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第2章 对称图形——圆 达标检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、 选择题(每小题3分，共24分)
1. 若⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件是(　　)
A. d＞3　　 B. d＝3　　 C. 0＜d＜3　　 D. 无法确定
2. (2024临夏州)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD等于(　　)
A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
(第2题) (第3题) (第5题)
3. 如图，⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝60°，则的长是(　　)
A. 3π B. 4π C. 10π D. 12π
4. 已知等边三角形ABC的边长为2，则它的内切圆直径为(　　)
A. 2 　　 B. 　　 C. 2　　 D. 4
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
6. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝25°，则∠BEC的度数为(　　)
A. 100°　　 B. 110°　　 C. 115°　　 D. 120°
(第6题) (第7题) (第8题)
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在第一象限，⊙P与x轴，y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点D的坐标是(　　)
A. (9，2)　　 B. (9，3)　　 C. (10，2)　　 D. (10，3)
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE的长度为(　　)
A. 3　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 2
二、 填空题(每小题3分，共24分)
9. (2024盐城东台期中)已知圆的一条弦把圆周分成1∶3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________．
10. (2024南京秦淮模拟)已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是________．
11. (2024无锡惠山月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心．C是上的点，OC⊥AB，垂足为M.若AB＝12 m，CM＝2 m，则⊙O的半径为________m.
(第11题) (第12题) (第13题) (第14题) (第15题)
12. (2024泰州姜堰期中)如图，AB，CD为⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，若的长为2π，则AE2＋BE2＝________．
13. (2024南京秦淮期中)如图，PA，PB分别与⊙O相切，切点分别为A，B，点C在上，过点C的切线分别交PA，PB于点D，E.若PA＝10，则△PDE的周长为________．
14. 如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于点D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于点F，若BF＝3，则AC的长为________．
15. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为________cm.
16. 如图，在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上的一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠DCA的度数为________．
三、 解答题(共102分)
17. (8分)如图，AB，CD是⊙O的两条弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N，且∠AMN＝∠CNM.
(1) 求证：OM＝ON；
(2) 判断AB与CD是否相等，并说明理由．
18. (10分)图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．
(1) 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)；
(2) 在(1)的前提下，连接OD，已知OA＝5，若扇形OAD(∠AOD＜180°)是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于________．
图1 图2
19. (10分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1) 求线段AD的长度；
(2) 若E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．
20. (10分)如图，△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC.求证：
(1) AO∥BE；
(2) AO平分∠BAC.
21. (10分)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1) 求证：DE＝DB；
(2) 若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC外接圆的半径．
22. (10分)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
(1) 求证：∠AOB＝2∠BOC；
(2) 若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径．
23. (10分)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线，且交⊙O于点D，连接OD交BC于点E.
(1) 求∠BED的度数；
(2) 如图2，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G.若AD＝2，DE＝4，求DG的长．
图1 图2
24. (10分)(2024陕西)
问题提出
(1) 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若AB＝15，AC＝8，则AD的长为________；
问题解决
(2) 如图2，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100 cm，BC＝160 cm，AC＝140 cm.为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
图1 图2 备用图
25. (12分)(2024德州)如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，C是上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP.
(1) 求证：∠ACB＝2∠P；
(2) 若∠P＝30°，AB＝2.
①求⊙O1的半径；
②求图中阴影部分的面积．
26. (12分)如图1，OA是⊙O的半径，D为OA上的动点，过点D作线段CD⊥OA交⊙O于点F，过点C作⊙O的切线BC，B为切点，连接AB，交CD于点E.
(1) 求证：CB＝CE；
(2) 如图2，当D运动到OA的中点时，CD刚好平分，求证：△BCE是等边三角形；
(3) 如图3，当D运动到点O时，若⊙O的半径为2，且∠DCB＝45°，求线段EF的长．
图1 图2 图3
第2章对称图形——圆达标检测卷
1. A　2. D　3. B　4. C　5. C　6. C　7. A　8. D
9. 45°或135°　10. 180°　11. 10　12. 32　13. 20
14. 6　15. 　16. 40°
17. (1) 证明：因为OM⊥AB，ON⊥CD，
所以∠AMO＝∠CNO＝90°.
因为∠AMN＝∠CNM，
所以∠OMN＝∠ONM，所以MO＝NO.
(2) 解：AB＝CD.理由如下：
如图，连接OA，OC.
因为OM⊥AB，ON⊥CD，
所以AM＝AB，CN＝CD，∠AMO＝∠CNO＝90°.
在Rt△AOM与Rt△CON中，
所以Rt△AOM≌Rt△CON(HL)，
所以AM＝CN，所以AB＝CD.
18. 解：(1) 如图，八边形ABCDEFGH即为所求．
(2)
19. 解：(1) 如图，连接CD.
因为BC为⊙O的直径，
所以∠BDC＝∠ADC＝90°，即CD⊥AB.
因为∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
所以AB＝＝5(cm).
因为S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
所以CD＝＝(cm)，
所以在Rt△ADC中，AD＝＝＝(cm).
(2) 当E是AC的中点时，直线ED与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD，取AC的中点E，连接DE.
因为在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，E是AC的中点，
所以ED＝EC，所以∠EDC＝∠ECD.
因为OC＝OD，所以∠ODC＝∠OCD，
所以∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，
所以ED⊥OD.
又因为OD是⊙O的半径，
所以直线ED与⊙O相切．
20. 证明：(1) 因为AF是⊙O的切线，所以AF⊥OA，
即∠OAF＝90°.
因为CE是⊙O的直径，
所以∠CBE＝90°，所以∠OAF＝∠CBE＝90°.
