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第13讲　机械能守恒定律
1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算.
2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒.
3.掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用．
考点一　机械能守恒的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
考点二　机械能守恒定律的应用
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
考点三　多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．轻绳相连的物体系统机械能守恒
①注意两个物体的质量不一定相等；注意多段运动 ②注意两物体运动位移和高度不一定相等 ③注意两物体速度大小不一定相等，可能需要分解速度 ④注意最大速度和最大加速度区别
①b落地前，a机械能增加、b减小，系统机械能守恒； ②b落地后若不反弹，绳松，a机械能守恒；
3．轻杆相连的系统机械能守恒
类型 类型一：绕杆上某固定点转动 类型二：无固定点，沿光滑接触面滑动
图示
特点 同轴转动，角速度相等，线速度与半径成正比。 沿杆分速度大小相等，两物体速度大小不一定相等。
弹弓的构造如图1所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，将橡皮筋在竖直平面内沿AB的中垂线方向拉伸，当橡皮筋中点被拉至C处时，橡皮筋恰好拉直且处于原长状态（如图2所示）。将小石子抵在C处橡皮筋上，将橡皮筋中点从C点拉至D点时放手，小石子在橡皮筋的作用下沿竖直方向向上弹射出去。橡皮筋的质量和空气阻力忽略不计，小石子可视为质点。小石子由D点运动到C点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小石子的机械能守恒
B．小石子的重力势能与橡皮筋的弹性势能之和先减小后增大
C．橡皮筋对小石子的弹力先做正功后做负功
D．小石子在C处时速度最大
【答案】B
【详解】AC．由于橡皮筋恢复原长之前对小石子的作用力始终向上，弹力一直做正功，小石子的机械能一直在增加，A、C项错误；
BD．当橡皮筋中点被拉至C处时恰好为原长状态，在C点橡皮筋的拉力为零，在CD连线中的某一位置，小石子受力平衡，加速度为零，速度最大，则小石子的动能先增大后减小，由小石子与橡皮筋组成的系统机械能守恒可知，小石子的重力势能与橡皮筋的弹性势能之和先减小后增大，B项正确、D项错误。
故选B。
2024年珠海航展上，飞行员驾驶飞机沿如图所示轨迹在竖直面内匀速率飞行，依次经过a、b、c三点，b为轨迹上的最高点，a、c两点距地面高度相同。下列说法正确的是（　　）
A．飞机经过b点时的加速度为零
B．飞机在a点所受合力小于在c点所受合力
C．飞机经过a、c两点时重力的瞬时功率相等
D．飞机从a点运动到c点的过程中机械能守恒
【答案】B
【详解】A．质点在每小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，在竖直面内匀速率飞行，合力方向指向各自圆心，加速度方向也指向各自圆心，故在b点时的加速度不为零，故A错误；
B．质点在每小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，在竖直面内匀速率飞行，合力方向指向各自圆心，加速度方向也指向各自圆心，明显a点对应的圆周半径更大，c点对应半径更小，合力提供向心力，根据向心力公式
可知a点所受的合力小于c点，故B正确；
C．a、c两点的速度大小相等，但速度方向不同，设速度与竖直方向的夹角为α，速度与重力夹角不同，根据P=mgvcosα
可知重力功率不相等，故C错误；
D．飞机在运动过程中动能不变，但飞机距地面的高度在变化，即飞机的重力势能变化，飞机从a点运动到c点的过程中机械能不守恒，故D错误。
故选B。
某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　）
A．卫星的周期为
B．卫星绕地球运行时机械能守恒
C．卫星在近地点与远地点的速度之比为
D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为
【答案】BD
【详解】A．由图可知，卫星的周期为，选项A错误；
B．卫星绕地球运行时，只有地球引力做功，则机械能守恒，选项B正确；
C．卫星在近点时
远点时
可知
根据开普勒第二定律，卫星在近地点与远地点时
可知近地点与远地点的速度之比为
选项C错误；
D．根据，
可知卫星在近地点与远地点的加速度之比为，选项D正确。
故选BD。
如图1所示是泰州科技馆一件名为“最速降线”的展品，选取其中的两条轨道简化模型如图2。已知两条轨道均光滑，且起点、终点均相同，其中轨道2末端与水平面相切。现将两个完全相同的小球甲、乙同时从起点由静止释放，小球甲沿轨道1、小球乙沿轨道2运动至终点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．两个小球同时释放且能同时到达终点
B．小球甲到达终点时的速度大于小球乙
C．小球乙下滑过程中重力的功率一直增大
D．此运动过程中小球甲的平均速度小于小球乙
【答案】D
【详解】AD．小球甲沿直线轨道1做匀加速直线运动，其加速度恒定，对应的v-t图像为一条倾斜直线，小球乙沿“最速降线”轨道2运动过程，根据
可知切向加速度逐渐减小，则其v-t图像的斜率逐渐减小，两球位移相等，已知小球乙所用时间小于小球甲所用时间，小球乙先到达终点，根据
可知此运动过程中小球甲的平均速度小于小球乙，故A错误，D正确；
B．根据机械能守恒定律可知
