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期末重组复习卷（一）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 怀柔区期末）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝﹣8，则公比q＝（　　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2
2．（2025春 定安县期末）f（x）是定义在x≠0上的偶函数，f′（x）为其导函数且f（﹣1）＝0，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
3．（2025春 金昌校级期末）若函数，则函数f（x）的单调递减区间为（　　）
A．（4，+∞） B．（0，1） C．（0，4） D．（1，4）
4．（2025春 顺德区校级期末）已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b，c}，则a+b+c＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
5．（2024秋 雁塔区校级期末）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）＝exsin2x，则f′（0）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
6．（2020春 焦作期末）已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时有an﹣1an+1＝e2n，则数列{lnan}的前20项和为（　　）
A．190 B．210 C．220 D．420
7．（2025春 商城县期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（　　）
A．676 B．678 C．731 D．733
8．（2025春 平和县校级期末）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的反函数为f﹣1（x）＝ax（a＞0，且a≠1）．已知函数g（x）＝ex，F（x）＝x2+kg﹣1（x），若对任意x2＞x1＞0，有恒成立，则实数k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）
C．（1012，+∞） D．[2×5062，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 四川期末）已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x+1在x＝1处取得极小值，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝1或a＝3
B．函数f（x）有且仅有一个零点
C．函数f（x）恰有两个极值点
D．函数f（x）在有最小值，无最大值
（多选）10．（2025春 科左中旗校级期末）已知数列{an}的前n项和，则下列正确的是（　　）
A．a1＝﹣7 B．an＝2n﹣6
C．Sn取最小值时，n＝3 D．{an}为递增数列
（多选）11．（2025春 白山期末）下列说法正确的是（　　）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q＞1
C．若数列{an}的前n项和为，则数列{an}是等差数列
D．若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k， 仍为等比数列（k∈N*）
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 栖霞区校级期末）若函数f（x）＝cosx﹣ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 　 　 ．
13．（2025春 浦东新区校级期末）若数列{an}满足，则{an}最多有　 　 项．
14．（2025春 仁寿县期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 沈阳期末）已知函数f（x）＝xlnx+a．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y＝mx+2，求a和m；
（2）求函数f（x）的单调区间．
16．（2025春 湖北校级期末）已知f（x）＝x3﹣6x2+12x﹣4，函数f（x）图像上一点P处的切线为l1．
（1）当l1经过坐标原点时，求点P的横坐标；
（2）若l1与曲线交于另一点Q，f（x）在点Q处的切线为l2，记l1，l2的斜率分别为k1，k2，求的值．
17．（2025春 江西校级期末）已知等差数列{an}满足：a2＝3，a7＝13，Sn为其前n项和，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式an、前n项和Sn；
（2）令，求bn的最大值．
18．（2025春 湖北校级期末）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：．
19．（2025春 辽宁期末）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．
（1）讨论函数f（x）的零点情况，只要求写出结论即可；
（2）若对任意x＞1，有，求a的取值范围；
（3）求证：对在意n≥2且n∈N*，有．
期末重组复习卷（一）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B A B B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC AD AC
