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第十五章 轴对称
考点一 轴对称及轴对称图形
1.(★☆)下列图案中，是轴对称图形的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(2024四川南充期末,7,做)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,连接AA',BB',CC',其中 BB'分别交AC,A'C'于点D,D',下列结论:①AA'∥BB';②∠ADB=∠A'D'B';③直线l垂直平分AA';④直线AB与A'B'的交点不一定在直线l上.其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
3.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4).
(1)若△A B C 与△ABC关于y轴对称,请作出△A B C .
(2)若P为x轴上一点，当PA+PB取得最小值时，则点 P 的坐标为 .
(3)计算△ABC的面积.
考点三 线段垂直平分线的性质与判定
4.(2024湖南常德期末,6,★)如图,在△ABC中,AC=8cm,线段AB的垂直平分线MN交AB 于点 M,交AC 于点 N,连接BN,若△BCN的周长是13 cm，则BC的长为 ( )
A.5cm B.7 cm C.9 cm D.13 cm
5.(2024湖北黄石期末,14,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE 垂直平分线段AB，已知 则∠A=
6.如图,已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,E 为AB 的中点,且DE⊥AB 于点 E,AD平分∠CAB.
(1)求∠B的度数.
(2)若DE=2,求BC的长.
考点四 等腰三角形
7.如图,已知a∥b,直线c与直线a,b分别交于点A,B,以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线 b于另一点 C，连接AC，若∠CAB=50°,则∠ACB 的度数是 ( )
A.50° B.65° C.80° D.75°
8.(2024黑龙江哈尔滨道里期末，15，)上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，当天上午10时到达海岛B处，已知灯塔C在海岛A的北偏西 方向上，灯塔C在海岛B的北偏西84°方向上，则海岛B到灯塔C 的距离为 海里.
9.(2024四川广安邻水期末，15，如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点,DE⊥BC于点E,CE=6,则线段BE的长为 .
10.如图,在△ABC中,AC=BC,点F为AB的中点,连接CF,边AC的垂直平分线分别交AC,CF,CB于点D,O,E,连接OB.
(1)求证:△OBC为等腰三角形.
(2)若∠ACF=23°,求∠BOE 的度数.
第十五章 轴对称
1. B根据轴对称图形的定义知，题中的第2个图案不是轴对称图形，第1个、第3个、第4个图案都是轴
对称图形.
2. A 由题意知,①②③正确;
∵ △ABC 和△A'B'C'关于直线l对称,
∴ 直线AB 与A'B'的交点一定在直线l上，故④错误.故选 A.
3.解析: (1)如图,△A B C 即为所求作的三角形.
(2)(2,0).
详解：如图，作出点 A 关于 x轴的对称点 A'，连接A'B,A'B 与x轴交于点 P,则点 P 是使 PA+PB 的值最小的点，
由图可知点 P 的坐标为(2,0).故答案为(2,0).
(3)△ABC的面积
4. A ∵MN垂直平分线段AB,∴BN=AN,
∴△BCN的周长=BC+CN+BN=BC+CN+AN=BC+
AC,∴ BC+AC=13 cm,
∴BC=13-8=5(cm).
5.答案: 36°
解析：∵ED垂直平分线段AB，
∴AD=DB,∴∠A=∠ABD,
∠ABD,∴∠A=∠ABD=2∠CBD,
∵∠C=90°,∴∠A+∠ABC=90°,即2∠DBC+(2∠DBC+∠DBC)=90°,解得∠DBC=18°,∴∠A=36°.
6.解析: (1)∵E为AB的中点,且DE⊥AB,∴AD=BD,∴∠B=∠DAE,
∵AD平分∠CAB,
∴ ∠CAD=∠DAE,
∴∠CAD=∠DAE=∠B,
∵∠C=90°,
∴3∠B=90°,解得∠B=30°.
(2)由(1)知∠B=30°,
∵DE⊥AB,DE=2,
∴BD=2DE=4,
∵∠C=90°,DE⊥AB,AD平分∠CAB,
∴CD=DE=2,
∴ BC=BD+CD=4+2=6.
7. B 由题意得,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠CAB=50°,
8.答案: 40
解析：根据题意画图如下，
由题意得AB=2×20=40(海里),∠A=42°,∠DBC=84°,
∴∠C=∠DBC-∠A=42°,
∴∠C=∠A,∴BC=AB=40海里,
∴ 海岛 B到灯塔 C 的距离为40海里.
9.答案: 18
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°,BC=AC,
∵DE⊥BC,
∴∠CDE=30°,
∴CD=2CE=12,
∵ D为AC的中点,
∴AC=2CD=24,∴BC=24,
∴ BE=BC-CE=18.
10.解析: (1)证明:连接OA,如图,
∵AC=BC,点 F为AB的中点,
∴CF垂直平分AB,∴OA=OB,
∵DE 垂直平分AC,∴OA=OC,∴OB=OC,
∴ △OBC 为等腰三角形.
(2)∵CA=CB,点 F 为AB的中点,
∴CF平分∠ACB,
∴∠BCF=∠ACF=23°,
由(1)得OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=23°,
∵∠EDC=90°,
∵∠OEC=∠OBE+∠BOE,
∴ ∠BOE=44°-23°=21°.

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