可知小球甲到达终点时的速度大小等于小球乙的速度大小，选项B错误；
C．根据PG=mgvy
可知，小球乙下滑过程中竖直速度先增加后减小，可知重力的功率先增加后减小，选项C错误。
故选D。
如图所示，将一个可视为质点的小球放置在距圆心水平距离为R处，以初速度水平抛入半径为R的半圆弧，小球与圆弧碰撞时间极短，碰撞前后小球速度大小不变，方向变化满足反射定律，不考虑多次碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．若小球落到圆弧的最低点，小球将弹回到抛出点
B．若小球在与圆心等高处抛出，无论速度的大小，反弹后小球的最高点都无法超过圆心
C．若小球在与圆心等高处抛出，存在一个速度，使其反弹后能回到抛出点
D．若小球在高于与圆心等高处抛出，存在一个速度，使其反弹后能回到抛出点
【答案】D
【详解】A．由题意可知，当小球落到圆弧的最低点，小球将回到圆弧对面的等高点处（根据反射对称性和能量守恒），故A错误；
B．由能量守恒可知，小球在碰撞后如果水平方向的速度分量小于，反弹后小球的最高点超过圆心，故B错误；
C．当小球垂直入射到圆弧面上时，小球会回到抛出点，若小球在与圆心等高处抛出，小球不可能垂直入射到圆弧上，故C错误；
D．若小球高于圆心等高处抛出，小球可能垂直入射到圆弧上，故D正确。
故选D。
2024年9月25日，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域成功发射了一枚洲际弹道导弹，导弹准确落入预定海域。如图所示，假设从地面A点发射一枚远程弹道导弹，若导弹只在地球引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。C点为椭圆轨道的远地点，离地面高度为h，导弹在A点的发射速度和在B点的落地速度方向均平行于CO（O为地心）。已知地球半径为R，远程弹道导弹在空中的运动满足开普勒三大定律，地球表面的重力加速度为g，则（　　）
A．导弹经过C点的速度方向垂直CO
B．导弹在空中飞行时机械能先增加后减少
C．导弹在C点的加速度小于g
D．若导弹到达C点时点火加速，则导弹可能在过C点的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动
【答案】ACD
【详解】A．导弹在椭圆轨道远地点的速度方向垂直于长轴，A正确；
B．导弹在空中飞行时机械能守恒，B错误；
C．导弹经C点时，由万有引力提供向心力，有
又由
联立可得
C正确；
D．若导弹到达C点时点火加速，则导弹可能进入经过C点的原轨道，从而在过C点的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，D正确。
故选ACD。
如图1所示，冰坑挑战是我国东北的传统游戏。某同学将该情景简化后的模型如图2所示，可看作游戏者在一圆心角为120°的圆弧轨道上移动，圆弧的半径为R。已知冰面与鞋底间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，游戏者的质量m=60kg，游戏者可看作质点，则下列说法正确的是（　　）
A．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，最大静摩擦力不断增大
B．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，离O点的高度最大为
C．若游戏者从轨道最高点A无动力滑下后，可再次回到最高点
D．若游戏者从轨道最高点A无动力下滑到O点，游戏者的切向加速度先减小后增大
【答案】BD
【详解】A．设游戏者与圆弧圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，则游戏者对冰面的正压力为
最大静摩擦力
游戏者在从O点向上缓慢移动过程中θ变大，最大静摩擦力不断减小，选项A错误；
B．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，当到达最大高度时满足
解得
离O点的高度最大为
选项B正确；
C．若游戏者从轨道最高点A无动力滑下后，由于要克服摩擦力做功，则不可再次回到最高点，选项C错误；
D．若游戏者从轨道最高点A无动力下滑到O点，θ从60°减小到0，游戏者的切向加速度
当时加速度为零，则切线加速度先减小后增大，选项D正确。
故选BD。
如图所示，光滑的平台上静置甲、乙两个小球，内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定在平台右侧，圆心在平台的右边缘A点，AB是竖直半径、AC是水平半径。现敲击质量为m的甲球，给甲球向右的瞬时初速度，甲、乙发生弹性碰撞且碰后速度大小相等，碰后乙球的动能为，乙球从A点飞出，经时间落在圆弧上的D点，重力加速度为g。求：
(1)乙的质量以及甲的初速度；
(2)圆弧轨道的半径；
(3)若让乙球从A点以不同水平初速度向右抛出，当落到P点时速度最小，则乙从A点到P点的运动时间。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）设乙的质量为M，甲的初速度为，甲、乙发生弹性碰撞且碰后速度大小相等，可知碰后甲、乙速度等大反向，大小设为v，规定向右为正方向，则有，
因为
联立解得，
（2）根据平抛规律有
代入题中数据，联立解得圆弧轨道的半径
（3）设最小速度为v，根据平抛运动规律有
因为，
几何关系有
联立整理得
数学关系知当v最小时，有
联立解得
题型1判断物体和系统机械能守恒
如图所示，质量为m的足球在地面的1位置由静止被踢出后落到水平地面的3位置，运动轨迹为虚线所示。足球在空中达到的最高点2的高度为h，速度为v。已知1、2位置间的水平距离大于2、3位置间的水平距离。足球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．足球在空中运动过程机械能守恒
B．人对足球做的功大于
C．足球在位置2时的加速度等于g
