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第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
　
第一章　§2　2.2　全称量词与存在量词
学习目标
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.　
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.　
3.通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理的核心素养.
任务一　全称量词命题的否定
问题1.你能说出命题s“3的相反数是－3”和t“3的相反数不是－3”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
提示：命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题.
问题导思
问题2.写出下列命题的否定：
(1)所有的正比例函数都是一次函数；
(2) x∈R，x＋1＞0；
(3)被7整除的数都是奇数.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示：三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的正比例函数都是一次函数”，也就是说，存在一个正比例函数不是一次函数.
命题(2)的否定是“并非所有的实数x，都使x＋1＞0成立”，也就是说， x∈R，x＋1≤0.
命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
1.命题的否定
当命题是真命题时，命题的否定是________；当命题是假命题时，命题的否定是________.
2.全称量词命题的否定
新知构建
全称量词命题 它的否定 结论
x∈M，p(x) ____x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是__________命题
假命题
真命题

存在量词
(1)简记“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.(2)一个命题和它的否定真假性相反.
微提醒
(链教材P21例6)写出下列全称量词命题的否定：
(1)任意奇数的平方还是奇数；
解：存在一个奇数的平方不是奇数.
典例
1
(2) x∈R，x2＋x＋1＞0；
解： x∈R，x2＋x＋1≤0.
(3)所有三角形的三个内角都是锐角.
解：存在一个三角形的三个内角不都是锐角.
对全称量词命题进行否定的两个步骤
第一步：改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步：否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
规律方法
对点练1.(1)命题“ x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定是
A. x∈R，x2＋4x＋4≥0
B. x∈R，x2＋4x＋4＜0
C. x∈R，x2＋4x＋4＞0
D. x∈R，x2＋4x＋4＜0
命题“ x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定是： x∈R，x2＋4x＋4＜0.故 选B.
√
(2)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是
A.对角线相等的四边形不是等腰梯形
B.有的对角线相等的四边形不是等腰梯形
C.任何对角线相等的四边形都是等腰梯形
D.有的对角线相等的四边形是等腰梯形
命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”为全称量词命题，其否定为：有的对角线相等的四边形不是等腰梯形.故选B.
√
返回
任务二　存在量词命题的否定
问题3.类比全称量词命题的否定，写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上有什么变化？
(1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈N，x2的个位数字等于3.
提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，s(x)”的形式.
其中命题(1)的否定是“不存在一个凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°”，也就是说，所有凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和都不等于720°.
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形.
命题(3)的否定是“不存在x∈N，x2的个位数字等于3”，也就是说， x∈N，x2的个位数字都不等于3.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
问题导思
存在量词命题的否定
新知构建
存在量词命题 它的否定 结论
x∈M，p(x) ____x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是__________命题

全称量词
如何对省略量词的命题进行否定？
提示：若省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.
微思考
(链教材P22例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋3≤0；
解：命题的否定： x∈R，x2＋2x＋3＞0.
因为 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以命题的否定为真命题.
典例
2
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
解：命题的否定： x∈R，x3＋1≠0.
因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以命题的否定为假命题.
对存在量词命题进行否定的两个步骤
第一步：改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
第二步：否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
规律方法
√
(2)命题“有一个偶数是素数”的否定是__________________________.
任意一个偶数都不是素数
由命题“有一个偶数是素数”，可得此命题为存在量词命题，则命题的否定为“任意一个偶数都不是素数”.
返回
任务三　全称量词命题与存在量词命题否定的应用
典例
3
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1.命题和它的否定的真假性相反.
2.在解决实际问题时，通常采用“正难则反”的间接法求参数的取值范围，且范围相同.
3.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题.
规律方法
返回
课堂小结
任务
再现 1.全称量词命题、存在量词命题的否定.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断以及应用
方法
提炼 转化的思想方法
易错
警示 1.对含量词命题的否定，除了否定结论，还应改变量词.
2.命题与其否定的真假性相反，不会利用正难则反的方法把命题进行转化
随堂评价
1.命题“ x＞y，x2＞y”的否定是
A. x＞y，x2≤y B. x＞y，x2＞y
C. x＞y，x2≤y D. x≤y，x2≤y
√
命题“ x＞y，x2＞y”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“ x＞y，x2＞y”的否定是“ x＞y，x2≤y”.故选A.
