小值59；
当时，则原式，此时当时，有最小值54；
当时，则原式，此时无最小值；
当时，则原式，此时无最小值；
当时，则原式，此时无最小值；
综上所述：当时，式子的最小值为54；
故答案为54．
16．【解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和，
当时，
即当可以取整数，，，0，1，共5个；
故答案为：5；
（2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和，
则当时，的值最小，最小值为；
故答案为：7；
（3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为，
根据题意可得，芯片的运输成本为：，
表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和，
则当时，取得最小值，
此时，
实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元．
17．【解】（1）解：根据题意得：
数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于，
，
或，
解得：或，
故答案为：5，1或；
（2）解：①点在点之间，
，
，，
，
若点在点之间，则，
当点在的右侧时，则，
，，
，
解得：，
当点在的左侧时，则，
，，
，
解得：，
若，则或；
故答案为：6，6或；
②，
由①可得：当时，的值最小为：，
当时，的值最小为：，
当时，的值最小为：，
故答案为：8；
③，
当时，的值最小为：，
当时，的值最小为：，
当时，的值最小为：，
当时，的值最小为：，
当时，的值最小为，
当时，的值最小，
故答案为：20；
④，
当时，有最小值为：，
当时，有最小值为：，
当时，有最小值为：，
当时，有最小值为：，
故答案为：4，6．
18．【解】（1）解：；
故答案为：5；
（2）；
故答案为：；
（3）当b位于与5之间时： ；
故答案为：8；
（4），
∴或，或；
当时，
①，则：；
②，则：；
当时，
①，则：；
②，则：；
综上：；
故答案为：；
（5）∵，
∴，
即：到的距离等于到的距离，
∵，
∴表示整数的点在表示整数的点的右侧，
∴a在的右侧，在23的左侧，之间的距离越小，的值越小，
当时，此时，
∵a，b为整数，
∴的最小值为；
故答案为：．
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