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提优小卷 (7)等边三角形与最短路径问题
一、选择题
1.(2025河南南阳期末,8,★☆)下列三角形中,不是等边三角形的是 ( )
A.有两个角等于 60°的三角形
B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形
C.有一个角等于60°的等腰三角形
D.在每个顶点处各取一个外角，这三个外角相等的三角形
2.(2025河南安阳期末,9,★☆)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF 的度数是 ( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
3.(2024河南周口川汇期末,7, )如图,点 P 在∠MON内,点 P 关于 OM,ON 的对称点分别为E,F,若EF=OP,则∠MON的度数是
( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.(2024 江苏南通崇川期末,7, )如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=30°,CD⊥AC 交AB 于点D,CD=1,则AB 的长是 ( )
A.3 B. C.4 D.
5.(2024 河北保定高阳期末,16,☆☆)如图,在△ABC中,AB=6,AC=9,直线EF 垂直平分线段 BC，P是直线 EF 上的任意一点，则△ABP 的周长的最小值是 ( )
A.9 B.15 C.24 D.27
二、填空题
6.(★☆)如图,△ABC 为等边三角形,以 BC 边所在直线为x轴，以过点B 且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，若点A 的坐标为(3,3 ),则△ABC的面积为 .
7.已知△ABC 是等腰三角形,若∠A=60°,则△ABC有 条对称轴.
8.(2024山东东营期末,16,★☆)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC 的垂直平分线交 AB 于点E,交 BC 于点 D,CE 恰好平分∠ACB,若BE=4,则AE的长为 .
9.(2024山东德州临邑期末,7,★☆)如图,在边长为4 的正三角形ABC 中,E,F,G 分别为AB,AC,BC的中点,点 P 为线段 EF上的一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是 .
10.新素养 几何直观如图，直线a，b交于点O,∠α=60°,点A 是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点 O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB 的度数为 .
三、解答题
11.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠1 和∠2都是△ABC 的外角,且∠1 = ∠2.证明：△ABC是等边三角形.
12.(2025 江苏扬州市梅岭中学教育集团月考，24，7)如图,在△ABC中,BD 是高,D 是AC的中点，点E在 BC 的延长线上，ED 的延长线交AB 于点 F,且EF⊥AB,∠E=30°.
(1)求证:△ABC 是等边三角形.
(2)请判断线段AD与CE 的数量关系，并说明理由.
13.新考法 探究与运用 )已知在等边三角形ABC 中,点 E 在 AB 上(不与点 A,B重合)，点D 在线段 CB 的延长线上，且ED=EC.
【特殊情况，探索结论】
(1)如图①,当点 E 为AB 的中点时,判断线段AE 与DB的大小关系，请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
【一般情况，验证结论】
(2)如图②,当点 E 为 AB 边上任意一点时，请你判断线段AE 与 DB 的大小关系，并说明理由.
【拓展结论，设计新题】
(3)已知△ABC 是等边三角形,点 E 在直线AB 上,点 D 在线段 CB 的延长线上,且ED=EC,若△ABC 的边长为1,AE=2,求 CD的长.
1. B
2. B由条件可知 90°,∠BDF=∠BFD,
∴ ∠CDF=∠BDC-∠BDF=15°,故选 B.
3. B 如图,连接OE,OF.
∵点P关于OM,ON的对称点分别为E,F,
∴OE=OP=OF,∠EOM=∠POM,∠FON=∠PON,
∴∠EOF=2∠MON,
∵EF=OP,∴OE=OF=EF,
∴△OEF是等边三角形，
∴ ∠EOF=60°,∴ ∠MON=30°.
4. A ∵AC=BC,∴∠B=∠A=30°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-30°=120°,
∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,
∵CD=1,∴AD=2CD=2,
∵ ∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B,∴BD=CD=1,∴AB=AD+BD=3.
5. B 如图,连接PC.
∵直线 EF 垂直平分线段 BC,∴PB=PC,
∴PA+PB=PA+PC≥AC,
∵AC=9,∴ PA+PB的最小值为9,
∴ △ABP 的周长的最小值为6+9=15.
6.答案: 9
解析：由题意可知等边△ABC 的边长为 6，则△ABC的面积为
7.答案: 3
解析: ∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴△ABC有3条对称轴.
8.答案: 2
解析: ∵ED垂直平分BC,BE=4,∴CE=BE=4,
∵∠B=30°,∴∠ECB=∠B=30°,
∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB=30°,
9.答案: 6
解析：由题意得BG=2，
∵ △BPG的周长为BP+PG+BG=BP+PG+2,
∴要使△BPG 的周长最小，只要使BP+PG 的值最小即可.
如图，连接AG交EF于点M，
易证△AEF≌△EBG,且△AEF 和△EBG都是等边三角形，
∴∠AEM=60°,AE=EG,
∴ ∠EMA=180°-∠EAM-∠AEM=90°,易证△AEM≌△GEM,∴AM=GM,
∴EF垂直平分AG,∴BP+PG=BP+PA≥AB,
∵AB=4,∴当点 P 和点 E 重合时,BP+PG的值最小,此时BP+PG=4,
∴△BPG的周长的最小值是4+2=6.
10.答案: 60°或30°
解析：如图，当点 B 在 OA 上方时，
根据题意得,∠AOB=60°,
∵△OAB 是等腰三角形,∴ △OAB 是等边三角形,
∴∠OAB=60°;
如图,当点 B在OA下方时,OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB,∵∠OBA+∠OAB=∠α=60°,
∴∠OAB=30°.
综上所述,∠OAB 的度数为60°或30°.
11.证明: ∵∠1+∠ABC=180°,∠2+∠ACB=180°,∠1=∠2,
∴∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形,
∵∠A=60°,∴△ABC是等边三角形.
12.解析: (1)证明:∵BD⊥AC,D是AC的中点,
∴BD垂直平分AC,∴AB=CB,
∴△ABC 是等腰三角形,
∵EF⊥AB,∴∠ABC+∠E=90°,
∵∠E=30°,∴∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形.
(2)AD=CE.理由如下:
∵△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°,
∴∠CDE=30°=∠E,∴CE=CD,
∵D是AC的中点,∴AD=CD,∴AD=CE.
13.解析: (1)=.
(2)AE=DB.理由如下:
如图,过点E作EF∥BC,交AC于点 F,
∵△ABC为等边三角形,EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
∴△AEF为等边三角形,∴AE=AF=EF,∴BE=FC,
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD,
∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECD=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF,在△DBE和△EFC中,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,∵AE=EF,∴AE=DB.
(3)分两种情况讨论.
①如图，当点 E在线段AB 的延长线上时，作 EG∥AC,交CD 于点 G.
易得△EGB为等边三角形，
∴∠EGB=∠EBG,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECG,在△DBE和△CGE中,
∴ △DBE≌△CGE(AAS),∴DB=CG.
∵AB=1,AE=2,∴BC=BE=1,∴BG=1,
∵DB=CG=GB+BC=2,∴CD=BC+DB=3.
②当点 E 在线段 BA 的延长线上时，不符合题意.综上所述，CD的长为3.

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