2.命题“ x≥2 025，使得x2＞4 050”的否定为
A. x＜2 025，x2≤4 050
B. x≥2 025，x2＜4 050
C. x＜2 025，x2≤4 050
D. x≥2 025，x2≤4 050
√
命题“ x≥2 025，使得x2＞4 050”的否定为“ x≥2 025，x2≤4 050”.故选D.
3.(多选题)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有
A.有理数是实数
B.有些四边形不是菱形
C. x∈R，x2－2x＞0
D. x∈R，2x＋1为奇数
√
√
√
由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题； x∈R，x2－2x＞0的否定： x∈R，x2－2x≤0，是真命题； x∈R，2x＋1为奇数的否定： x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题.故选ABD.
(－∞，－6]∪[9，＋∞)
返回
课时分层评价
1.已知命题p： x＞0，x2＞0，那么命题p的否定为
A. x＞0，x2≤0 B. x≤0，x2≤0
C. x≤0，x2≤0 D. x＞0，x2≤0
√
因为命题p： x＞0，x2＞0，所以命题p的否定为： x＞0，x2≤0.故 选D.
2.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为
A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等
B.锐角三角形的三个内角都相等
C.锐角三角形的三个内角都不相等
D.锐角三角形的三个内角不都相等
√
命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”.故选D.
3.(新角度)十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为
A.对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解
B.存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至多存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
√
“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”的否定为：存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解.故选D.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是
A.p：平面内所有四边形的内角和都是360°
B.q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C.r： x∈{x｜x是无理数}，x2是无理数
D.s：对所有实数a，都有｜a｜＞0
√
对于A，p的否定：平面内有的四边形的内角和不是360°，是假命题；对于B，q的否定： x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立；对于C，r的否定： x∈{x｜x是无理数}，x2不是无理数，是假命题；对于D，s的否定：存在实数a，使｜a｜≤0，是真命题.故选BD.
√
√
√
√

6.已知命题p： x，y∈Z，2x＋4y＝3，则
A.p是假命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
B.p是假命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
C.p是真命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
D.p是真命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
√
由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题.原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定是“ x，y∈Z，2x＋4y≠3”.故选A.
8.已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是______.
当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5，则实数m的最大值为5.
5
9.(新情境)某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？______(填“是”或“否”)
因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
是
10.(10分)写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由.
(1)p： x∈R，x2＝－1；
解：命题p的否定为： x∈R，x2≠－1.命题p为假命题，所以p的否定为真命题.
(2)p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2＋x－1＝0必有实数根；
解：命题p的否定为：存在实数m，关于x的方程m2x2＋x－1＝0没有实数根.
当m＝0时，方程x－1＝0有实根；当m≠0时，方程m2x2＋x－1＝0的判别式Δ＝1＋4m2＞0，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题.
(3)p：有的平行四边形的对角线相等；
解：命题p的否定为：所有平行四边形的对角线都不相等.命题p是真命题，命题p的否定是假命题.
(4)p：有些实数的绝对值是正数.
解：命题p的否定为：所有实数的绝对值都不是正数.命题p为真命题，命题p的否定是假命题.
11.(多选题)下列说法正确的是
A.命题p： x＞0，使得x2－6x－12＝0，则p的否定： x＞0，x2－6x－12≠0
B.命题p： x＞0，x(x－4)＞0，则p的否定： x≤0，x(x－4)≤0
C.命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题
D.命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题
√
对于A，p的否定： x＞0，x2－6x－12≠0，故A正确；对于B，p的否定： x＞0，x(x－4)≤0，故B错误；对于C，其否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”是真命题，故C错误；对于D，其否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”是假命题，故D正确.故选AD.
√
12.(多选题)集合A＝{x｜x－1＞2}，集合B＝{x｜x＜－1，或x＞2}，则下列命题的否定为假命题的是
A. x∈B，x∈A B. x∈B，x A
C. x∈A，x B D. x∈A，x∈B
√

√
13.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是____________.
{a｜a≤1}
因为命题p的否定是假命题，所以命题p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1，则实数a的取值范围是{a｜a≤1}.
√

返回第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.　2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.　3.通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理的核心素养.
任务一　全称量词命题的否定
问题1.你能说出命题s“3的相反数是－3”和t“3的相反数不是－3”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
提示：命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题.