D．足球从位置2到位置3，动能的增加量等于mgh
【答案】B
【详解】A．若足球运动过程中不受空气阻力作用，则物体运动轨迹应关于过最高点与水平面的垂线对称，根据题意1、2位置间的水平距离大于2、3位置间的水平距离可知足球受到空气阻力作用，则空气阻力对足球做负功，足球在空中运动过程机械能减少，故A错误；
B．设地面为零势能面，人对足球做的功等于人在最高点的机械能（）加上足球克服空气阻力做的功，即人对足球做的功大于，故B正确；
C．足球在位置2时竖直方向的加速度为g，水平方向速度不为零，即水平方向受到空气阻力，水平方向加速度不为零，根据矢量的合成可知足球在位置2时的加速度大于，故C错误；
D．足球从位置2到位置3，根据动能定理可知动能的增加量等于重力做的功（）减去克服空气阻力做的功，即足球从位置2到位置3，动能的增加量小于mgh，故D错误。
故选B。
如图所示为某同学投篮时的情景，篮球在空中划出一道美妙的弧线后精准进入篮框，不计空气阻力，则篮球飞行过程中（　　）
A．加速度先减小后增大 B．动能先减小后增大
C．机械能先增大后减小 D．重力的功率先增大后减小
【答案】B
【详解】A．篮球在空中飞行时只受重力作用，加速度始终为重力加速度g，恒定不变，故A错误；
BC．篮球在空中飞行时只有重力做功，则机械能守恒，恒定不变；由题图可知，篮球在空中飞行时，其高度先变高后变低，则其重力势能先增大后减小，又因为篮球的机械能恒定不变，则篮球的动能先减小后增大，故B正确，C错误；
D．由题意可知，篮球做斜上抛运动，则篮球竖直方向做竖直上抛运动，则篮球竖直方向的速度大小先减小后增大，则由可知，重力的功率先减小后增大，故D错误；
故选B。
如图所示，氢气球带着下方所挂重物加速上升。在上升过程中（　　）
A．重物处于失重状态
B．若细绳突然断裂，重物将立刻向下运动
C．氢气球对重物的拉力大于重物对氢气球的拉力
D．氢气球和重物所构成的系统机械能不守恒
【答案】D
【详解】A．由于重物的加速度向上，所以处于超重状态，故A错误；
B．若细绳突然断裂，重物将做竖直上抛运动，不会立刻向下运动，故B错误；
C．根据牛顿第三定律可知，氢气球对重物的拉力等于重物对氢气球的拉力，故C错误；
D．加速上升过程中，动能增大，重力势能增大，则机械能增大，故D正确。
故选D。
题型2单个物体的机械能守恒问题
2021年2月，“天问一号”探测器到达火星附近，经“刹车”被火星捕获，进入大椭圆轨道，近火点为A点。探测器到达大椭圆轨道远火点B时进行变轨，通过调整轨道平面、降低近火点高度，使轨道变为经过火星南北两极的极轨。关于探测器的运动，下列说法正确的是（　　）
A．由A向B运动过程中速度变大
B．在B点变轨时，只需沿其运动方向点火喷气
C．在大椭圆轨道的机械能小于它在极轨的机械能
D．变轨后在B点的速度小于变轨前的速度
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第二定律可知，由A向B运动过程中速度变小，故A错误；
B．在B点变轨时，即由大椭圆轨道变轨到极轨，运动方向改变90°，既要点火减速，也需要改变速度方向，所以不只需沿其运动方向点火喷气，故B错误；
C．由大椭圆轨道变轨到极轨，需要减速，即机械能减小，所以在大椭圆轨道的机械能大于它在极轨的机械能，故C错误；
D．变轨需要减速，即变轨后在B点的速度小于变轨前的速度，故D正确。
故选D。
如图所示，将一小球从点水平抛出，飞到点P时，与一挡板发生碰撞，小球又斜向上飞出后落到点正下方的点，点与点等高，轨迹的最高点与等高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球两次飞行过程中加速度不同
B．小球两次飞行过程中重力对小球做的功相等
C．小球离开点的速率比经过点的速率大
D．小球与挡板碰撞过程中没有机械能损失
【答案】C
【详解】A．不计空气阻力，球两次在空中只受重力作用，加速度为g，加速度相同，故A错误；
B．设球的抛体高度为h，第一次从M到P，重力做正功为WG=mgh，第二次做斜上抛运动从P到Q到N点，重力做功为零，球两次飞行过程中重力对球做的功不相等，故B错误；
C．球从M到P和从Q到N都是平抛运动，在M、Q点均只有水平方向的速度，高度h相同，由知运动时间相同，但xMP＞xQN，由x=v0t可推出离开M点的速度大于经过Q点的速度，故C正确；
D．如果碰撞没有机械能损失，则全程机械能守恒，而在M、Q点重力势能相等，动能不等，则机械能不等，故小球与挡板碰撞过程中有机械能损失，故D错误。
故选C。
观看科幻电影《流浪地球》后，某同学设想地球仅在木星引力作用下沿椭圆轨道通过木星的情景，如图所示，轨道上P点距木星最近（距木星表面的高度可忽略），则（　　）
A．地球靠近木星的过程中运行速度减小
B．地球远离木星的过程中加速度增大
C．地球远离木星的过程中机械能增大
D．地球在P点的运行速度大于木星第一宇宙速度
【答案】D
【详解】A．地球绕木星做椭圆运动，根据开普勒第二定律可得，远木点的速度小，近木点的速度大，故地球靠近木星的过程中，运行速度增大，A错误；
B．地球在轨道上运行时，万有引力提供加速度，则有
地球远离木星的过程中，加速度减小，B错误；
C．地球远离木星的过程中，只有万有引力做负功，因此机械能守恒，C错误；
D．地球在P点绕木星做匀速圆周运动时，速度等于木星的第一宇宙速度，即
而地球过P点后做离心运动，万有引力小于需要的向心力，则有
即
即地球在P点的运行速度大于木星的第一宇宙速度，D正确；
故选D。
题型3轻绳连接的物体系统
如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的Q点等高，O为PQ的中点，PQ距离为2d。一根轻质不可伸长的细绳一端系在Q点，穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮P，另一端吊着质量也为m的重物B。将圆环A由O点静止释放，设QA与水平方向夹角为θ。已知重力加速度为g，整个过程中B未与滑轮P 相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（　　）
