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第9讲　平抛运动
1.掌握平抛运动的特点和性质.
2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题．
考点一　平抛运动的基本规律
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
考点二　斜面上的平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2，tan θ＝， 可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.斜面上平抛运动的运动时间两种坐标系建立求解方法
当v的方向与斜面平行时距离最大 当vy减为0时距离最大
(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝，t＝. (1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
考点三　平抛运动的临界问题
1． 平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度 出界的临界速度
2． 既擦网又压线的双临界问题 根据，可得比值：
考点四　类平抛运动模型
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
考点五　斜抛运动
1、运动规律 水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是
2、轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示：
3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大
4、两条结论 ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。
2024年巴黎奥运会于8月12日闭幕，中国体育代表团共收获40金27银24铜，创造夏季奥运会境外参赛最佳战绩。铅球比赛中，某铅球运动员正在进行投球，铅球投出后在空中的某段运动轨迹如图所示，铅球在A点时的速度大小v0=3m/s，铅球在B点的速度v1恰好与v0方向垂直，且A、B两点的间距LAB=1.8m。若将铅球视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．铅球从A点运动到B点的时间为0.6s
B．铅球在B点的速度大小为
C．铅球上升的最大高度为
D．A、B两点的高度差为0.45m
在2024年巴黎奥运会中，我国运动员郑钦文获得女子网球单打冠军。决赛中某次回球时，球被斜向上击出，之后依次经过、、三点，如图所示。已知网球经过点时的速度大小为，方向与、连线的夹角为；经过点时的速度与、连线平行；经过点时的速度与、连线成、大小为。已知重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．网球由运动到的时间为
B．和的水平距离相等
C．与水平方向的夹角为
D．点到点的竖直高度为
跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面与水平方向夹角为且足够长，如图所示，测得A、B间的距离为40m，斜坡与水平面的夹角为，运动员质量，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同
B．运动员的质量越大，落点离A越远
C．运动员在A处的速度为
D．运动员落在B处的速度与水平方向夹角为
中国选手刘诗颖在2020年东京奥运会田径女子标枪决赛中获得金牌。刘诗颖的“冠军一投”的运动简化图如图所示。投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力作用，下列关于标枪的运动及曲线运动说法正确的是（　　）
A．出手后标枪的加速度是变化的
B．标枪升到最高点时速度为零
C．标枪在相同时间内速度变化量相同
D．曲线运动不可能是匀变速运动
人体弹弓，将人体当做弹丸射出，新颖刺激，与众不同，如图是一种人体弹弓的示意图，两根相同的橡皮绳（符合胡克定律）连接到座椅上，座椅可在倾斜轨道上滑动，、、在同一直线上。将弹弓拉满后固定，当人坐到座椅上后，在时拨动开关，时刻弹弓将人从点射出。人在空中飞行一段时间后于时刻落到水池中。忽略空气阻力，则人沿水平方向的速度与的关系，下列图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，水平地面上固定一足够大斜面，倾角为37°。P点为斜面上的点，Q点在P点正上方，两点相距1.5m，AB为斜面上与Q点等高的直线。从Q点以不同速率多次斜向上抛出小球并落在直线AB上，每次抛出时的方向均与水平方向成45°角，且抛出时的最大速率为5m/s。取g=10m/s2，sin37°=0.6，忽略空气阻力，则落点间的最大距离为（　　）
A．3m B．2.5m C．2m D．1.5m
(24-25高三下·辽宁抚顺六校协作体·)如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为，在O点击中网球，球以的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小，，下列说法正确的是（　　）
A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为12m/s B．网球由O点运动到P点的时间为1.4s
C．O、P两点间的水平距离为16.6m D．O、P两点间的高度差为11.8m
精确空投系统通过辅助制导设备，在惯性导航的基础上微调运动轨迹来提高空投物资的准确度。如图所示，某次空投中飞机在高度以水平速度匀速飞行。飞机释放一个质量的包裹，释放后包裹依靠惯性运动，忽略空气阻力，重力加速度。
(1)要使包裹能准确投送到飞机正前方水平地面上的目标位置，求包裹释放位置与目标位置的水平距离；
