资源简介

提优小卷 (5) 轴对称与线段的垂直平分线
一、选择题
1.下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是 ( )
2.(★☆)如图,AD 与 BC 交于点O,△ABO 和△CDO关于直线 PQ 对称,点A,B 的对称点分别是点 C，D，连接AC.下列结论不一定正确的是 ( )
A. AD⊥BC B. PQ⊥AC
C.△ABO≌△CDO D. AB=CD
3.(2024 山东德州陵城期末,7,★☆)如图,在△ABC中,AC 的垂直平分线 MD 交 BC 于点D,交AC 于点M,且△ABD 的周长为11,AM=2,则△ABC的周长是 ( )
A.13 B.14
C.15 D.16
4.(2024 安徽淮南期末,7,★☆)如图,在△ABC中,∠C=80°,∠B=30°,分别以点A 和点 B为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交 BC 于点 D,连接AD，则∠CAD的度数为 ( )
A.50° B.45°
C.40° D.35°
5.(2024湖北襄阳樊城期末,10,★★☆)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B，下列结论不一定成立的是 ( )
A. PA=PB B. OA=OB
C. PO平分∠APB D. AB 垂直平分OP
二、填空题
6.(2025河北廊坊期末,7,★☆)如图,在10×7 的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，E，F，G，H 是△ABC 内部的四个格点，其中到△ABC 三个顶点 的 距离相等的 点 是
(2025广东广州期末,11,★☆)如图,AB的垂直平分线分别交AB,AC 于点D,E.若AC=18,AE:EC=2:1,则BE 的长为 .
8.新素养 几何直观 (2024 浙江杭州上城期末，13，★☆)按如图所示的方法折纸，则∠1+∠2= °.
9.如图，线段AB，BC 的垂直平分线相交于点 O,连接OA,OC.若∠AOC=80°,则∠B 的度数为 .
10.新素养 几何直观 (2025 江苏泰州期末,15,)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α，当斜边 AB 的垂直平分线分别交线段AB,AC 于点 D,E 时,α的取值范围为
三、解答题
11.(2024 陕西咸阳秦都期中,18,★☆)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,点 P,Q,R 分别在AB,BC,AC上,且PB=QC,QB=RC.求证:点 Q 在 PR 的垂直平分线上.
12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线 MN交BC 于点D,连接AD,以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点 E，连接AE.
(1)使用直尺和圆规完成作图过程(保留作图痕迹).
(2)若BC=6,求△ADE的周长.
13.(2024河北沧州肃宁期中,24,)如图,AC 与BD 相交于点O,且AC垂直平分BD,OE⊥AB 于点 E,OF⊥AD 于点 F.
(1)求证:∠ABC=∠ADC.
(2)若AB=13,DF=6,求AE的长.
1. B 2. A
3. C ∵DM垂直平分AC,
∴AD=CD,CM=AM=2,
∵△ABD的周长为11,∴AB+BD+AD=11,
∴AB+BD+CD=11,即AB+BC=11,
∴ △ABC的周长为AB+BC+AC=11+2×2=15.
4. C 根据作图过程可知，MN垂直平分AB，
∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°,
在△ABC中,∵∠C=80°,∠B=30°,
5. D ∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,
∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,
∵∠OAB=90°-∠PAB,∠OBA=90°-∠PBA,
∴∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,
∵OP=OP,∴△APO≌△BPO,∴∠APO=∠BPO,
∴ PO平分∠APB.故A,B,C结论均成立,不合题意.根据已知条件无法判定AB垂直平分OP，故D结论不一定成立，符合题意，故选 D.
6.答案: 点 F
解析：分别作AC，BC的垂直平分线(图略)，易观察出两直线交于点 F，
则点 F到△ABC三个顶点的距离相等.
7.答案: 12
解析: ∵AC=18,AE:EC=2:1,
∵DE垂直平分AB,∴BE=AE=12.
8.答案: 90
解析: 由题意可知2(∠1+∠2)= 180°,即∠1+∠2=90°.
9.答案: 40°
解析：如图，连接OB，
∵∠AOC=80°,
∴∠AOB+∠BOC=280°,
∵线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，
∴OB=OA,OB=OC,
∴∠ABO=∠A,∠CBO=∠C,
∵∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC=360°,
∴∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°,
∴∠ABO+∠CBO=40°,
∴∠ABC=40°.
10.答案: 0°<α≤45°
解析：根据题意分两种情况进行讨论，
①当点 E 无限靠近点A 时,∠A 无限接近0°,∴α>0°;
②当点E与点 C 重合时，Rt△ABC 是等腰直角三角形,此时α=45°.
综上所述，α的取值范围为(
证明:如图,连接PQ,RQ,在△BQP 和△CRQ中,
∴△BQP≌△CRQ(SAS),∴PQ=QR,
∴点 Q 在 PR 的垂直平分线上.
12.解析: (1)示例:如图所示.
(2)由题意可知，直线 MN 为线段AB 的垂直平分线,AD=AE,∴BD=AD=AE,
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=∠ACE=90°,
∵AC=AC,∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL),∴CD=CE,
∵BC=6,∴ △ADE 的周长为AD+AE+DE=2BD+2CD=2(BD+CD)=2BC=12.
13.解析: (1)证明:∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,CB=CD,
在△ABC和△ADC中,
∴ △ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC.
(2)由(1)得AD=AB=13,
∵DF=6,∴AF=AD-DF=7,
∵ △ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,
∵OE⊥AB,OF⊥AD,∴∠AEO=∠AFO=90°,在△AEO 和△AFO中,
∴ △AEO≌△AFO(AAS),∴AE=AF=7.

展开更多......

收起↑