A．A和B的速度关系为
B．A可以下降的最大高度为
C．A和B 总动能最大时，θ=60°
D．A和B 总动能最大时，A的动能为
【答案】BD
【详解】A．B上升的速度等于左侧绳伸长的速度，A沿QA方向的速度分量为vAsinθ，沿PA方向的速度分量也为vAsinθ，故有
A错误；
B． 由能量守恒：
解得：
B正确；
CD． AB总动能最大时，即总重力势能最小，此刻重力势能变化率为0，即
结合关联速度可知
即θ=30°
由能量守恒知，
解得：
C错误，D正确。
故选BD。
如图（a）所示，可视为质点的、两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放球，在球落地前的过程中，两球的重力势能随时间的变化关系如图（b）所示，图中两图像交点对应时刻，球始终没有与定滑轮相碰，、始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度。则（　　）
A．球质量
B．球落地时球的动能为
C．球下落前距地面的高度为
D．时球离地面的高度为
【答案】BC
【详解】AB．设球下落前距地面的高度为H，由图b可知，，
解得
由能量守恒，可得
联立，解得球落地时球的动能为
故A错误；B正确；
CD．对两球组成的整体，受力分析，由牛顿第二定律
解得
则0.3s时，a球上升的高度
由图b可知，时两球重力势能相等，则有
解得
即球下落前距地面的高度为，时球离地面的高度
故C正确；D错误。
故选BC。
如图所示，水平地面上固定有两个相同的倾角θ=37°的斜面体（顶端固定有小滑轮），两滑轮间的距离d=12cm。两根等长的细线绕过滑轮，一端与放在斜面上的质量均为M=5kg的物块相连，另一端与质量m=3kg的小球连接。初始时刻，用手竖直向下拉住小球，使系统保持静止，此时两细线与竖直方向间的夹角均为α=37°，松手后，小球将在竖直方向上运动。忽略一切摩擦，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)开始时手对小球的拉力大小F；
(2)小球能够上升的最大高度h；
(3)小球回到初始位置时的加速度大小a。
【答案】(1)18N
(2)8cm
(3)m/s2
【详解】（1）初始时刻系统静止，对物块T =Mgsinθ=30N
假设F方向向下，对小球
解得F=18N
（2）小球上升到最大高度时，系统的动能为0。设此时连接小球的细线与竖直方向间的夹角为β。对系统
解得β 90°
可见小球上升到最大高度时绳子水平，小球上升的最大高度为h=8cm
（3）对物块Mg sin- T1 = MaM
对小球2T1cos- mg =ma
加速度关系aM = a cosα
联立方程解得m/s2
题型4轻杆连接的物体系统
如图所示，长度为的轻杆上固定质量均为的3个小球，1、2球将杆三等分，轻杆一端通过转轴与点链接。让轻杆由水平位置自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）
A．摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为
B．摆至竖直位置时，球的角速度为
C．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球2做功为0
D．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球3做功为
【答案】AD
【详解】A．由于3个球在同一杆上，三个球角速度相等，根据题意可知三个球半径之比为
由可得
由可得，摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为
故A正确；
B．从起始位置摆至竖直位置过程中，机械能守恒，有
又有
联立解得
故B错误；
CD．从起始位置摆至竖直位置过程中，对小球2、3，分别由动能定理得，
又有，
联立解得，
故C错误、D正确。
故选AD。
如图所示，质量为0.1kg的带孔物块A和质量为0.2kg的金属环B通过光滑铰链用轻质细杆连接，A套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上，轻弹簧劲度系数，弹簧原长，B套在固定的水平横杆上。弹簧处于原长时将A由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量）。忽略一切摩擦，重力加速度取，在A下降的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块A和金属环B组成的系统机械能守恒
B．在A、B运动过程中当图中时，
C．B动能最大时，B受到水平横杆的支持力大小等于2N
D．弹簧弹性势能最大时，间距离为1cm
【答案】BC
【详解】A．在金属环A下滑的过程中，弹簧逐渐压缩，对金属环A和物块B组成的系统，弹簧弹力做负功，系统机械能减小，弹簧弹性势能增大，故A错误；
B．在A、B运动过程中当图中时，根据速度关联关系有
即
故B正确。
C．在A下降的过程中，B的速度先增大后减小，当其加速度为0时，速度最大，则此时杠对B的弹力为零。根据平衡条件，可得B受到水平横杆的支持力大小等于其重力大小，为2N，故C正确；
D．当A下降到最低点时，弹簧弹性势能最大，设间距离为，根据能量守恒定律有
求得
故D错误。
故选BC。
抛石机是古代交战的一种兵器，巧妙利用了动能和势能的转化。为了研究方便，简化为图示物理模型，轻杆两端分别固定质量为M、m的小球A、B，M=24m。轻杆可绕水平转轴O自由转动，O到水平地面的高度为H（H>L），A、B到O的距离分别为L、4L。现将轻杆拉到水平并从静止释放，当轻杆运动到竖直时B脱离轻杆做平抛运动，两小球均可视为质点，不计转轴摩擦及空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)B脱离轻杆时，A和B的总动能；