(2)若飞机飞行过程中突然遇到强风，强风过后飞机高度抬升了，并获得竖直向上的速度，水平速度不变，此时飞机处于（1）问中释放位置的正上方，立即释放包裹。要使包裹仍能准确投送到同一目标位置，释放包裹的同时启动辅助制导系统，使包裹始终受到一竖直向下的恒力作用，求该力的大小。
题型1平抛运动基本规律的应用
足球运动员训练罚点球 ，足球放置在球门中央的正前方 O 点 。两次射门 ，足球先后打在水平横梁上的 a、b 两点 ，a 为横梁中点 ，如图所示。 若足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向 ，不计空气阻力的作用， 下列说法正确的是（　　）
A．若足球从 O 点运动到 a、b 的时间分别为和，则
B．若足球击中 a、b 两点的速度分别为和，则
C．若先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹角分别为和，则
D．若足球从 O 点运动到 a、b 的平均速度分别为 和，则
如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若青蛙分别以初速度跳到荷叶a、b、c、d上，则的大小关系应为（ ）
A． B． C． D．
将一个物体以5m/s的初速度水平抛出，经过3s物体落至水平地面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。在此3s内（　　）
A．物体下落的高度为30m B．物体下落的高度为40m
C．物体的水平位移为15m D．物体的水平位移为20m
题型2平抛运动的两个重要推论的应用
如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的初速度一定有
B．两小球落到圆环上所用的时间满足
C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇
如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法错误的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圆环时的水平分位移越大
B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大
C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．v0取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
题型3平抛运动与斜面相结合
一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P点，O点在A点的正上方，A、B、O、P四点在同一竖直面内。第一次小球以的水平速度从O点抛出，正好落入洞中的点，的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O点抛出，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　）
A．小球从点运动到P点的时间是
B．点在P点的下方
C．第二次小球水平抛出的速度小于
D．、A两点的高度差为
跳台滑雪是一种极为壮观的运动，运动员穿着滑雪板，从跳台O点水平飞出，之后在着陆坡着陆。着陆坡可看作倾角一定的斜面。质量为m的运动员在某次训练中，先后分别以v和2v的水平速度离开O点，最终都落在着陆坡上。若不计空气阻力，则运动员两次落在着陆坡前瞬间重力的功率之比为（　　）
A． B． C． D．
跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面与水平方向夹角为且足够长，如图所示，测得A、B间的距离为40m，斜坡与水平面的夹角为，运动员质量，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化逐渐增大
B．运动员的质量越大，落点离A越远
C．运动员在A处的速度为
D．运动员落在B处的速度与水平方向夹角为
题型4平抛运动与圆面相结合
如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有
B．若小球从A到运动时间为，则
C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为
D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为
如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中不正确的是（　　）
A．能够求两球抛出的速率之比
B．小球从抛出到着地过程的时间随初速度变化而变化
C．只要两球能够到达坑中的同一位置，两球运动的时间始终相等
D．无论怎样改变抛出的速度大小，两球都不可能垂直坑壁落入坑中
如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（ ）
A．运动时间 B．两次运动速度变化
C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D．
题型5平抛运动与竖直面相结合
如图所示是一种投弹式干粉消防车。某次灭火行动中，消防车出弹口到高楼水平距离，发射灭火弹的初速度与水平面夹角，且灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗。已知灭火弹可视为质点，不计空气阻力，，则灭火弹在空中运动的轨迹长度最接近于（ ）
A．13m B．14m C．15m D．20m
跑酷是一种极限运动，需要利用身体的能力快速、高效地穿越复杂的环境。在某次跑酷运动中，运动员需要从水平平台跳到右边的曲面，运动过程可以简化如下：平台离地面高度为，平台边沿正下方水平地面O点为坐标原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴建立坐标系，右侧曲面在竖直平面内截面曲线满足方，如图所示。已知重力加速度为，不计空气阻力，若小球水平离开平台的初速度为2m/s，则小球落到曲面的坐标为（　　）