因为AF∥BC，所以∠BAF＝∠ABC，
所以∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，所以AO∥BE.
(2) 因为∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角，
所以∠ABE＝∠ACE.
因为OA＝OC，所以∠ACE＝∠OAC，
所以∠ABE＝∠OAC.
由(1)知，∠OAB＝∠ABE，
所以∠OAB＝∠OAC，所以AO平分∠BAC.
21. (1) 证明：因为AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
所以∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
所以＝.
因为∠DBC＝∠CAD，所以∠DBC＝∠BAE.
因为∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
所以∠DBE＝∠DEB，所以DE＝DB.
(2) 解：连接CD.
由(1)，得＝，所以CD＝BD＝5.
因为∠BAC＝90°，所以BC为外接圆的直径，
所以∠BDC＝90°，
所以BC＝＝5，
所以△ABC外接圆的半径r＝×5＝.
22. (1) 证明：因为∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，∠ACB＝2∠BAC，
所以∠AOB＝2∠BOC.
(2) 解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接BD，则AE＝BE.
因为∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
所以∠DOB＝∠BOC，所以BD＝BC.
因为AB＝4，BC＝，所以BE＝2，DB＝.
在Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
所以DE＝＝1，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
所以OB2＝OE2＋BE2，即OB2＝(OB－1)2＋22，
解得OB＝，
所以⊙O的半径是 .
23. 解：(1) 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
因为AD为∠CAB的平分线，所以∠BAC＝2∠BAD.
因为OA＝OD，所以∠BAD＝∠ODA，
所以∠BOD＝∠BAD＋∠ODA＝2∠BAD，
所以∠BOD＝∠BAC，所以OD∥AC，
所以∠OEB＝∠ACB＝90°，所以∠BED＝90°.
(2) 连接BD，设OA＝OB＝OD＝r，
则OE＝r－4，AC＝2OE＝2r－8，AB＝2r.
因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.
在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，
由(1)，得∠BED＝90°，所以∠BED＝∠BEO＝90°，
所以BE2＝OB2－OE2，BE2＝BD2－DE2，
所以BD2＝AB2－AD2＝BE2＋DE2＝OB2－OE2＋DE2，
所以(2r)2－(2)2＝r2－(r－4)2＋42，
解得r1＝7，r2＝－5(不符合题意，舍去)，
所以AB＝2r＝14，
所以BD＝＝＝2.
因为AF是⊙O的切线，所以AF⊥AB.
因为DG∥AF，所以DG⊥AB，
所以S△ABD＝AD·BD＝AB·DG，
所以DG＝＝＝2.
24. 解：(1)
(2) 可以．理由如下：
因为三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
所以所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于点H，OP⊥AC于点P，OQ⊥AB于点Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于点M，如图所示．
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
因为AB＝100 cm，BC＝160 cm，AC＝140 cm，
所以CM＝(160－x) cm，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM2＝AB2－BM2＝1002－x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理，得AM2＝AC2－CM2＝1402－(160－x)2，
所以1002－x2＝1402－(160－x)2，
解得x＝50，
所以AM＝＝50(cm)，
所以S△ABC＝BC·AM＝×160×50＝4 000(cm2).
因为点O为△ABC的内心，
所以OH＝OP＝OQ＝R cm.
因为S△OBC＋S△OCA＋S△OAB＝S△ABC，
所以BC·OH＋AC·OP＋AB·OQ＝4 000，
即(100＋160＋140)R＝8 000，
解得R＝20 cm，
所以⊙O的半径为20 cm.
25. (1) 证明：连接AO2，BO2.
因为＝，
所以∠ACB＝∠AO2B＝2∠P.
(2) 解：①连接AO1并延长交⊙O1于点D，连接BD，
则∠ABD＝90°.
因为∠P＝30°，
所以∠AO2B＝2∠P＝60°，
所以∠D＝∠AO2B＝60°.
因为AB＝2，
所以AD＝4，
所以⊙O1的半径为2.
②连接O2O1并延长交AB于点H，
则AH＝AB＝，O2H⊥AB，
所以HO1＝AH＝1，AO1＝2，
所以O2H＝3.
在⊙O2中，弓形AB的面积＝扇形AO2B的面积－△AO2B的面积＝－×2×3＝2π－3；
在⊙O1中，弓形AB的面积＝扇形AO1B的面积－△AO1B的面积＝－×2×1＝－，
故图中阴影部分的面积为(－)－2π＋3＝2－
26. (1) 证明：连接OB.
因为CB为⊙O的切线，切点为B，
所以OB⊥BC，所以∠OBC＝90°.
因为OA＝OB，所以∠DAE＝∠OBA.
因为∠DAE＋∠DEA＝90°，∠OBA＋∠CBE＝90°，
所以∠DEA＝∠CBE.
因为∠CEB＝∠DEA，
所以∠CEB＝∠CBE，所以CB＝CE.
(2) 证明：连接OF，OB.
在Rt△ODF中，OF＝OA＝2OD，
所以∠OFD＝30°，所以∠DOF＝60°.
因为CD刚好平分，
所以∠AOB＝2∠AOF＝120°，
所以∠C＝360°－∠ODC－∠OBC－∠AOB＝60°.
因为CB＝CE，所以△BCE是等边三角形．
(3) 解：连接OB.
因为∠OBC＝90°，∠DCB＝45°，
所以△OBC为等腰直角三角形，
所以BC＝OB＝2，OC＝2 .
又因为CB＝CE，
所以OE＝OC－CE＝OC－BC＝2 －2，
所以EF＝OF－OE＝2－(2 －2)＝4－2 .

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