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提优小卷 (6)轴对称与等腰三角形
一、选择题
1.(2025河南开封期末,9,★☆)如图,方格图中点A，B在格点上，已知点 C 也在格点上，且△ABC 是等腰三角形，AB 为其中的一条腰，那么这样的点 C一共有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(2024 安徽马鞍山和县期末,8,★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD 为BC边上的高,下列结论不一定正确的是 ( )
A. AB=AC B. AD=BC
C. BD=CD D.∠BAD=∠CAD
3.新趋势 新定义(2024 山东聊城冠县期末，5，)定义：若两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”.若点A(1,2)与点 B 的幸福直线是直线x=-2,则点 B的坐标是 ( )
A.(-5,2) B.(-1,2)
C.(1,-2) D.(-1,-2)
4.如图,O 是△ABC 内一点,OA=OB=OC,∠BAC=70°,则∠1的度数为 ( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
5.如图,∠ABC=∠ACB,BD,CD,AD分别平分△ABC 的内角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC.以下结论：
①AD∥BC;
②∠ACB=2∠ADB;
④△ABD 和△ACD都是等腰三角形.
其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题
6.(2025 福建福州期中改编,8,★☆)检测房梁是否水平，可以采用下面的方法：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这个三角尺的斜边贴在房梁上(示意图如图)，若线绳经过三角尺的直角顶点，则可以确定房梁是水平的.这样做的依据是 .
7.(2025山西晋中榆次一模,12,★☆)如图,小明设计了一个“蝴蝶”形状的平面图形，该图形为轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中,点A,B,D的坐标依次为(-4,4),(-1,1),(4,4),则点 C 的坐标为 .
8.(2025 福建厦门期末,14,★☆)如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC,∠ABC=40°,固定住长木棍AB,转动短木棍AC，得到等腰三角形ABD(BD>AD)，此时B，C，D三点在同一条直线上，则∠CAD 的度数为 .
9.规定：等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫作等腰三角形的“特色值”，记作m.若一个等腰三角形的“特色值”为2，则该等腰三角形底角的度数为 .
10.(2025湖北武汉期末,16,★☆)如图,在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复地轴对称变换，若原来点A 的坐标是(-2，3)，则第2025次变换后点A 的对应点的坐标为 .
三、解答题
11.(2024陕西安康期末,20,★)如图,在平面直角坐标系中，已知△ABC，且A，B，C三点的坐标分别为(-1,3),(-5,1),(-2,-2).
(1)请画出△ABC 关于y轴对称的△A'B'C',点A,B,C 的对应点分别为A',B',C'.
(2)请写出点 B',C'的坐标.
12.(2024福建南平期末,20,★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,点 D 是BC的中点,过点 D 作DE⊥AB,垂足为E.求证:∠A=2∠BDE.
13.(2025浙江宁波期末节选,23,★)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.
(1)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,DE垂直平分线段 AC 交 AC 于点 D,交 BC于点 E.求证:AE 是△ABC 的一条特异线.
(2)若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角，求出所有可能的∠B 的度数.
提优小卷 (6)轴对称与等腰三角形
集训卷P13
1. C如图，符合题意的点 C 的位置共有5个，故选 C.
2. B先利用等角对等边可得AB=AC，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得 BD=CD,∠BAD =∠CAD，故A，C，D结论均正确，不符合题意，根据已知条件无法得到AD=BC，故B结论不正确，符合题意.故选 B.
3. A由题意可知点A，B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于-2,∵点A的坐标为(1,2),-2×2-1=-5,∴点B的坐标为(-5,2),故选 A.
4. A ∵OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA,∠1=∠OCB,∠OAC=∠OCA,
∵ ∠BAC=70°,∴ ∠OAB+∠OAC=70°,
∴∠OBA+∠OCA=70°,
∴∠1+∠OCB=180°-∠BAC-(∠OBA+∠OCA)=40°,
∴ ∠1=∠OCB=20°.
5. D ∵AD平分∠EAC,∴∠EAC=2∠EAD,
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,故①正确;
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=2∠DBC,∴∠ACB=2∠ADB,故②正确;
∵CD平分∠ACF,∴∠ACF=2∠DCF,
∵∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠ABC=2∠DBC,∠DCF=∠DBC+∠BDC,
∴∠BAC=2∠BDC,∴∠BDC= ∠BAC,故③正确；
∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCF,
∵∠ACD=∠DCF,∴∠ACD=∠ADC,
∴AD=AC,∴△ACD是等腰三角形,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∵∠ADB=∠DBC,∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形,故④正确.
综上所述，正确的结论有4个.
6.答案：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(也可回答“三线合一”)
7.答案: (1,1)
解析：由条件可知点A，D关于y轴对称，
∴点B，C也关于y轴对称，
∵点B 的坐标为(-1,1),∴点 C 的坐标为(1,1).
8.答案: 40°
解析: 由题意得BA=BD,∠B=40°,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=70°,
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-70°-70°=40°.
9.答案: 72°
解析：设该等腰三角形的顶角度数是α，底角度数是β,
∵该等腰三角形一个底角与顶角度数的比值为2，
∴βα=2,∴β=2α,
∵β+β+α=180°,∴5α=180°,
∴α=36°,∴β=72°.
故该等腰三角形底角的度数为72°.
10.答案: (2,3)
解析：第1次变换后点 A 的对应点的坐标为(2，3).
第2次变换后点A 的对应点的坐标为(2，-3)，第3次变换后点A的对应点的坐标为(-2，-3)，第4次变换后点A 的对应点的坐标为(-2，3)，即点A 回到了原始位置，
∴每4次变换为一个循环，
∵2 025÷4=506……1,
∴第2025次变换后点A的对应点的坐标与第1次变换后点A的对应点的坐标相同，为(2，3).
解析: (1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)B'(5,1),C'(2,-2).
12.证明: ∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠A+2∠B=180°,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴∠B+∠BDE=90°,
∴2∠B+2∠BDE=180°,∴∠A=2∠BDE.
13.解析: (1)证明:∵ DE垂直平分线段AC,∴ EA=EC,∴△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,
∴AB=AE,∴△EAB 是等腰三角形,
∴AE 是△ABC的一条特异线.
(2)当BD是特异线时,如图1,若AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°;
如图2,若AD=AB,DB=DC,则∠ABC =∠ABD+
如图3,若AD=DB,DC=DB,则∠ABC=∠ABD+ (不合题意，舍去).
当AD是特异线时,如图4,若AB=BD,AD=DC,则
当 CD为特异线时，不合题意.
∴ 符合条件的∠ABC 的度数为 135°或 112.5°或140°.

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