问题2.写出下列命题的否定：
(1)所有的正比例函数都是一次函数；
(2) x∈R，x＋1＞0；
(3)被7整除的数都是奇数.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示：三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的正比例函数都是一次函数”，也就是说，存在一个正比例函数不是一次函数.
命题(2)的否定是“并非所有的实数x，都使x＋1＞0成立”，也就是说， x∈R，x＋1≤0.
命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
1.命题的否定
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题.
2.全称量词命题的否定
全称量词命题 它的否定 结论
x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
[微提醒]　(1)简记“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.(2)一个命题和它的否定真假性相反.
(链教材P21例6)写出下列全称量词命题的否定：
(1)任意奇数的平方还是奇数；
(2) x∈R，x2＋x＋1＞0；
(3)所有三角形的三个内角都是锐角.
解：(1)存在一个奇数的平方不是奇数.
(2) x∈R，x2＋x＋1≤0.
(3)存在一个三角形的三个内角不都是锐角.
对全称量词命题进行否定的两个步骤
第一步：改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步：否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
对点练1.(1)命题“ x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定是(　　)
A. x∈R，x2＋4x＋4≥0
B. x∈R，x2＋4x＋4＜0
C. x∈R，x2＋4x＋4＞0
D. x∈R，x2＋4x＋4＜0
(2)命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”的否定可以是(　　)
A.对角线相等的四边形不是等腰梯形
B.有的对角线相等的四边形不是等腰梯形
C.任何对角线相等的四边形都是等腰梯形
D.有的对角线相等的四边形是等腰梯形
答案：(1)B　(2)B
解析：(1)命题“ x∈R，x2＋4x＋4≥0”的否定是： x∈R，x2＋4x＋4＜0.故选B.
(2) 命题“对角线相等的四边形是等腰梯形”为全称量词命题，其否定为：有的对角线相等的四边形不是等腰梯形.故选B.
任务二　存在量词命题的否定
问题3.类比全称量词命题的否定，写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上有什么变化？
(1)存在凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈N，x2的个位数字等于3.
提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，s(x)”的形式.
其中命题(1)的否定是“不存在一个凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和等于720°”，也就是说，所有凸n边形(n∈N，且n≥3)，它的内角和都不等于720°.
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形.
命题(3)的否定是“不存在x∈N，x2的个位数字等于3”，也就是说， x∈N，x2的个位数字都不等于3.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
存在量词命题的否定
存在量词命题 它的否定 结论
x∈M，p(x) x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
[微思考]　如何对省略量词的命题进行否定？
提示：若省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.
(链教材P22例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
(3) x，y∈Z，x＋y＝3.
解：(1)命题的否定： x∈R，x2＋2x＋3＞0.
因为 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以命题的否定为真命题.
(2)命题的否定： x∈R，x3＋1≠0.
因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以命题的否定为假命题.
(3)命题的否定： x，y∈Z，x＋y≠3.
因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，所以命题的否定为假命题.
对存在量词命题进行否定的两个步骤
第一步：改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
第二步：否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
对点练2.(1)命题“ x＞0，x＋≥3”的否定是(　　)
A. x＞0，x＋＜3 B. x≤0，x＋＜3
C. x＞0，x＋＜3 D. x≤0，x＋≥3
(2)命题“有一个偶数是素数”的否定是　　　　　　　　　　　　.
答案：(1)C　(2)任意一个偶数都不是素数
解析：(1)命题“ x＞0，x＋≥3”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“ x＞0，x＋≥3”的否定是 x＞0，x＋＜3.故选C.
(2)由命题“有一个偶数是素数”，可得此命题为存在量词命题，则命题的否定为“任意一个偶数都不是素数”.
任务三　全称量词命题与存在量词命题否定的应用
若命题p：“ x∈R，x2－x＋a≤0”为假命题，求实数a的取值范围.
解：因为命题p为假命题，
所以命题p的否定：“ x∈R，x2－x＋a＞0”为真命题，
所以Δ＝1－4a＜0，解得a＞.
所以实数a的取值范围是.
[变式探究]　(变条件)把命题p改为“ x∈R，x2－x＋a≥0”，若p为假命题，求实数a的取值范围.
解：因为命题p为假命题，则命题p的否定：“ x∈R，x2－x＋a＜0”为真命题，
所以Δ＝1－4a＞0，
解得a＜.