(2)B平抛运动的水平射程。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对系统，由机械能守恒定律有
可得
（2）轻杆运动到竖直时B、A的速度分别为v1、v2，轻杆转动的角速度为ω，对有
对有
做平抛运动过程，设运动时间为t，竖直方向分运动为自由落体运动，有，
水平方向分运动为匀速直线运动，有
可得
题型5轻弹簧连接的物体系统
如图所示，光滑竖直杆底端固定在地面上，杆上套有一质量为m的小球A（可视为质点），一根竖直轻弹簧一端固定在地面上（弹簧劲度系数为k），另一端连接质量也为m的物块B，一轻绳跨过定滑轮O，一端与物块B相连，另一端与小球A连接，定滑轮到竖直杆的距离为L。初始时，小球A在外力作用下静止于P点，已知此时整根轻绳伸直无张力且OP间细绳水平、OB间细绳竖直，现将小球A由P点静止释放，A沿杆下滑到最低点Q时OQ与杆之间的夹角为30°，不计滑轮大小及摩擦，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是（　　）
A．初始状态时弹簧的压缩量为
B．小球A由P下滑至Q的过程中，加速度逐渐增大
C．小球A由P下滑至Q的过程中，弹簧弹性势能增加了
D．若将小球A换成质量为的小球C，并将小球C拉至Q点由静止释放，则小球C运动到P点时的动能为
【答案】ACD
【详解】A．初始状态时，物块B处于静止状态，根据平衡条件，有
解得弹簧的压缩量为
故A正确；
B．小球A开始下落时只受重力加速度为g，随着小球下落细线对小球有竖直向上的分力，小球所受的合力减小，小球的加速度开始减小，所以加速度不是逐渐增大，故B错误；
C．小球A从P到Q时，下落的高度
小球A下落到Q点过程中，物块B上升的高度为
整个过程中A和B重力势能的减少量为
系统机械能守恒，则该过程中，弹簧弹性势能增加了，故C正确；
D． 若将小球A换成质量为的小球C，小球C运动到P点时沿绳方向的分速度为0，根据功能关系，可得
解得
故D正确。
故选ACD。
如图所示，质量为m的小球从不同高度下落压缩弹簧，弹簧的弹性势能的表达式为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。假设整个过程弹簧始终在弹性限度内，不计一切阻力，不计小球和弹簧接触时的能量损失，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球和弹簧组成的系统（包括地球）机械能不守恒
B．无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不会改变
C．克服弹力做功不能度量小球机械能在小球和弹簧之间的转移
D．小球的加速度能达到2g的最小下落高度是（距弹簧上端的高度）
【答案】BD
【详解】A．小球在运动过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，故小球和弹簧组成的系统（包括地球）机械能守恒，故A错误；
B．加速度为零时小球的动能最大，此处弹簧的弹力等于小球的重力，所以无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不变，只是小球的最大动能不同，故B正确；
C．小球机械能在小球和弹簧之间的转移是通过克服弹力做功度量的，故C错误；
D．小球的加速度为2g时，由牛顿第二定律得
解得
设此时弹簧的压缩量为，由胡克定律有
解得
由机械能守恒定律有
当时是小球下落的最小高度，解得
故D正确。
故选BD。
如图所示，光滑水平面与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道的半径，D是半圆轨道的最高点。将一质量的物体（可视为质点）向左压缩轻弹簧至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度，并脱离弹簧在水平面上做直线运动，其经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力加速度。求：
(1)弹簧被压缩至A点时的弹性势能。
(2)物体通过D点时的速度大小。
(3)物体沿半圆轨道运动过程中克服阻力所做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由能量守恒可知，弹簧弹性势能完全转化为物体的动能
可得弹簧被压缩至A点时的弹性势能
（2）物体恰好能通过D点，则根据牛顿运动定律有
解得
（3）物体沿半圆轨道运动过程中由动能定理有
解得
题型6“链条”类问题
如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内。重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，重力的功率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为
然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为
设链条运动至底端的速度为v，有
解得
可知
故选A。
如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其放在倾角为30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面时，铁链的速度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】把铁链分成两个部分，下一半铁链重心下落的高度为
上一半铁链重心下落的高度为
对整条铁链从刚释放到刚好全部离开斜面由动能定理得
解得
故选D。