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 怀柔区期末）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝﹣8，则公比q＝（　　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a4＝﹣8，
则公比q2．
故选：D．
2．（2025春 定安县期末）f（x）是定义在x≠0上的偶函数，f′（x）为其导函数且f（﹣1）＝0，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【解答】解：x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，
当x＞0时，令，则F'（x）＝ ，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为f（x）为偶函数，f（﹣1）＝0，所以f（1）＝0，F（x）为奇函数，
当0＜x＜1时，F（x）＞0，即f（x）＞0；
当x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜0，
当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，即f（x）＞0，
当x＜﹣1时，F（x）＞0，即f（x）＜0，
故不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}．
故选：C．
3．（2025春 金昌校级期末）若函数，则函数f（x）的单调递减区间为（　　）
A．（4，+∞） B．（0，1） C．（0，4） D．（1，4）
【解答】解：函数，定义域为（0，+∞），
，令f′（x）＜0，解得0＜x＜4，
则函数f（x）的单调递减区间为（0，4）．
故选：C．
4．（2025春 顺德区校级期末）已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b，c}，则a+b+c＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【解答】解：等差数列{an}的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b，c}，
则cosa1，cosa2＝cos（），cosa3＝cos（），
则a+b+c＝cosa1+cos（）+cos（）＝cosa1sina1cosa1sina1＝0．
故选：B．
5．（2024秋 雁塔区校级期末）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）＝exsin2x，则f′（0）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：f′（x）＝exsin2x+2excos2x，
∴f′（0）＝0+2＝2．
故选：A．
6．（2020春 焦作期末）已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时有an﹣1an+1＝e2n，则数列{lnan}的前20项和为（　　）
A．190 B．210 C．220 D．420
【解答】解：∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时有an﹣1an+1＝e2n，
∴an﹣1an+1＝（）2＝（an）2＝e2n，
∴n≥2时，an＝en，
∴，∴e，
∴lnan＝lnen＝n，
∴数列{lnan}的前20项和为：
S＝1+2+3+…+20210．
故选：B．
7．（2025春 商城县期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（　　）
A．676 B．678 C．731 D．733
【解答】解：设数列{an}满足a1＝2，a2＝3，a3＝6，a4＝11，
可得a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝5，…，an﹣an﹣1＝2n﹣3，
上面各式相加可得an﹣a1＝1+3+5+...+（2n﹣3）（n﹣1）（2n﹣2）＝（n﹣1）2，
即有an＝2+（n﹣1）2，
可得a27＝2+262＝678．
故选：B．
8．（2025春 平和县校级期末）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的反函数为f﹣1（x）＝ax（a＞0，且a≠1）．已知函数g（x）＝ex，F（x）＝x2+kg﹣1（x），若对任意x2＞x1＞0，有恒成立，则实数k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）
C．（1012，+∞） D．[2×5062，+∞）
【解答】解：依题意，g﹣1（x）＝lnx，则F（x）＝x2+klnx，
当x2＞x1＞0时，不等式
，令h（x）＝x2+klnx﹣2024x，
于是对任意x2＞x1＞0，h（x2）＞h（x1）恒成立，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则 x∈（0，+∞），，
而当﹣2（x2﹣1012x）＝﹣2（x﹣506）2+2×5062≤2×5062，当且仅当x＝506时取等号，则k≥2×5062，
所以实数k的取值范围为[2×5062，+∞）．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 四川期末）已知函数f（x）＝x3﹣2ax2+a2x+1在x＝1处取得极小值，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝1或a＝3
B．函数f（x）有且仅有一个零点
C．函数f（x）恰有两个极值点