A． B． C． D．
如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛出点O与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大小为（　　）

A． B． C． D．
题型6平抛运动在球类问题中的临界问题
如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高h1=2.45m处将排球以v0=12m/s的速度水平击出，乙同学在离地高h2=0.65m处将排球垫起。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．排球被垫起前在空中运动的时间为0.7s
B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为7.2m
C．排球被垫起前瞬间的速度大小为12m/s
D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为30°
如图所示，“封盖”也叫“盖帽”，是篮球比赛中常用的防守方式。投篮运动员出手点离地面的高度m，封盖的运动员击球点离地面的高度m，两运动员竖直起跳点的水平距离m。封盖运动员击球时手臂竖直伸直，这时篮球及封盖运动员均恰好运动至最高点，击球后，篮球以击球前速度的3倍水平飞出。已知封盖运动员站立单臂摸高m，取m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．球脱离投篮运动员时的速度大小为2m/s
B．封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小为4m/s
C．篮球从被封盖到落地过程的水平位移大小为4.8m
D．封盖运动员在篮球投出前0.4s开始起跳
如图所示，一球门高1.8m，宽3m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0m处的点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点。足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的，平行的速度分量不变，落在点。已知垂直，球的质量为0.4kg，重力加速度取10m/s ，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．球在O点的初速度大小为
B．在Q点落地时的速度大小为2.5m/s
C．落地点与门线AB的距离为1.5m
D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间
题型7斜抛运动
如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲
B．甲、乙初速度大小之比为
C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为
D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧
如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线（与所有水流的轨迹均相切的曲线），虚曲线的方程为。取重力加速度，则（　　）
A．水喷出时速度大小为
B．水喷出后在空中飞行的最长时间为
C．水流飞行的最大水平位移为
D．水平位移最大的水流在空中的时间为
(2025高三下·河北省秦皇岛市·二模)2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队勇夺网球女子单打首枚金牌。若某次训练中，她第一次在地面上方A点把网球以初速度水平击出，落在水平面上B点；第二次在地面上方C点把网球以一定初速度斜向上击出，初速度方向与水平方向的夹角为，网球运动的最高点恰好为A点，落在水平面上D点，如图为网球两次运动的轨迹，两轨迹在同一竖直平面内，A点在水平地面的投影点为，，A点到地面的距离是C点到地面的距离的，不计空气阻力，重力加速度大小为g，。下列说法正确的是（　　）
A．网球两次在空中做匀变速运动的加速度不同
B．网球第二次的初速度大小为
C．A、C两点间的水平距离为
D．网球在B点的速度大小为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第9讲　平抛运动
1.掌握平抛运动的特点和性质.
2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题．
考点一　平抛运动的基本规律
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
考点二　斜面上的平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2，tan θ＝， 可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.斜面上平抛运动的运动时间两种坐标系建立求解方法
当v的方向与斜面平行时距离最大 当vy减为0时距离最大
(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝，t＝. (1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
考点三　平抛运动的临界问题
1． 平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度 出界的临界速度
2． 既擦网又压线的双临界问题 根据，可得比值：
考点四　类平抛运动模型
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
考点五　斜抛运动
1、运动规律 水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是
2、轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示：
