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21.2.2.2 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
第二十一章 二次函数
知识回顾
问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征.
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
问题2 二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移|k|个单位长度得到.
问题3 函数 和 的图象，能否也可以由函数 平移得到？
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解: (1)列表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
16 9 4 1 0 1 4
4 1 0 1 4 9 16
…
…
…
…
…
…
画出二次函数 、 、 的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点
…
…
(2)描点
(3)连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
10
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向上
向上
( 0 , 0 )
( 1, 0)
（1）抛物线 与 　　　的开口方向、对称轴、顶点:
向左平移1个单位
向右平移
1个单位
抛物线 和 与抛物线 有什么关系
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
10
一般地,抛物线y=a(x+h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=-h;
(2)顶点是(-h,0).
(3)抛物线y=a(x+h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
h>0，向左平移; h<0，向又平移
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
10
y＝a(x+h)2 a>0 a<0
图象
开口
对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线 x＝-h
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧(x在对称轴右侧(x>h)递增
在对称轴左侧(x在对称轴右侧(x>h)递减
h>0
h<0
h<0
h>0
(-h,0)
二次函数 y=a(x+h)2(a ≠ 0)的性质
1、将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
2、指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
向上 直线x=4 （4，0） 左减右增 当x=4时y最小=0
向下 直线x=-2 （-2, 0） 左增右减 当x=-2时y最大=0
向下 直线x=1/3 （1/3，0） 左增右减 当x=-1/3时y最大=0
3.把抛物线y=-x2沿着x轴正方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 ____________ .
4.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.
例题讲解
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
例2 已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是(　　)
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
随堂演练
1.抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是(　　)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(0，－2) D．(0，2)
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是(　　)
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
3. 把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是(　　)
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
4. 二次函数y=-3 (x－5)2的图象可由抛物线y=-3x2沿___轴向___平移___个单位得到，它的开口向___,顶点坐标是_______,对称轴是_________.当x=___时，y有最____值.当x___5时，y随x的增大而增大；当x___5时，y随x的增大而减小.
课堂小结
探索y=a(x+h)2的图象及性质
图象的特征
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=-h
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
(-h,0)
性质
a>0,xx>h，y随x的增大而增大
a<0,xx>h，y随x的增大而减小

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