D．函数f（x）在有最小值，无最大值
【解答】解：对于选项A，由f（x）＝x3﹣2ax2+a2x+1，可得f′（x）＝3x2﹣4ax+a2．
又函数f（x）在x＝1处取得极小值，
∴f′（1）＝3﹣4a+a2＝0，解得a＝1或a＝3．
当a＝1时，有f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1）．
令f′（x）＞0，可得或x＞1，令f′（x）＜0，可得，
∴f（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．
∴函数f（x）在x＝1处取得极小值，满足条件；
当a＝3时，有f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3）．
解f′（x）＞0可得，x＜1或x＞3，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增；
解f′（x）＜0可得，1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）上单调递减．
∴函数f（x）在x＝1处取得极大值，不满足条件，舍去．
故a＝1．A项错误；
对于选项B，由A知，a＝1，f（x）＝x3﹣2x2+x+1
且f（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．
又f（1）＝1﹣2+1+1＝1＞0，，
根据函数的单调性以及零点存在定理可知，f（x）在上没有零点，在（1，+∞）上没有零点．
又f（﹣1）＝﹣1﹣2﹣1+1＝﹣3＜0，
根据函数的单调性以及零点存在定理可知，f（x）在上有一个零点，在（﹣∞，﹣1）上没有零点．
综上所述，函数f（x）有且仅有一个零点．故B正确；
对于选项C，由A可知f（x）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，
∴f（x）在处取得极大值，在x＝1处取得极小值．
故C正确；
对于选项D，由A知，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
∴f（x）在处取得最大值，无最小值．故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（2025春 科左中旗校级期末）已知数列{an}的前n项和，则下列正确的是（　　）
A．a1＝﹣7 B．an＝2n﹣6
C．Sn取最小值时，n＝3 D．{an}为递增数列
【解答】解：因为①，
所以n＝1时，a1＝S1＝﹣7，
当n≥2时，②，
由①﹣②可得：an＝2n﹣6，
而当n＝1时，2n﹣6＝﹣4≠﹣7，
所以，故A正确，B错误；
因为，故当n＝2或3时，Sn取最小值，故C错误；
因为n≥2时，an＝2n﹣6单调递增，且a2＝﹣2＞a1＝﹣7，
所以{an}为递增数列，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025春 白山期末）下列说法正确的是（　　）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q＞1
C．若数列{an}的前n项和为，则数列{an}是等差数列
D．若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k， 仍为等比数列（k∈N*）
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由等差数列、等比数列的定义，非零常数列既是等差数列，又是等比数列，A正确；
对于B，等比数列单调递增，则有或，所以B错误．
对于C，由可知当n≥2，n∈N+时，
且a1＝S1＝3，符合等式，所以数列通项为an＝2n+1，则an+1﹣an＝2（n+1）+1﹣2n﹣1＝2，所以是等差数列，所以C正确．
对于D，当q＝﹣1，k为偶数时，易得Sk＝0，S2k﹣Sk＝0，S3k﹣S2k＝0，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k， 不是等比数列，所以D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 栖霞区校级期末）若函数f（x）＝cosx﹣ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　 ．
【解答】解：由f（x）＝cosx﹣ax，x∈R，可得f′（x）＝﹣sinx﹣a，
若f（x）在定义域内单调递减，则 x∈R，f′（x）≤0，
即a≥﹣sinx恒成立，又﹣sinx≤1，则a≥1，即a∈[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
13．（2025春 浦东新区校级期末）若数列{an}满足，则{an}最多有　102　 项．
【解答】解：因为，因此，即，
因此数列是首项为52×4＝100，公差为﹣1的等差数列，
因此，又，
因此，
当n＝100时，，即，
因此{an}最多有102项．
故答案为：102．
14．（2025春 仁寿县期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 　135　 ．
【解答】解：根据题目将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，
被3除余2且被5除余4的数构成首项为14，
公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝14+15（n﹣1）＝15n﹣1，令an＝15n﹣1≤2025，解得．
∴将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是135．