3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大
4、两条结论 ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。
2024年巴黎奥运会于8月12日闭幕，中国体育代表团共收获40金27银24铜，创造夏季奥运会境外参赛最佳战绩。铅球比赛中，某铅球运动员正在进行投球，铅球投出后在空中的某段运动轨迹如图所示，铅球在A点时的速度大小v0=3m/s，铅球在B点的速度v1恰好与v0方向垂直，且A、B两点的间距LAB=1.8m。若将铅球视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．铅球从A点运动到B点的时间为0.6s
B．铅球在B点的速度大小为
C．铅球上升的最大高度为
D．A、B两点的高度差为0.45m
【答案】A
【详解】A．将铅球的运动沿初速度与末速度方向分解，设重力与的夹角为，沿方向有
沿方向有
由几何关系有
代入数据解得，
A正确；
B．铅球在B点的速度大小
B错误；
C．铅球在竖直方向上的速度减为0时，上升的高度最大，根据几何关系可知，初速度方向与竖直方向的夹角为
则有
解得
C错误；
D．由
即A、B两点的高度差为0.9m，D错误。
故选A。
在2024年巴黎奥运会中，我国运动员郑钦文获得女子网球单打冠军。决赛中某次回球时，球被斜向上击出，之后依次经过、、三点，如图所示。已知网球经过点时的速度大小为，方向与、连线的夹角为；经过点时的速度与、连线平行；经过点时的速度与、连线成、大小为。已知重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．网球由运动到的时间为
B．和的水平距离相等
C．与水平方向的夹角为
D．点到点的竖直高度为
【答案】AB
【来源】2025届山东省十三校高三下学期4月联考物理试题
【详解】A．将网球的运动分解在ac方向与垂直ac方向，则在ac方向，
垂直ac方向，
且
解得
故A正确；
B．a到b过程中
b到c过程中
解得，
且
的水平距离为
的水平距离为
可知
故B正确；
C．假设与水平方向的夹角为，则
解得
故C错误；
D．点到点的竖直高度为
故D错误。
故选AB。
跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面与水平方向夹角为且足够长，如图所示，测得A、B间的距离为40m，斜坡与水平面的夹角为，运动员质量，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同
B．运动员的质量越大，落点离A越远
C．运动员在A处的速度为
D．运动员落在B处的速度与水平方向夹角为
【答案】A
【来源】2025届重庆市名校联盟高三下学期3月考第一次联合考试物理试题
【详解】A．运动员在空中只受重力，加速度恒定，单位时间内速度变化相同，A正确；
BC．根据平抛规律有，
又，
整理得，
代入数值解得，
所以在A处的速度为，在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，与质量无关，故BC错误；
D．竖直方向的速度
则速度与水平方向夹角的正切值
可见速度与水平方向夹角不等于，D错误。
故选A。
中国选手刘诗颖在2020年东京奥运会田径女子标枪决赛中获得金牌。刘诗颖的“冠军一投”的运动简化图如图所示。投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力作用，下列关于标枪的运动及曲线运动说法正确的是（　　）
A．出手后标枪的加速度是变化的
B．标枪升到最高点时速度为零
C．标枪在相同时间内速度变化量相同
D．曲线运动不可能是匀变速运动
【答案】C
【来源】2025届辽宁省抚顺市高三下学期模拟考试物理试卷
【详解】A．忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，由牛顿第二定律得加速度为重力加速度，加速度不变，A错误；
B．标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，B错误；
C．标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，在相同时间内速度变化量相同，C正确；
D．加速度不变的曲线运动是匀变速运动，例如平抛运动，D错误。
故选C。
人体弹弓，将人体当做弹丸射出，新颖刺激，与众不同，如图是一种人体弹弓的示意图，两根相同的橡皮绳（符合胡克定律）连接到座椅上，座椅可在倾斜轨道上滑动，、、在同一直线上。将弹弓拉满后固定，当人坐到座椅上后，在时拨动开关，时刻弹弓将人从点射出。人在空中飞行一段时间后于时刻落到水池中。忽略空气阻力，则人沿水平方向的速度与的关系，下列图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【来源】2025届山西省高三下学期一模物理试题（适应性测试）
【详解】设轨道倾角为，座椅与轨道摩擦力为，橡皮筋对人的力为，人和座椅总质量为。一起在轨道上运动过程中，在忽略空气阻力的情况下，根据牛顿第二定律
而橡皮筋对人的力在减小，可知人和座椅的加速度先减小后反向增大。则人先由静止开始做加速度减小的加速直线运动。然后做加速度增大的减速运动；时刻弹弓将人从点射出，当人离开座椅后做斜抛运动，其水平方向的速度不变，图像中斜率表示加速度，则图像的斜率先减小后增大，最后是零。
故选B。
如图所示，水平地面上固定一足够大斜面，倾角为37°。P点为斜面上的点，Q点在P点正上方，两点相距1.5m，AB为斜面上与Q点等高的直线。从Q点以不同速率多次斜向上抛出小球并落在直线AB上，每次抛出时的方向均与水平方向成45°角，且抛出时的最大速率为5m/s。取g=10m/s2，sin37°=0.6，忽略空气阻力，则落点间的最大距离为（　　）
A．3m B．2.5m C．2m D．1.5m
【答案】A
【来源】2025届山东省济宁市高三下学期模拟考试物理试题
【详解】由于小球从Q 点抛出到落到与Q 等高的直线AB上，其竖直位移为零，故运动时间
在此时间内，小球的水平位移为