所以实数a的取值范围是.
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1.命题和它的否定的真假性相反.
2.在解决实际问题时，通常采用“正难则反”的间接法求参数的取值范围，且范围相同.
3.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题.
对点练3.已知命题p： x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围.
解：命题p的否定是假命题，即p是真命题，
即 x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立，
所以解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}.
任务 再现 1.全称量词命题、存在量词命题的否定.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断以及应用
方法 提炼 转化的思想方法
易错 警示 1.对含量词命题的否定，除了否定结论，还应改变量词.2.命题与其否定的真假性相反，不会利用正难则反的方法把命题进行转化
1.命题“ x＞y，x2＞y”的否定是(　　)
A. x＞y，x2≤y B. x＞y，x2＞y
C. x＞y，x2≤y D. x≤y，x2≤y
答案：A
解析：命题“ x＞y，x2＞y”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“ x＞y，x2＞y”的否定是“ x＞y，x2≤y”.故选A.
2.命题“ x≥2 025，使得x2＞4 050”的否定为(　　)
A. x＜2 025，x2≤4 050
B. x≥2 025，x2＜4 050
C. x＜2 025，x2≤4 050
D. x≥2 025，x2≤4 050
答案：D
解析：命题“ x≥2 025，使得x2＞4 050”的否定为“ x≥2 025，x2≤4 050”.故选D.
3.(多选题)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有(　　)
A.有理数是实数
B.有些四边形不是菱形
C. x∈R，x2－2x＞0
D. x∈R，2x＋1为奇数
答案：ABD
解析：由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题； x∈R，x2－2x＞0的否定： x∈R，x2－2x≤0，是真命题； x∈R，2x＋1为奇数的否定： x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题.故选ABD.
4.已知命题“ x∈，使得等式3x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　　.
答案：(－∞，－6]∪[9，＋∞)
解析：由题意得“ x∈，使得3x－m≠0成立”是真命题，故m ，所以实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[9，＋∞).
课时分层评价8　全称量词命题与存在量词命题的否定
(时间：40分钟　满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.已知命题p： x＞0，x2＞0，那么命题p的否定为(　　)
A. x＞0，x2≤0 B. x≤0，x2≤0
C. x≤0，x2≤0 D. x＞0，x2≤0
答案：D
解析：因为命题p： x＞0，x2＞0，所以命题p的否定为： x＞0，x2≤0.故选D.
2.命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为(　　)
A.存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等
B.锐角三角形的三个内角都相等
C.锐角三角形的三个内角都不相等
D.锐角三角形的三个内角不都相等
答案：D
解析：命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”.故选D.
3.(新角度)十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为(　　)
A.对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解
B.存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至多存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
答案：D
解析：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”的否定为：存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解.故选D.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A.p：平面内所有四边形的内角和都是360°
B.q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C.r： x∈{x｜x是无理数}，x2是无理数
D.s：对所有实数a，都有｜a｜＞0
答案：BD
解析：对于A，p的否定：平面内有的四边形的内角和不是360°，是假命题；对于B，q的否定： x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立；对于C，r的否定： x∈{x｜x是无理数}，x2不是无理数，是假命题；对于D，s的否定：存在实数a，使｜a｜≤0，是真命题.故选BD.
5.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”
B.命题“ x∈R，x2≤2”的否定是“ x∈R，x2＞2”
C.命题“存在x∈Q，使得2x2＋x＋1＝0”是真命题
D.若命题“ x∈R，4x2＋2x＋n＝0”为假命题，则实数n的取值范围是
答案：ABD
解析：对于A，命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”，故A正确；对于B，命题“ x∈R，x2≤2”的否定是“ x∈R，x2＞2”，故B正确；对于C，对于方程2x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×2×1＝－7＜0，所以关于x的方程2x2＋x＋1＝0无实数解，所以命题“存在x∈Q，使得2x2＋x＋1＝0”是假命题，故C错误；对于D，若命题“ x∈R，4x2＋2x＋n＝0”为假命题，则Δ＝4－4×4n＝4－16n＜0，解得n＞，所以实数n的取值范围是，故D正确.故选ABD.
6.已知命题p： x，y∈Z，2x＋4y＝3，则(　　)
A.p是假命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
B.p是假命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
C.p是真命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
D.p是真命题，p的否定是 x，y∈Z，2x＋4y≠3
答案：A
解析：由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题.原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定是“ x，y∈Z，2x＋4y≠3”.故选A.
