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提优小卷 (3)全等三角形的判定(ASA、AAS、HL)
一、选择题
1.(2024 浙江台州玉环期末,4,★☆)如图,在△ABC和△ADC 中,AB=AD,下列条件中添加后不能使△ABC≌△ADC 的是( )
A.∠BAC=∠DAC
B.∠BCA=∠DCA
C.∠ABC=∠ADC=90°
D. BC=DC
2.如图,AC⊥BD 于P，AP=CP，添加下列一个条件，能利用“HL”判定△ABP≌△CDP 的是 ( )
A. AB∥CD
B.∠B 与∠C互余
C. BP=DP
D. AB=CD
3.(★☆)已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC 全等的是 ( )
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.只有丙
4.(2024安徽阜阳临泉期末,10,)如图,△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，下列结论不正确的是 ( )
A. DE=DF B. BD=CD
C. AD=2DE D. AD⊥BC
5.(2024江苏泰州高港期末,6,★★★)如图,在边长一定的等腰直角△ABC 中，点 D 为斜边AC的中点，点E 是边AB上一动点，连接DE，过点D作 DF⊥DE 交BC 边于点 F,在点 E 运动的过程中，关于四边形BEDF，下列说法正确的是 ( )
A.面积不变，周长不变
B.面积不变，周长改变
C.面积改变，周长不变
D.面积改变，周长改变
二、填空题
6.(☆☆)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC，分别过点B，C作过点A 的直线的垂线BD,CE,若BD=13 cm,CE=8cm,则DE= cm.
7.(2025河北邢台期末,16,★☆)如图,点 P 的坐标为(2，2)，点A 在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动,且 PA=PB.
(1)点 P到x轴的距离是 .
(2)若点A(8,0),则点 B 的坐标为 .
8.如图,点A,B,C,D在同一条直线上，点E，F分别在直线 AB 的两侧,且 AE = BF,∠A =∠B,∠ACE=∠BDF.已知AB=8,AC=2,则CD= .
三、解答题
9.(2024 江苏徐州 期末, 18, ★☆) 如图, 在Rt△ABC中,∠B=90°,BC⊥CD 于点 C,DE⊥AC 于点 E,AB=CE,求证:△CED≌△ABC.
10.如图,已知 △ABC 中,AB = CB,∠ABC=90°,在平面直角坐标系中,A(0,3),B(1,0),求点 C 的坐标.
11.(2024河南周口鹿邑期末,17,★☆)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC 于点 F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
12.(2025福建福州现代中学期中节选，25，)在平面直角坐标系中,A(0,2),P(3,3),连接PA,PB⊥PA交x轴于点 B.
(1)如图①,求点 B 的坐标.
(2)如图②,若点 A 运动到点 A 位置,点B运动到点 B 位置,仍保持 PA ⊥PB ,求( 的值.
1. B 添加∠BAC =∠DAC,可由“SAS”判定△ABC≌△ADC.
添加∠ABC=∠ADC=90°,可由“HL”判定△ABC≌△ADC.
添加 BC=DC,可由“SSS”判定△ABC≌△ADC.故选 B.
2. D ∵AC⊥BD,AP=CP,∴利用“HL”判定△ABP≌△CDP 必须添加的条件是斜边相等，即AB=CD.
3. C 由“SAS”可判定三角形乙与△ABC 全等;由“AAS”可判定三角形丙与△ABC全等.
4. C ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△ADE与△ADF中
∴ △ADE≌△ADF(AAS),∴ DE = DF,AE = AF,∠ADE=∠ADF,故选项 A结论正确,不符合题意;
∵AB=AC,∴BE=CF,在△BDE与△CDF中,
∴ △BDE≌△CDF(SAS),∴ BD = CD,∠BDE =∠CDF，故选项B结论正确，不符合题意；
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠ADC=∠ADF+∠CDF,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∴AD⊥BC,故选项 D结论正确，不符合题意；
根据已知条件无法得出AD=2DE，故选项 C结论不正确，符合题意.故选C.
5. B 如图,过点 D 作 DG⊥AB,DH⊥BC,垂足分别为G,H,
∵ △ABC 是等腰直角三角形,∴∠A=∠C,
∵D为AC中点,∴AD=CD,
∴△ADG≌△CDH(AAS),∴DG=DH,易得∠GDH=90°,∵∠EDF=90°,
∴∠EDG=∠FDH,又∠EGD=∠FHD=90°,
∴△DEG≌△DFH(ASA),
∴DE=DF,EG=FH,S△DEC=S△DFH,
∴S四边形EBFD=S四边形GBHD,
四边形BEDF的周长=BE+BF+DE+DF=2BG+2DE,易知四边形GBHD面积不变，
∴四边形BEDF 面积不变，
∵BG一定,DE变化,
∴ 四边形 BEDF 的周长变化.
6.答案: 21
解析: ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠D=∠E=90°,∠ABD+∠BAD=90°,
∴ ∠ABD=∠CAE,
又∵∠D=∠E=90°,AB=AC,
∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,BD=AE,
∴DE=AE+AD=BD+CE=13+8=21(cm).
7.答案: (1)2 (2)(0,-4)
解析: (1)∵P(2,2),∴点P到x轴的距离为2.
(2)过点 P作 PE⊥x轴于点 E,作 PF⊥y轴于点 F,如图.
∵P(2,2),
∴PE=PF=OE=OF=2,
∵A(8,0),
∴AE=OA-OE=8-2=6,
在 Rt△APE 和 Rt△BPF中,
PAPE=PBP,∴ Rt△APE≌Rt△BPF(HL),
∴FB=AE=6,∴OB=FB-OF=6-2=4,
∴点 B 的坐标为(0,-4).
8.答案: 4
解析: 在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
∴BD=AC=2,
∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4.
9.证明: ∵DE⊥AC,∠B=90°,
∴∠DEC=∠B=90°,
∵BC⊥CD,∴CD∥AB,
∴∠A=∠DCE,
在△CED 和△ABC中,
∴△CED≌△ABC(ASA).
10.解析: 如图,过点 C作 CD⊥x轴于点 D,
则∠BDC=∠AOB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBD=∠BAO=90°-∠ABO,
在△BDC和△AOB中,
∴△BDC≌△AOB(AAS),
∵A(0,3),B(1,0),
∴DB=OA=3,DC=OB=1,
∴OD=DB+OB=3+1=4,
∴点C的坐标是(4,1).
11.证明: 在 Rt△ADC与Rt△CBA 中,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL),
∴DC=BA.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°,在Rt△ABE与Rt△CDF中 ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
12.解析: (1)如图,过点 P 作 PM⊥OB 于 M,PN⊥y轴于N，
则∠ANP=∠BMP=∠MPN=90°=∠APB,PN=PM=ON=OM=3,
∴∠APN+∠APM=∠BPM+∠APM,
∴∠APN=∠BPM,
∵A(0,2),∴OA=2,
∴AN=ON-OA=3-2=1.
在△PAN和△PBM中,
∴△PAN≌△PBM(ASA),
∴PA=PB,BM=AN=1,
∴OB=OM+BM=3+1=4,
∴B(4,0).
(2)由(1)得PA=PB,
∵∠APB=∠A PB =90°,
易得∠PAO+∠PBO=360°-∠AOB-∠APB=360°-
∴∠PAO=∠PBB ,
在△PAA 和△PBB 中,
2=6.

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