如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一小段圆弧面相连接．倾斜部分为光滑圆槽；轨道一水平部分左端长为L的一部分是光滑的，其余部分是粗糙的，现有质量为 m、长为 L的均匀细铁链，在外力作用下静止在如图所示的位置，铁链下端距水平槽的高度为h。现撤去外力使铁链开始运动，最后铁链全部运动到水平轨道粗糙部分．已知重力加速度为g，斜面的倾角为θ，铁链与水平轨道粗糙部分的动摩擦因数为μ，不计铁链经过圆弧处时的能量损失。求：
（1）铁链的最大速率；
（2）从释放到铁链达到最大速率的过程中，后半部分铁链对前部分铁链所做的功；
（3）最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】(1)铁链在倾斜轨道上下滑时，由机械能守恒定律可得
解得
(2)当铁链刚到水平面时速率最大，以前半部分为研究对象，根据动能定理，可得
解得
(3)设最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离为s，从铁链开始运动到最后静止的整个过程，由动能定理得
解得
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第13讲　机械能守恒定律
1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算.
2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒.
3.掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用．
考点一　机械能守恒的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
考点二　机械能守恒定律的应用
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
考点三　多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．轻绳相连的物体系统机械能守恒
①注意两个物体的质量不一定相等；注意多段运动 ②注意两物体运动位移和高度不一定相等 ③注意两物体速度大小不一定相等，可能需要分解速度 ④注意最大速度和最大加速度区别
①b落地前，a机械能增加、b减小，系统机械能守恒； ②b落地后若不反弹，绳松，a机械能守恒；
3．轻杆相连的系统机械能守恒
类型 类型一：绕杆上某固定点转动 类型二：无固定点，沿光滑接触面滑动
图示
特点 同轴转动，角速度相等，线速度与半径成正比。 沿杆分速度大小相等，两物体速度大小不一定相等。
弹弓的构造如图1所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，将橡皮筋在竖直平面内沿AB的中垂线方向拉伸，当橡皮筋中点被拉至C处时，橡皮筋恰好拉直且处于原长状态（如图2所示）。将小石子抵在C处橡皮筋上，将橡皮筋中点从C点拉至D点时放手，小石子在橡皮筋的作用下沿竖直方向向上弹射出去。橡皮筋的质量和空气阻力忽略不计，小石子可视为质点。小石子由D点运动到C点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小石子的机械能守恒
B．小石子的重力势能与橡皮筋的弹性势能之和先减小后增大
C．橡皮筋对小石子的弹力先做正功后做负功
D．小石子在C处时速度最大
2024年珠海航展上，飞行员驾驶飞机沿如图所示轨迹在竖直面内匀速率飞行，依次经过a、b、c三点，b为轨迹上的最高点，a、c两点距地面高度相同。下列说法正确的是（　　）
A．飞机经过b点时的加速度为零
B．飞机在a点所受合力小于在c点所受合力
C．飞机经过a、c两点时重力的瞬时功率相等
D．飞机从a点运动到c点的过程中机械能守恒
某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　）
A．卫星的周期为
B．卫星绕地球运行时机械能守恒
C．卫星在近地点与远地点的速度之比为
D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为
如图1所示是泰州科技馆一件名为“最速降线”的展品，选取其中的两条轨道简化模型如图2。已知两条轨道均光滑，且起点、终点均相同，其中轨道2末端与水平面相切。现将两个完全相同的小球甲、乙同时从起点由静止释放，小球甲沿轨道1、小球乙沿轨道2运动至终点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．两个小球同时释放且能同时到达终点
B．小球甲到达终点时的速度大于小球乙
C．小球乙下滑过程中重力的功率一直增大
D．此运动过程中小球甲的平均速度小于小球乙
如图所示，将一个可视为质点的小球放置在距圆心水平距离为R处，以初速度水平抛入半径为R的半圆弧，小球与圆弧碰撞时间极短，碰撞前后小球速度大小不变，方向变化满足反射定律，不考虑多次碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．若小球落到圆弧的最低点，小球将弹回到抛出点
B．若小球在与圆心等高处抛出，无论速度的大小，反弹后小球的最高点都无法超过圆心
C．若小球在与圆心等高处抛出，存在一个速度，使其反弹后能回到抛出点
D．若小球在高于与圆心等高处抛出，存在一个速度，使其反弹后能回到抛出点
2024年9月25日，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域成功发射了一枚洲际弹道导弹，导弹准确落入预定海域。如图所示，假设从地面A点发射一枚远程弹道导弹，若导弹只在地球引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。C点为椭圆轨道的远地点，离地面高度为h，导弹在A点的发射速度和在B点的落地速度方向均平行于CO（O为地心）。已知地球半径为R，远程弹道导弹在空中的运动满足开普勒三大定律，地球表面的重力加速度为g，则（　　）
A．导弹经过C点的速度方向垂直CO
B．导弹在空中飞行时机械能先增加后减少