故答案为：135．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 沈阳期末）已知函数f（x）＝xlnx+a．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y＝mx+2，求a和m；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝xlnx+a，可得f′（x）＝lnx+1，则f′（1）＝1且f（1）＝a，
因为函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y＝mx+2，
可得，解得a＝3，m＝1．
（2）由函数f（x）＝xlnx+a的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx+1，
令f′（x）＜0，即lnx+1＜0，即lnx＜﹣1，可得；
令f′（x）＞0，即lnx+1＞0，即lnx＞﹣1，可得，
所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
16．（2025春 湖北校级期末）已知f（x）＝x3﹣6x2+12x﹣4，函数f（x）图像上一点P处的切线为l1．
（1）当l1经过坐标原点时，求点P的横坐标；
（2）若l1与曲线交于另一点Q，f（x）在点Q处的切线为l2，记l1，l2的斜率分别为k1，k2，求的值．
【解答】解：（1）由题意f（x）＝x3﹣6x2+12x﹣4，函数f（x）图像上一点P处的切线为l1．
可设P点的坐标为（x1，y1），则，
因为f′（x）＝3x2﹣12x+12，所以切线l1的方程为，
由切线经过原点，把x＝y＝0代入切线方程得：，
即或，
所以点P的横坐标为1或；
（2）由题意l1与曲线交于另一点Q，f（x）在点Q处的切线为l2，
可设Q点的坐标为（x2，y2），由（1）可知，
切线l1的方程为，整理得：，
与y＝x3﹣6x2+12x﹣4联立得：，
即或x＝6﹣2x1，
所以x2＝6﹣2x1，故，
因此．
17．（2025春 江西校级期末）已知等差数列{an}满足：a2＝3，a7＝13，Sn为其前n项和，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式an、前n项和Sn；
（2）令，求bn的最大值．
【解答】解：（1）由等差数列{an}满足：a2＝3，a7＝13，
设公差为d，可得a1+d＝3，a1+6d＝13，
解得a1＝1，d＝2，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
Snn（1+2n﹣1）＝n2；
（2），
bn≥bn﹣1得到，
bn≥bn+1得到，
合并得到，
所以，n∈N*，所以n＝3．
即有．
18．（2025春 湖北校级期末）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：．
【解答】解：（1）由，且an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），a1＝S1＞0．
当n＝1时，，即，得S1＝1，故a1＝1．
当n≥2时，将an＝Sn﹣Sn﹣1代入原式，有：
，
化简得．
两边乘Sn﹣Sn﹣1，得（Sn+Sn﹣1）（Sn﹣Sn﹣1）＝1，即（n≥2）．
由此，是首项为、公差为1的等差数列，故，即（因Sn＞0）．
当n≥2时，；
n＝1时，，符合上式．
综上，．
证明：（2）由（1）知，需证．
因，则．
需证，即证：，
只需证，化简后等价于．
由均值不等式，，即，故放缩成立．
因此，对成立．
于是，．
右侧裂项相消后得．
又，故，
因此．
19．（2025春 辽宁期末）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．
（1）讨论函数f（x）的零点情况，只要求写出结论即可；
（2）若对任意x＞1，有，求a的取值范围；
（3）求证：对在意n≥2且n∈N*，有．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）＝ax﹣lnx＝0，得，
令，则，
当0＜x＜e时，φ′（x）＞0，则函数φ（x）在（0，e]上单调递增；
当x＞e时，φ′（x）＜0，则函数φ（x）在[e，+∞）上单调递减，
所以φ（x）max＝φ（e），
当x→0时，φ（x）→﹣∞，当x→+∞时，φ（x）→0，
所以当a≤0或时，直线y＝a与函数的图象有一个公共点；
当时，直线y＝a与函数的图象有两个公共点；
当时，直线y＝a与函数的图象没有公共点，
所以当a≤0或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点．
（2）对任意x＞1，不等式，
令函数，求导得，
当a≤0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）＝0，不合题意；
当0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2＞0，设其两个根x1，x2（x1＜x2），，
由x1x2＝1，得x1＜1＜x2，函数g（x）在（1，x2）单调递减，g（x2）＜g（1）＝0，不合题意；
当a≥1时，函数y＝ax2﹣2x+a在（1，+∞）上单调递增，ax2﹣2x+a＞2a﹣2≥0，g′（x）＞0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，对任意x＞1，g（x）＞g（1）＝0，符合题意，
所以a的取值范围是[1，+∞）．
（3）证明：法1：先证：对任意x≥2，有x2+1≥5lnx，令h（x）＝x2+1﹣5lnx，x≥2，
求导得，函数h（x）在[2，+∞）上单调递增，h（x）≥h（2）＝5﹣5ln2＞0，
因此对任意k≥2，有，即，
而，
所以．
法2：由（2）知，当a＝1时，，
因此，
所以
．
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