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提优小卷 (4) 角平分线的性质与判定
一、选择题
1.新考法 操作实践 (2025 江苏扬州中学文昌教育集团期末，7，★☆)甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC，如图所示，现要在道路AB边上建一个休息点 M，使它到AC和BC 两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2024山东潍坊期末,2,★☆)如图,OF 平分∠AOB,FM⊥OA于点M,且FM=3,N是射线 OB 上的一点，则FN的长度不可能是( )
A.2 B. C.4.5 D.10
3.新考法 操作实践 (2025 海南海口期末,4,☆)小明同学只用两个完全相同的直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一个直尺的一边放在射线 OB 上，另一个直尺的一边放在射线 OA 上，并且与第一个直尺交于点 P,小明说:“射线 OP 就是∠BOA 的平分线.”他这样做的依据是 ( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
4.(★☆)如图,在△ABC中,若DE⊥AB,DF⊥AC,连接AD,则对于∠1 和∠2 的大小关系，下列说法正确的是 ( )
A.∠1和∠2一定相等
B.∠1和∠2一定不相等
C.当BD=CD时,∠1和∠2相等
D.当DE=DF时,∠1和∠2相等
5.(2024 安徽合肥肥东期末,7,★★☆)如图,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ABC=35,DE=4,AB=10,则AC的长是 ( )
A.7.5 B.8 C.15 D.16
二、填空题
6.新素养 几何直观 (2025 福建厦门期末,12,)把两个同样大小的含30°角的直角三角尺(记作△ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆放，其中点 M 是AB与CD的交点，则可以得到结论：MA 的长度等于点 M到 BC 的距离.请用你学过的数学知识解释这个结论： .
7.( ) 如图,在△ABC中,点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等，∠BOC=130°,则∠A 的度数为 °.
8.如图,∠B=∠C=90°,E 是 BC 的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB= 度.
9.如图，P为△ABC三条角平分线的交点,PH、PN、PM 分别垂直于 BC、AC、AB,垂足分别为 H、N、M.已知△ABC 的周长为15cm,PH = 3 cm,则 △ABC 的面 积为 cm .
10.( )如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC,BA: CA=7:9,AD 与 BE相交于点 O,若△OAE 的面积比△BOD 的面积大 a,则△ABC 的面积是 .(用含a的式子表示)
三、解答题
11.新考向 尺规作图 如图，在直线 MN上求作一点 P,使点 P 到射线 OA,OB 的距离相等.(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程)
12.如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,且∠BAD 与∠C 互补.求证:AD=CD.
13.(2025 湖南长沙望城期末,22,★☆)如图,在 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE 于点 E,点 F在AC上,且BD=DF.
(1)求证:(CF=EB.
(2)试判断AB与AF，EB 之间存在的数量关系，并说明理由.
14.如图,在△ABC 中,点 D 在边 BC 的延长线上，点F 在边 BA 的延长线上，∠ACB=108°,∠ABC 的平分线交AD于点E,过点 E 作 EH ⊥BD,垂足为 H,且
(1)求 的度数.
(2)请判断AE 是否平分∠CAF,并说明理由.
(3)若AC+CD=10,AB=5,且 求 的面积.
1. C 要想点 M到AC 和BC 两边的距离相等,则点 M为∠ACB 的平分线与AB的交点，
∴丙同学的作图正确.
2. A 如图,过点 F作 FD⊥OB 于点 D,
∵OF平分∠AOB,FM⊥OA,FD⊥OB,
∴FD=FM=3,
∴FN≥FD=3,
∴ 四个选项中只有 A 选项符合题意.
3. A ∵点 P 到射线OB的距离是直尺的宽度，点 P到射线OA 的距离也是直尺的宽度，
∴点 P 到射线OB,OA的距离相等,
∴点P在∠BOA 的平分线上(在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上).
4. D
5. A 如图,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DF=DE=4,
∴AC=7.5.
6.答案：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
解析: 由题意可知∠DCB=30°,∠ACB=60°,∠A=90°,
∴∠ACM=∠ACB-∠DCB=60°-30°=30°,
∴ CM平分∠ACB,
如图,过点 M作MN⊥BC 于点 N,
∴ ∠MNC=∠A=90°,
∴AM=MN,
∴ MA 的长度等于点 M 到 BC 的距离.
∴用学过的数学知识解释这个结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
7.答案: 80
解析：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°-2(∠OBC+ -130°)=80°.
8.答案: 35
解析: 如图,过点 E 作 EF⊥AD于点 F,
∵DE平分∠ADC,∠C=90°,
∴CE=EF,
∵E是BC的中点,∴CE=EB=EF,
又∵∠B=∠AFE=90°,
∴∠EAB=∠EAF.
∵∠CED=35°,∠C=90°,
∴∠CDA=110°,
∵∠B=∠C=90°,∴DC∥AB,
∴∠CDA+∠DAB=180°,
∴∠DAB=70°,∴∠EAB=35°.
9.答案: 22.5
解析: 如图,连接PA、PB、PC,
∵P为△ABC三条角平分线的交点,PH、PN、PM分别垂直于 BC、AC、AB,
∴PM=PN=PH=3cm,
∴△ABC的面积=△APB 的面积+△BPC 的面积+△APC的面积
知识拓展
已知一个三角形的周长为 C，面积为S，三条角平分线的交点到各边的距离
10.答案: 16a
解析: 如图,过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,DN⊥AB于点 N.
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
设△ABC 的面积为S,则
∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大a,
∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大a,
∴S=16a,即△ABC的面积是16a.
11.解析：如图，点P 即为所求.
12.证明:如图,过点 D 作DE⊥AB 交 BA 的延长线于E,作DF⊥BC于 F,
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF,
∵∠BAD与∠C互补,
∴∠BAD+∠C=180°,
又∠DAE+∠BAD=180°,
∴∠DAE=∠C,
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴AD=CD.
13.解析: (1)证明:∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE,
在 Rt△FCD和Rt△BED中,
∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL),
∴CF=EB.
(2)AB=AF+2BE.
理由如下:在 Rt△ACD 和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.
14.解析: (1)∵∠ACB=108°,
. ,
∵EH⊥BD,∴∠CHE=90°,
∵∠CEH=54°,
∴∠ECH=90°-54°=36°,
(2)AE平分∠CAF.
理由:过点 E分别作 EM⊥BF 于点 M,EN⊥AC 于点N，如图，
∵BE平分∠ABC,
∴EM=EH,
由(1)知∠ACE=∠ECH=36°,
∴CE平分∠ACD,∴EN=EH,∴EM=EN,
∴AE平分∠CAF.
(3)由(2)知EM=EN=EH,
∵AC+CD=10,
解得EM=2,

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