C．导弹在C点的加速度小于g
D．若导弹到达C点时点火加速，则导弹可能在过C点的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动
如图1所示，冰坑挑战是我国东北的传统游戏。某同学将该情景简化后的模型如图2所示，可看作游戏者在一圆心角为120°的圆弧轨道上移动，圆弧的半径为R。已知冰面与鞋底间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，游戏者的质量m=60kg，游戏者可看作质点，则下列说法正确的是（　　）
A．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，最大静摩擦力不断增大
B．游戏者在从O点向上缓慢移动过程中，离O点的高度最大为
C．若游戏者从轨道最高点A无动力滑下后，可再次回到最高点
D．若游戏者从轨道最高点A无动力下滑到O点，游戏者的切向加速度先减小后增大
如图所示，光滑的平台上静置甲、乙两个小球，内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定在平台右侧，圆心在平台的右边缘A点，AB是竖直半径、AC是水平半径。现敲击质量为m的甲球，给甲球向右的瞬时初速度，甲、乙发生弹性碰撞且碰后速度大小相等，碰后乙球的动能为，乙球从A点飞出，经时间落在圆弧上的D点，重力加速度为g。求：
(1)乙的质量以及甲的初速度；
(2)圆弧轨道的半径；
(3)若让乙球从A点以不同水平初速度向右抛出，当落到P点时速度最小，则乙从A点到P点的运动时间。
题型1判断物体和系统机械能守恒
如图所示，质量为m的足球在地面的1位置由静止被踢出后落到水平地面的3位置，运动轨迹为虚线所示。足球在空中达到的最高点2的高度为h，速度为v。已知1、2位置间的水平距离大于2、3位置间的水平距离。足球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．足球在空中运动过程机械能守恒
B．人对足球做的功大于
C．足球在位置2时的加速度等于g
D．足球从位置2到位置3，动能的增加量等于mgh
如图所示为某同学投篮时的情景，篮球在空中划出一道美妙的弧线后精准进入篮框，不计空气阻力，则篮球飞行过程中（　　）
A．加速度先减小后增大 B．动能先减小后增大
C．机械能先增大后减小 D．重力的功率先增大后减小
如图所示，氢气球带着下方所挂重物加速上升。在上升过程中（　　）
A．重物处于失重状态
B．若细绳突然断裂，重物将立刻向下运动
C．氢气球对重物的拉力大于重物对氢气球的拉力
D．氢气球和重物所构成的系统机械能不守恒
题型2单个物体的机械能守恒问题
2021年2月，“天问一号”探测器到达火星附近，经“刹车”被火星捕获，进入大椭圆轨道，近火点为A点。探测器到达大椭圆轨道远火点B时进行变轨，通过调整轨道平面、降低近火点高度，使轨道变为经过火星南北两极的极轨。关于探测器的运动，下列说法正确的是（　　）
A．由A向B运动过程中速度变大
B．在B点变轨时，只需沿其运动方向点火喷气
C．在大椭圆轨道的机械能小于它在极轨的机械能
D．变轨后在B点的速度小于变轨前的速度
如图所示，将一小球从点水平抛出，飞到点P时，与一挡板发生碰撞，小球又斜向上飞出后落到点正下方的点，点与点等高，轨迹的最高点与等高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球两次飞行过程中加速度不同
B．小球两次飞行过程中重力对小球做的功相等
C．小球离开点的速率比经过点的速率大
D．小球与挡板碰撞过程中没有机械能损失
观看科幻电影《流浪地球》后，某同学设想地球仅在木星引力作用下沿椭圆轨道通过木星的情景，如图所示，轨道上P点距木星最近（距木星表面的高度可忽略），则（　　）
A．地球靠近木星的过程中运行速度减小
B．地球远离木星的过程中加速度增大
C．地球远离木星的过程中机械能增大
D．地球在P点的运行速度大于木星第一宇宙速度
题型3轻绳连接的物体系统
如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的Q点等高，O为PQ的中点，PQ距离为2d。一根轻质不可伸长的细绳一端系在Q点，穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮P，另一端吊着质量也为m的重物B。将圆环A由O点静止释放，设QA与水平方向夹角为θ。已知重力加速度为g，整个过程中B未与滑轮P 相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（　　）
A．A和B的速度关系为
B．A可以下降的最大高度为
C．A和B 总动能最大时，θ=60°
D．A和B 总动能最大时，A的动能为
如图（a）所示，可视为质点的、两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放球，在球落地前的过程中，两球的重力势能随时间的变化关系如图（b）所示，图中两图像交点对应时刻，球始终没有与定滑轮相碰，、始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度。则（　　）
A．球质量
B．球落地时球的动能为
C．球下落前距地面的高度为
D．时球离地面的高度为
如图所示，水平地面上固定有两个相同的倾角θ=37°的斜面体（顶端固定有小滑轮），两滑轮间的距离d=12cm。两根等长的细线绕过滑轮，一端与放在斜面上的质量均为M=5kg的物块相连，另一端与质量m=3kg的小球连接。初始时刻，用手竖直向下拉住小球，使系统保持静止，此时两细线与竖直方向间的夹角均为α=37°，松手后，小球将在竖直方向上运动。忽略一切摩擦，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)开始时手对小球的拉力大小F；
(2)小球能够上升的最大高度h；
(3)小球回到初始位置时的加速度大小a。