7.命题“ x∈，－＜”的否定是　　　　　　　　　.
答案： x∈，－≥
解析：由 “ x∈，－＜”可得其否定为： x∈，－≥.
8.已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　　　　.
答案：5
解析：当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5，则实数m的最大值为5.
9.(新情境)某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　(填“是”或“否”)
答案：是
解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
10.(10分)写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由.
(1)p： x∈R，x2＝－1；
(2)p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2＋x－1＝0必有实数根；
(3)p：有的平行四边形的对角线相等；
(4)p：有些实数的绝对值是正数.
解：(1)命题p的否定为： x∈R，x2≠－1.命题p为假命题，所以p的否定为真命题.
(2)命题p的否定为：存在实数m，关于x的方程m2x2＋x－1＝0没有实数根.
当m＝0时，方程x－1＝0有实根；当m≠0时，方程m2x2＋x－1＝0的判别式Δ＝1＋4m2＞0，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题.
(3)命题p的否定为：所有平行四边形的对角线都不相等.命题p是真命题，命题p的否定是假命题.
(4)命题p的否定为：所有实数的绝对值都不是正数.命题p为真命题，命题p的否定是假命题.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.命题p： x＞0，使得x2－6x－12＝0，则p的否定： x＞0，x2－6x－12≠0
B.命题p： x＞0，x(x－4)＞0，则p的否定： x≤0，x(x－4)≤0
C.命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题
D.命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题
答案：AD
解析：对于A，p的否定： x＞0，x2－6x－12≠0，故A正确；对于B，p的否定： x＞0，x(x－4)≤0，故B错误；对于C，其否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”是真命题，故C错误；对于D，其否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”是假命题，故D正确.故选AD.
12.(多选题)集合A＝{x｜x－1＞2}，集合B＝{x｜x＜－1，或x＞2}，则下列命题的否定为假命题的是(　　)
A. x∈B，x∈A B. x∈B，x A
C. x∈A，x B D. x∈A，x∈B
答案：BD
解析：因为A＝，B＝{x，或x＞2}，则A B.对于A，原命题的否定为“ x∈B，x A”，当x＜－1时，满足x∈B，x A，即原命题的否定为真命题，故A错误；对于B，原命题的否定为“ x∈B，x∈A”，当x＜－1时，x∈B，x A，即原命题的否定为假命题，故B正确；对于C，原命题的否定为“ x∈A，x∈B”，因为A B，所以原命题的否定为真命题，故C错误；对于D，原命题的否定为“ x∈A，x B”，因为A B，所以原命题的否定为假命题，故D正确.故选BD.
13.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案：{a｜a≤1}
解析：因为命题p的否定是假命题，所以命题p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1，则实数a的取值范围是{a｜a≤1}.
14.(10分)已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围.
解：因为命题q的否定为假命题，所以q为真命题，
命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3.
命题q： 1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1.
因为命题p，q同时为真命题，所以
解得m≥3，故实数m的取值范围是{m｜m≥3}.
15.(5分)命题“ x∈，x2－x－a＞0”为假命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≤－ B.a≤0
C.a≥6 D.a≥8
答案：D
解析：若命题“ x∈，x2－x－a＞0”为假命题，则命题的否定“ x∈，x2－x－a≤0”为真命题，即a≥x2－x，x∈恒成立，y＝x2－x＝－，x∈，当x＝－2时，取得最大值y＝6，所以a≥6，选项中只有的真子集，所以命题“ x∈，x2－x－a＞0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.故选D.
16.(15分)设命题p： x≥1，x2－x＋1－m＞0，命题q： x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0.
(1)若q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围.
解：(1)由 x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0，得关于x的方程4x2＋(4m－2)x＋1＝0无实根，因此Δ＝(4m－2)2－16＜0，解得－＜m＜，
所以实数m的取值范围是(－，).
(2)由p为假命题，则命题p的否定为： x≥1，x2－x＋1－m≤0为真命题，即 x≥1，m≥x2－x＋1，而当x≥1时，x2－x＋1＝x(x－1)＋1≥1，当且仅当x＝1时取等号，因此m≥1，由(1)知，－＜m＜，则1≤m＜，
所以实数m的取值范围是［1，).
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