当小球初速度大小为5m/s时，小球落到与抛出点等高的落点时水平位移最大，此时小球的水平位移为
当小球落到AB上的落点与Q的连线垂直AB时，此时小球的水平位移最小，此时小球的水平位移为
当小球初速度从0变化到最大值5m/s时，根据数学知识及对称性可得落点在AB上的最大间距为
故选A。
(24-25高三下·辽宁抚顺六校协作体·)如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为，在O点击中网球，球以的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小，，下列说法正确的是（　　）
A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为12m/s B．网球由O点运动到P点的时间为1.4s
C．O、P两点间的水平距离为16.6m D．O、P两点间的高度差为11.8m
【答案】A
【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高三下学期期初检测物理试卷
【详解】A．网球的逆向运动（由点到点）为平抛运动，对点速度进行分解可得
故A正确；
B．在竖直方向上有
解得
故B错误；
C．两点间的水平距离
故C错误；
D．两点间的高度差
故D错误。
故选A。
精确空投系统通过辅助制导设备，在惯性导航的基础上微调运动轨迹来提高空投物资的准确度。如图所示，某次空投中飞机在高度以水平速度匀速飞行。飞机释放一个质量的包裹，释放后包裹依靠惯性运动，忽略空气阻力，重力加速度。
(1)要使包裹能准确投送到飞机正前方水平地面上的目标位置，求包裹释放位置与目标位置的水平距离；
(2)若飞机飞行过程中突然遇到强风，强风过后飞机高度抬升了，并获得竖直向上的速度，水平速度不变，此时飞机处于（1）问中释放位置的正上方，立即释放包裹。要使包裹仍能准确投送到同一目标位置，释放包裹的同时启动辅助制导系统，使包裹始终受到一竖直向下的恒力作用，求该力的大小。
【答案】(1)
(2)
【来源】2025届山东省青岛市高三下学期第一次适应性检测物理试题
【详解】（1）竖直方向位移
水平方向位移
解得。
（2）由题意得，包裹下落过程中水平速度不变，水平位移不变，所以时间不变，可得
竖直方向位移
由牛顿第二定律得
解得。
题型1平抛运动基本规律的应用
足球运动员训练罚点球 ，足球放置在球门中央的正前方 O 点 。两次射门 ，足球先后打在水平横梁上的 a、b 两点 ，a 为横梁中点 ，如图所示。 若足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向 ，不计空气阻力的作用， 下列说法正确的是（　　）
A．若足球从 O 点运动到 a、b 的时间分别为和，则
B．若足球击中 a、b 两点的速度分别为和，则
C．若先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹角分别为和，则
D．若足球从 O 点运动到 a、b 的平均速度分别为 和，则
【答案】A
【来源】2025届重庆市育才中学校高三下学期三诊模拟物理试题
【详解】A．足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向，则逆过程均可看做平抛运动，因两次的竖直高度相同，根据
可知足球从 O 点运动到 a、b 的时间
选项A正确；
B．因击中b点的球水平位移较大，可知水平速度较大，则足球击中 a、b 两点的速度
选项B错误；
C．根据
因击中b点时的水平速度较大，可知先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹角关系为
选项C错误；
D．若足球从 O 点运动到b点的位移较大，时间相同，可知打到 a、b 的平均速度关系
选项D错误。
故选A。
如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若青蛙分别以初速度跳到荷叶a、b、c、d上，则的大小关系应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】2025届甘肃省高三下学期普通高校招生统一模拟考试物理试题
【详解】青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有，
可得
因此青蛙的水平位移越小、竖直方向运动的距离越大，所需初速度越小，即有，无法比较，可知C项正确。
故选C。
将一个物体以5m/s的初速度水平抛出，经过3s物体落至水平地面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。在此3s内（　　）
A．物体下落的高度为30m B．物体下落的高度为40m
C．物体的水平位移为15m D．物体的水平位移为20m
【答案】C
【来源】2025届湖南省娄底市高三下学期模拟预测物理试题
【详解】AB．竖直方向有m
故AB错误；
CD．水平方向有m
故C正确，D错误；
故选C。
题型2平抛运动的两个重要推论的应用
如图所示，AB为竖直放置的半圆环ACB的水平直径，O为半圆环圆心，C为环上的最低点，环半径为R，两个质量相同的小球分别从A点和B点以初速度和水平相向抛出，初速度为的小球落到a点所用时间为，初速度为的小球落到b点所用时间为，a点高度大于b点高度，不计空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的初速度一定有
B．两小球落到圆环上所用的时间满足
C．不论和满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上
D．若两小球同时水平抛出，不论和满足什么关系，两小球都能在空中相遇
【答案】BC
【来源】2024届辽宁省重点高中协作校高三下学期模拟预测物理试题（四）
【详解】AB. 根据，因为b下落高度大，所以b平抛运动的时间长，即有
水平位移
由图中b的水平位移小，所以b球的初速度小于a球的初速度，即，故A错误，B正确；
C. 设速度与水平方向的夹角α，位移与水平方向的夹角β，有
