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第十四章 全等三角形
考点一 全等三角形的性质与三角形全等的判定
1.一块三角形钢板插入水泥台面中(示意图如图所示)，某同学说：“不用拔出钢板，就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形.”该同学判定两个三角形全等的依据是 ( )
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
2.(2025山东潍坊期中改编，12，做)三个全等三角形按如图所示的方式摆放,则∠1+∠2+∠3= ( )
A.160° B.180° C.200°
3.(2024广东潮州期末,9,)如图,已知线段AB=20米, 于点A,MA=6米,射线 于点B，点P 从点B出发向点A运动，每秒运动1米，点Q同时从点B出发，沿射线BD运动，每秒运动3米.若点 P,Q 出发x秒,在线段 MA 上有一点 C,使 与 全等，则x的值为 ( )
A.5 B.5或10 C.10 D.6或10
4.(2024安徽宣城期末,14,)如图,在3×3的网格中,点A,B,C,D均落在格点(网格线的交点)上，则
5.如图,在 Rt△ABC中, 过点A作AX⊥AC,P,Q分别为线段AC 和射线AX上的点,且PQ=AB.若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的长为 .
6.(2023江苏苏州中考,20,★)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线，以点A为圆心，AD长为半径画弧，分别与AB，AC交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF.
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
7.在 中， ,过点 C 作直线 MN, MN于点 M, 于点 N.
(1)若MN在 外部(如图①)，求证：MN=AM+BN.
(2)若MN与线段AB相交(如图②),且AM=2.6,BN=1.1,则MN=
考点二 角的平分线
8.(2025山东青岛城阳期中，4，★ )三条公路将A，B，C三个村庄连成如图所示的三角形区域，现在要在该区域内修建一个农贸市场，要使农贸市场到三条公路的距离相等，则这个农贸市场所建的位置应是 ( )
A.三角形三条高线的交点处
B.三角形三条角平分线的交点处
C.三角形三条中线的交点处
D.三角形三边垂直平分线的交点处
9.(2024河南三门峡灵宝期末，8，做)如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB,垂足为C,点F在OA上,若∠AFE=30°,EC=2米,则EF的长度为 ( )
A.2米 B.3米 C.4米 D.5米
10.(2024江西赣州章贡期末,11,★)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE⊥AC于点 E,若BC=9 cm,DE=3cm,则△BCD 的面积为 cm .
11.如图,在△ABC中, ,AD 平分 DE⊥AB于点 E,若AC=5,BE=2,则 的周长为 .
12.(2024安徽淮南期末,21,★2)如图,BD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F.
(1)求证:DE=DF.
(2)若△ABC的面积为70,AB=16,DE=5,求BC的长.
考点三 全等三角形的实际应用
13.新考法项目式学习(2025广东东莞期中，20，★)八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼AB 的高度的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量学校教学楼AB的高度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 (1)在教学楼外的水平地面上选一点 C； (2)从教学楼楼顶的点A 处看地面上的点C，测视线AC与地面的夹角∠ACB的度数； (3)测量BC的长度; (4)放置一根与 BC长度相等的标杆 DE，DE 垂直于地面； (5)从标杆顶部点 E 处看地面上的点 C，测视线EC 与地面的夹角∠ECD的度数
测量数据 ∠ACB=68.2°,∠ECD=21.8°,BC=DE=2.5m,CD=12m
请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼AB的高度.
第十四章 全等三角形
1. D
2. B 如图,由全等三角形的性质得∠4=∠D,∠5=∠6,由三角形内角和定理得∠6+∠D+∠BCD=180°,∴∠4+∠5+∠BCD=180°.易得∠1+∠4+∠3+∠5+∠2+∠BCD=360°,∴∠1+∠2+∠3=180°.
3. A 当△APC≌△BQP时, ,即20-x=3x,解得x=5,符合题意;
当△APC≌△BPQ时, 米，
此时所用时间为10秒，AC=BQ=30米，不符合题意，舍去.
综上,点 P、Q 出发5 秒后,在线段 MA 上有一点 C,使△CAP 与△PBQ全等.
4.答案:90°
解析：如图，
在△DCE和△ABD中,
∴△DCE≌△ABD(SAS),
∴∠CDE=∠BAD,
∴ ∠BAD+∠ADC=∠CDE+∠ADC=∠ADE=90°.
5.答案: 6cm或12cm
解析：分两种情况讨论：
①当△ABC≌△QPA时,AP=BC=6cm;
②当△ABC≌△PQA时,AP=AC=12 cm.
综上,AP 的长为6 cm或12 cm.
6.解析: (1)证明:∵AD 是△ABC的角平分线,∴ ∠BAD=∠CAD.
由作图知AE=AF.
在△ADE 和△ADF中,
∴ △ADE≌△ADF(SAS).
(2)∵∠BAC=80°,AD为△ABC 的角平分线,
由作图知AE=AD,∴∠AED=∠ADE,
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.∴∠BDE=90°-∠ADE=20°.
7.解析: (1)证明:∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∴∠MAC+∠ACAE90%∴∠NCB+∠ACM=90°,
∴ ∠MAC=∠NCB.
在△AMC 和△CNB中,
∴ △AMC≌△CNB(AAS),∴AM=CN,MC=NB.
∴ MN=NC+CM=AM+BN.
(2)1.5.
详解:∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴∠AMC=∠CNB=90°,
∴∠MAC+∠ACM=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACM+∠NCB=90°,
∴∠MAC=∠NCB,
在△ACM 和△CBN中,
∴△ACM≌△CBN(AAS),
∴CN=AM=2.6,CM=BN=1.1,
∴MN=CN-CM=2.6-1.1=1.5.
8. B
9. C 过点 E作 EH⊥AO 于点H,如图,∵点E在∠BOA 的平分线上,EC⊥OB,
∴EH=EC=2米,
∵∠AFE=30°,
∴ EF=2EH=4米.
10.答案: 13.5
解析: 如图,过点 D作 DF⊥BC 于点 F,
∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,
∴DF=DE=3cm,
11.答案: 7
解析: ∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴DC=DE,
由题意知AC=BC=5,
∴△BDE的周长=DE+DB+BE=CD+DB+BE=CB+EB=5+2=7.
12.解析: (1)证明:∵ DE⊥AB,DF⊥BC,BD 是△ABC的角平分线，
∴DE=DF.
(2)由(1)知DF=DE=5,
即 ∴BC=12.
13.解析: ∵AB⊥BD,DE⊥BD,
∴∠ABC=∠CDE=90°,
在△ABC与△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(AAS),∴AB=CD,
∵CD=12m,∴AB=12m.
答：教学楼AB 的高度为12m.

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