题型4轻杆连接的物体系统
如图所示，长度为的轻杆上固定质量均为的3个小球，1、2球将杆三等分，轻杆一端通过转轴与点链接。让轻杆由水平位置自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）
A．摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为
B．摆至竖直位置时，球的角速度为
C．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球2做功为0
D．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球3做功为
如图所示，质量为0.1kg的带孔物块A和质量为0.2kg的金属环B通过光滑铰链用轻质细杆连接，A套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上，轻弹簧劲度系数，弹簧原长，B套在固定的水平横杆上。弹簧处于原长时将A由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量）。忽略一切摩擦，重力加速度取，在A下降的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块A和金属环B组成的系统机械能守恒
B．在A、B运动过程中当图中时，
C．B动能最大时，B受到水平横杆的支持力大小等于2N
D．弹簧弹性势能最大时，间距离为1cm
抛石机是古代交战的一种兵器，巧妙利用了动能和势能的转化。为了研究方便，简化为图示物理模型，轻杆两端分别固定质量为M、m的小球A、B，M=24m。轻杆可绕水平转轴O自由转动，O到水平地面的高度为H（H>L），A、B到O的距离分别为L、4L。现将轻杆拉到水平并从静止释放，当轻杆运动到竖直时B脱离轻杆做平抛运动，两小球均可视为质点，不计转轴摩擦及空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)B脱离轻杆时，A和B的总动能；
(2)B平抛运动的水平射程。
题型5轻弹簧连接的物体系统
如图所示，光滑竖直杆底端固定在地面上，杆上套有一质量为m的小球A（可视为质点），一根竖直轻弹簧一端固定在地面上（弹簧劲度系数为k），另一端连接质量也为m的物块B，一轻绳跨过定滑轮O，一端与物块B相连，另一端与小球A连接，定滑轮到竖直杆的距离为L。初始时，小球A在外力作用下静止于P点，已知此时整根轻绳伸直无张力且OP间细绳水平、OB间细绳竖直，现将小球A由P点静止释放，A沿杆下滑到最低点Q时OQ与杆之间的夹角为30°，不计滑轮大小及摩擦，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是（　　）
A．初始状态时弹簧的压缩量为
B．小球A由P下滑至Q的过程中，加速度逐渐增大
C．小球A由P下滑至Q的过程中，弹簧弹性势能增加了
D．若将小球A换成质量为的小球C，并将小球C拉至Q点由静止释放，则小球C运动到P点时的动能为
如图所示，质量为m的小球从不同高度下落压缩弹簧，弹簧的弹性势能的表达式为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。假设整个过程弹簧始终在弹性限度内，不计一切阻力，不计小球和弹簧接触时的能量损失，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球和弹簧组成的系统（包括地球）机械能不守恒
B．无论小球从多高处下落，小球具有最大动能的位置不会改变
C．克服弹力做功不能度量小球机械能在小球和弹簧之间的转移
D．小球的加速度能达到2g的最小下落高度是（距弹簧上端的高度）
如图所示，光滑水平面与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道的半径，D是半圆轨道的最高点。将一质量的物体（可视为质点）向左压缩轻弹簧至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度，并脱离弹簧在水平面上做直线运动，其经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力加速度。求：
(1)弹簧被压缩至A点时的弹性势能。
(2)物体通过D点时的速度大小。
(3)物体沿半圆轨道运动过程中克服阻力所做的功W。
题型6“链条”类问题
如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内。重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，重力的功率为（ ）

A． B． C． D．
如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其放在倾角为30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面时，铁链的速度为（　　）

A． B． C． D．
如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一小段圆弧面相连接．倾斜部分为光滑圆槽；轨道一水平部分左端长为L的一部分是光滑的，其余部分是粗糙的，现有质量为 m、长为 L的均匀细铁链，在外力作用下静止在如图所示的位置，铁链下端距水平槽的高度为h。现撤去外力使铁链开始运动，最后铁链全部运动到水平轨道粗糙部分．已知重力加速度为g，斜面的倾角为θ，铁链与水平轨道粗糙部分的动摩擦因数为μ，不计铁链经过圆弧处时的能量损失。求：
（1）铁链的最大速率；
（2）从释放到铁链达到最大速率的过程中，后半部分铁链对前部分铁链所做的功；
（3）最后铁链的左端离木板倾斜部分底端的距离。
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