可以证明速度反向延长线交水平位移的中点，若该选项中假设小球垂直打在圆环上，则速度反向延长线交点在圆心，但不是水平位移的中点，故C正确；
D. 如果两球的初速度非常小，两球不能在空中相遇，如图所示
故D错误。
故选BC。
如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【来源】2023届辽宁省名校联盟高考模拟调研卷物理试题（二）
【详解】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示
根据几何关系得
小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从到的运动时间为
水平方向匀速运动有
故选A。
如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法错误的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圆环时的水平分位移越大
B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大
C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．v0取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
【答案】D
【来源】2020届浙江省浙江大学附属中学高三下学期全真模拟考试物理试题
【详解】A．小球做平抛运动，则小球的初速度v0越大，其轨迹就越靠近ab直线，则碰到圆环时的水平分位移越大，故A正确， 不符合题意；
B．小球做平抛运动，当小球掉在c点时竖直分速度最大，设初速度为v0，则有
R=gt2
R=v0t
解得
故B正确，不符合题意。
C．小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，故C正确，不符合题意；
D． v0取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D错误，符合题意。
故选D。
题型3平抛运动与斜面相结合
一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P点，O点在A点的正上方，A、B、O、P四点在同一竖直面内。第一次小球以的水平速度从O点抛出，正好落入洞中的点，的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O点抛出，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　）
A．小球从点运动到P点的时间是
B．点在P点的下方
C．第二次小球水平抛出的速度小于
D．、A两点的高度差为
【答案】D
【来源】2025届安徽省A10联盟高三下学期模拟预测物理试题
【详解】A．第一次以水平速度v0从O点抛出小球，正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知
解得
故A错误；
BC．根据速度偏角的正切值等于位移偏角的正切值的二倍，当小球以水平速度v从O点抛出，可知此时落到斜面上的位移偏角小于以水平速度v0=3m/s抛出时落到斜面上的位移偏角，所以Q点在P点的上方，则，水平位移，所以
故BC错误；
D．根据几何关系结合运动学规律可得O、A两点的高度差
故D正确。
故选D。
跳台滑雪是一种极为壮观的运动，运动员穿着滑雪板，从跳台O点水平飞出，之后在着陆坡着陆。着陆坡可看作倾角一定的斜面。质量为m的运动员在某次训练中，先后分别以v和2v的水平速度离开O点，最终都落在着陆坡上。若不计空气阻力，则运动员两次落在着陆坡前瞬间重力的功率之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】 2025届齐鲁名校教研共同体”高三下学期第六次联考物理试卷
【详解】设着陆坡倾角为α，运动员落在斜面上速度方向偏向角为θ，如图所示
根据平抛运动的推论可得
所以运动员两次落在着陆坡时速度偏向角θ相等。
功率
可得
故选B。
跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面与水平方向夹角为且足够长，如图所示，测得A、B间的距离为40m，斜坡与水平面的夹角为，运动员质量，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化逐渐增大
B．运动员的质量越大，落点离A越远
C．运动员在A处的速度为
D．运动员落在B处的速度与水平方向夹角为
【答案】C
【来源】2025届重庆市西南大学附属中学校高三下学期二诊模拟考试物理试卷
【详解】A．根据题意可知，运动员在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，由可知，运动员在空中相同时间内的速度变化相同，故A错误；
BC．根据平抛运动规律有，
又有，
整理可得，
代入数据解得，
可知，运动员在A处的速度为，在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，与质量无关，故B错误，C正确；
D．运动员落在B处的竖直速度为
则速度与水平方向夹角的正切值
可见速度与水平方向夹角不等于，故D错误。
故选C。
题型4平抛运动与圆面相结合
如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有
B．若小球从A到运动时间为，则
C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为
D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为
【答案】BD
【来源】2025届四川省遂宁市蓬溪中学校高三上学期模拟考试物理试卷
【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为
当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得
综合可得
故A错误；
B．小球从A到，由平抛运动的规律可得
