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11.1.1棱柱与圆柱
第十一章
简单几何体
沪教版(2020)必修第三册·高二
章节导读
学 习 目 标
1
2
3
知道多面体的概念，通过观察棱柱的特征抽象出棱柱的定义，理解棱柱的相关概念，知道棱柱的表示方法及分类．
理解圆柱的定义及相关概念，了解棱柱与圆柱之间的区别与联系．
以柱体为载体，进一步理解空间点、线、面之间的位置关系，提升直观想象、逻辑推理等核心素养．
课题引入
这些图形见过吗？你能画出数学上对应的图像吗？
这就是我们本节课开始学习的立体图形.
新知探究
1．多面体
由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体.
构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面，
相邻面的公共边称为多面体的棱，
棱与棱的交点称为多面体的顶点.
面
棱
新知探究
问题1 观察图中的各个几何体，哪些是多面体？
图中（1）、（2）、（4）、（5）为多面体
图中（3）、（6）不是多面体
新知探究
问题2 观察图中的各个多面体，它们有哪些共同特征？
它们都有一对互相平行的面 且这两个面是
两个全等的三角形或平面多边形
其他的面都是平行四边形.
新知探究
问题2 观察图中的各个多面体，它们有哪些共同特征？
在这些多面体中，两个相互平行的全等三角形或平面多边形的对应的棱互相平行，不在这两个面上的棱也是互相平行的.
新知探究
问题2 观察图中的各个多面体，它们有哪些共同特征？
在这些多面体中，两个相互平行的全等三角形或平面多边形的对应的棱互相平行，不在这两个面上的棱也是互相平行的.
新知探究
2.棱柱
（1）棱柱及有关概念
有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行.我们把这样的多面体叫做棱柱.
那一对互相平行的面称为棱柱的底面.
其余的面称为棱柱的侧面，
不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，
棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高.
新知探究
问题3 有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱吗 举例说明.
不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
新知探究
问题3 请指出图中的这两个棱柱的底面和侧棱分别是什么？

（1） （2）
图（1）中，这个棱柱的底面为五边形ABCDE和五边形
A'B'C'D'E'，其侧棱为线段AA'、BB'、CC'、DD'、EE'.
图（2）中，这个棱柱的底面为三角形ABC和三角形A'B'C'
其侧棱为线段AA'、BB'、CC'：
新知探究
（2）棱柱的分类
（5） （6） （7） （8）
（1）（3）三棱柱
（2）（5）（6）（7）四棱柱
（4）五棱柱
（3）六棱柱
①按底面多边形的边数进行分类
新知探究
（2）棱柱的分类
（5） （6） （7） （8）
侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，
否则称为斜棱柱
②按侧棱与底面的位置关系进行分类
新知探究
（2）棱柱的分类
底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
②按侧棱与底面的位置关系进行分类
正三棱柱
直四棱柱
正六棱柱
正四棱柱
典例分析
例1 如图，已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC,并且与底面所成角是60°,设侧棱长为l,点A'在平面ABC上的射影为点O.
（1）求此三棱柱的高；
（2）求证：侧面BB'C'C为矩形；
（3）求证：点O在∠BAC的平分线上．

典例分析
例1 如图，已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC,并且与底面所成角是60°,设侧棱长为l,点A'在平面ABC上的射影为点O.
（1）求此三棱柱的高；

解（1）由点A'在平面ABC上的射影为点O,得线段A'O的长就是三棱柱的高,连接AO,∠A'AO就是侧棱AA'与底面所成的角,得∠A'AO=60°,AA'=l,可得三棱柱得高A'O=lsin60°=.
典例分析
例1 如图，已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC,并且与底面所成角是60°,设侧棱长为l,点A'在平面ABC上的射影为点O.
（2）求证：侧面BB'C'C为矩形；

（2）证明由棱柱的定义，可知侧面BB'C'C是平行四边形，AA'//BB'
又因为AA'⊥BC，所以BB'⊥BC，因此侧面BB'C'C是矩形.
典例分析
例1 如图，已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC,并且与底面所成角是60°,设侧棱长为l,点A'在平面ABC上的射影为点O.
（3）求证：点O在∠BAC的平分线上．

（3）证明因为AA'⊥BC，A'O垂直于平面ABC，
由三垂线定理,知AO⊥BC.
延长AO交BC于点D，则AD是△ABC的边BC上的高,
因为△ABC是正三角形，所以AD也是之∠BAC的平分线，
即点O在∠BAC的平分线上.
新知探究
3．圆柱
新知探究
矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱.
3．圆柱
轴:旋转轴叫做圆柱的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面;
侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面;
母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高.
问题4 圆柱的母线有多少条？
一个圆柱有无穷多条母线.
新知探究
问题5 圆柱的两个底面有怎样的位置关系？如何证明？
如图，由圆柱的定义，可知不在平面CBC'上的直线AD
平行于平面CBC'上的直线BC，因此AD∥平面CBC'.
同理，不在平面CBC'上的直线AD'平行于平面CBC'上的直
线BC'，因此AD∥平面CBC'，又AD与AD'是相交直线，
于是它们确定的平面DAD'/平面CBC'，即圆柱的两个底
面相互平行．
C'
D'
D
C
A
B
新知探究
我们把棱柱和圆柱统称为柱体.
典例分析
例2 证明：（1）过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形；
证明（1）设过圆柱的轴O1O2的任一平面与圆柱相截所形成的
截面为AA1B1B，且 AB、A1B1都是底面圆的直径，如图所示.
因为圆柱的底面平行，所以由两个平面平行的性质定理，
得AB//A1B1，又因为AA1//O1O2//BB1，所以AA1B1B为
平行四边形.由O1O2垂直于底面，知AA1垂直于底面，
因此AA1⊥A1B1，所以AA1B1B是矩形，其一组对边的长是底
面的直径，另一组对边的长是圆柱的高，它们都是完全确定
的，即这些截面互相都全等.
典例分析
（2）任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆．
证明（2）任作一个平行于底面并与圆柱相交的平面α，把平面α
截圆柱侧面所形成的封闭曲线记为C，设平面α与圆柱的轴O1O2交于点O，P是C上的任意一点，如图所示.
由圆柱的形成过程，知圆柱侧面上任意一点到圆柱的轴的距离都等于圆柱的底面半径，所以P到点O的距离必等于底面半径，从而C所围出的截面是一个与底面全等的圆.
棱柱的结构特征
题型一
题型探究
1.下列有关棱柱的说法:
①棱柱的所有的面都是平面;
②棱柱的所有的棱长都相等;
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形;
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等;
⑤棱柱的上、下底面全等.
其中正确的有　　　　　.(填序号)
答案:①④⑤
解析:②棱柱的所有的侧棱棱长都相等,与底面的棱长不一定相等,故②错误;
③棱柱的所有的侧面都是平行四边形,不一定都是长方形或正方形,故③错误;①④⑤正确.
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．　
方法技巧
棱柱结构特征的辨析技巧
棱柱的分类
题型二
题型探究
2．如图所示的几何体中，柱体有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
圆柱的结构特征
题型三
题型探究
3．下列命题中正确的是（ ）
A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体
C．直线绕定直线旋转形成柱面
D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱
D
几何量计算
题型四
题型探究
几何量计算
题型四
题型探究
几何量计算
题型四
题型探究
位置关系
题型五
题型探究
位置关系
题型五
题型探究
位置关系
题型五
题型探究
位置关系
题型五
题型探究
课堂小结
多面体
棱柱
圆柱
点、线、面的位置关系
逻辑推理
棱柱与圆柱
直观想象
感谢聆听!

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