，
由几何关系可得
综合解得
故B正确；
CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为
结合
，，
综合可得
由数学知识可得
则的最小值为，故C错误，D正确。
故选BD。
如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ=60°，忽略空气阻力。则下列说法中不正确的是（　　）
A．能够求两球抛出的速率之比
B．小球从抛出到着地过程的时间随初速度变化而变化
C．只要两球能够到达坑中的同一位置，两球运动的时间始终相等
D．无论怎样改变抛出的速度大小，两球都不可能垂直坑壁落入坑中
【答案】B
【来源】2021届湖南省长沙市长郡中学高三下学期冲刺模拟物理试卷
【详解】A．由于两球抛出时的高度相同，且落到同一点，根据知，两球的运动时间相等，水平方向上有
，
由几何关系可知
所以可得两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；
B．根据平抛的基本规律可知，小球从抛出到着地过程的时间
显然只要两小球落在圆上等高的位置，虽然初速度不同，但是时间是相等的，故B错误；
C．只要两小球落在坑中的同一点，两球下降的竖直高度就是一样的，则运动的时间始终就是相等的，故C正确；
D．由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M、N点水平抛出小球，无论怎样改变小球抛出的初速度，小球都不可能垂直坑壁落入坑中，故D正确。
由于本题选择错误的，故选B。
如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（ ）
A．运动时间 B．两次运动速度变化
C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D．
【答案】D
【来源】2024届江苏省四校高三下学期4月联考模拟预测物理试题
【详解】A．根据
则运动时间
故A错误；
B．根据
两次运动速度变化
故B错误；
C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误；
D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有
可得
如图
可知
所以
故D正确。
故选D。
题型5平抛运动与竖直面相结合
如图所示是一种投弹式干粉消防车。某次灭火行动中，消防车出弹口到高楼水平距离，发射灭火弹的初速度与水平面夹角，且灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗。已知灭火弹可视为质点，不计空气阻力，，则灭火弹在空中运动的轨迹长度最接近于（ ）
A．13m B．14m C．15m D．20m
【答案】C
【来源】2025届浙江省温州市高三下学期5月三模物理试题
【详解】灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗，此时灭火弹的竖直分速度为0，设灭火弹的初速度为，则有，
联立解得，
则灭火弹的竖直位移大小为
则灭火弹的合位移大小为
则灭火弹在空中运动的轨迹长度应略大于灭火弹的合位移大小，所以最接近于15m。
故选C。
跑酷是一种极限运动，需要利用身体的能力快速、高效地穿越复杂的环境。在某次跑酷运动中，运动员需要从水平平台跳到右边的曲面，运动过程可以简化如下：平台离地面高度为，平台边沿正下方水平地面O点为坐标原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴建立坐标系，右侧曲面在竖直平面内截面曲线满足方，如图所示。已知重力加速度为，不计空气阻力，若小球水平离开平台的初速度为2m/s，则小球落到曲面的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】2025届安徽省高三下学期逐梦星辰杯大联考物理试卷
【详解】设落点位置坐标为，则满足方程：，
联立解得，
故选A。
如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛出点O与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【来源】2025届重庆市高三下学期二模物理试题
【详解】设拖出点O到杯壁上端的距离为H，小物块平抛时的速度大小为v，从O点到P点历时t，则在水平方向有
在竖直方向有
且
联立解得
故选A。
题型6平抛运动在球类问题中的临界问题
如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高h1=2.45m处将排球以v0=12m/s的速度水平击出，乙同学在离地高h2=0.65m处将排球垫起。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．排球被垫起前在空中运动的时间为0.7s
B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为7.2m
C．排球被垫起前瞬间的速度大小为12m/s
D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为30°
【答案】B
【来源】2025届海南省琼海市嘉积中学高三下学期物理模拟试卷（一）
【详解】A．排球在空中做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，设排球在空中的运动时间为t，则
解得
故A错误；
B．排球在水平方向做匀速直线运动，排球从击出到被垫起前运动的水平距离为
故B正确；
C．排球被垫起前瞬间的竖直方向速度为
则排球被垫起前瞬间的速度大小为，解得
故C错误；
D．设排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为，则
所以该夹角不是，故D错误。
故选B。
如图所示，“封盖”也叫“盖帽”，是篮球比赛中常用的防守方式。投篮运动员出手点离地面的高度m，封盖的运动员击球点离地面的高度m，两运动员竖直起跳点的水平距离m。封盖运动员击球时手臂竖直伸直，这时篮球及封盖运动员均恰好运动至最高点，击球后，篮球以击球前速度的3倍水平飞出。已知封盖运动员站立单臂摸高m，取m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．球脱离投篮运动员时的速度大小为2m/s
B．封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小为4m/s
C．篮球从被封盖到落地过程的水平位移大小为4.8m
D．封盖运动员在篮球投出前0.4s开始起跳
【答案】BC
【来源】2025届陕西省咸阳市高三下学期二模物理试题
【详解】A．根据题意可知，篮球从出手到被封盖，可看作平抛运动的逆运动，则有，
联立解得
则球脱离投篮运动员时的速度大小
故A错误；
B．封盖运动员的起跳看作竖直上抛运动，有
代入题中数据，解得封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小
故B正确；
C．篮球从被封盖到落地，在竖直方向上有
在水平方向上有
联立解得
故C正确；
D．篮球从出手到最高点的时间，封盖运动员从起跳到最高点的时间
则封盖运动员从篮球被投出前
故D错误。
故选BC。
如图所示，一球门高1.8m，宽3m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0m处的点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点。足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的，平行的速度分量不变，落在点。已知垂直，球的质量为0.4kg，重力加速度取10m/s ，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．球在O点的初速度大小为
B．在Q点落地时的速度大小为2.5m/s
C．落地点与门线AB的距离为1.5m
D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间
【答案】C
【来源】2025届辽宁省本溪市高级中学高三下学期第七次模拟物理试题
【详解】A．从到点，根据平抛运动的逆向思维有，，
联立解得，
则足球在O点的初速度大小为
故A错误；
B．足球经过横梁反弹后，垂直的速度分量大小变为原来的倍，平行的速度分量不变，设碰时速度与夹角为，根据几何关系
则有，，
落地竖直方向有，
则足球在Q点落地时的速度大小为
故B错误；
C．设反弹后速度垂直的分速度大小为，下落时间为，则落地点与门线AB的距离为
故C正确；
D．竖直方向根据对称性可知，足球由运动到点的时间等于由运动到点的时间，故D错误。
故选C。
题型7斜抛运动
如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲
B．甲、乙初速度大小之比为
C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为
D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧
【答案】BD
【来源】2025届山东省潍坊市高三下学期二模物理试题
【详解】A．速度变化量为
两球运动时间相等，所以从抛出到相遇，速度变化量大小相等，故A错误；
B．小球甲做平抛运动，则，
小球乙做斜上抛运动，则，
联立可得，
故B正确；
C．相遇前瞬间，甲的速度大小为
乙的速度大小为
所以
故C错误；
D．对乙球，有，
所以
由此可知，当时，乙球的水平位移最大，所以若改变乙抛出的θ角，其水平位移减小，即其落地时一定位于M点的左侧，故D正确。
故选BD。
如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线（与所有水流的轨迹均相切的曲线），虚曲线的方程为。取重力加速度，则（　　）
A．水喷出时速度大小为
B．水喷出后在空中飞行的最长时间为
C．水流飞行的最大水平位移为
D．水平位移最大的水流在空中的时间为
【答案】D
【来源】2025届河南省郑州市高三下学期第三次质量预测（三模）物理试题
【详解】A．由题可知，当时，则有
结合竖直上抛运动规律
联立解得
A错误；
B．根据，可知最高点对应得时间最长，故有
根据抛体运动得对称性可得，水喷出后在空中飞行的最长时间为
B错误；
C．当时，可得水平位移最大为
解得
C错误；
D．设水流抛出时，速度方向于水平方向的夹角为，根据运动的分解可得水平位移
竖直方向上则有
根据运动得对称性可得
联立可得
由数学知识可知，时，即水平位移最大，故水平位移最大的水流在空中的时间为
D正确。
故选D。
(2025高三下·河北省秦皇岛市·二模)2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队勇夺网球女子单打首枚金牌。若某次训练中，她第一次在地面上方A点把网球以初速度水平击出，落在水平面上B点；第二次在地面上方C点把网球以一定初速度斜向上击出，初速度方向与水平方向的夹角为，网球运动的最高点恰好为A点，落在水平面上D点，如图为网球两次运动的轨迹，两轨迹在同一竖直平面内，A点在水平地面的投影点为，，A点到地面的距离是C点到地面的距离的，不计空气阻力，重力加速度大小为g，。下列说法正确的是（　　）
A．网球两次在空中做匀变速运动的加速度不同
B．网球第二次的初速度大小为
C．A、C两点间的水平距离为
D．网球在B点的速度大小为
【答案】C
【来源】2025年河北省秦皇岛市山海关区高三下学期第二次模拟追补考试物理试卷
【详解】A．网球在空中只受重力，加速度均为，故A错误；
B．设、两点距离为，第二次网球过点后做平抛运动，根据，，解得水平方向的速度为，结合，可得第二次网球过A点的速度大小为，所以网球第二次的初速度大小为，故B错误；
C．初速度竖直分量，网球从点到A点的时间，则、两点间的水平距离为，故C正确；
D．根据题意有，即，网球在点，竖直方向的速度为，又水平方向的速度为，故网球在B点的速度大小为，故D错误。
故选C。
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