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期末重组复习卷（二）-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 广元期末）命题“ x＞0，x2+x+1≥0”的否定是（　　）
A． x≤0，x2+x+1＜0 B． x＞0，x2+x+1＜0
C． x≤0，x2+x+1≥0 D． x＞0，x2+x+1＜0
2．（2024秋 海南校级期末）已知sin（θ），则cos（θ）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 沈阳期末）函数y在[﹣6，6]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 辛集市期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2） B．（﹣1，2） C． D．
5．（2024秋 浏阳市期末）已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
6．（2024秋 石家庄期末）已知tanα＝﹣2，则的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．（2024秋 东莞市期末）为了得到函数的图象，只需要把函数y＝cosx上所有的点（　　）
A．向右平移个单位，横坐标变为原来的倍
B．向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍
C．横坐标变为原来的倍，向左平移个单位
D．横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位
8．（2024秋 嘉兴期末）已知函数若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）的取值范围为（　　）
A． B．（﹣∞，2] C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 衡阳校级期末）已知x、y都是正数，则（　　）
A．
B．若2x+y＝4，则xy的最大值为2
C．的最大值为
D．
（多选）10．（2024秋 高州市期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．（2024秋 如皋市期末）对于函数（ω＞0），下列说法正确的是（　　）
A．当ω＝2时，函数f（x）在上有且只有一个零点
B．若函数f（x）在单调递增，则ω的取值范围为
C．若函数f（x）在x＝x1时取最小值，在x＝x2时取最大值，且，则
D．将函数f（x）图象向左平移个单位得到g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则ω的最小值为2
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 广东校级期末）已知命题p： x∈R，x2+x﹣1＜0，则命题p的否定是 　 　 ．
13．（2024秋 双清区校级期末）已知函数，若f（a）＝2，则a＝ 　 　 ．
14．（2024秋 西峰区校级期末）敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形ABCD）可视为扇形OAB截去扇形OCD所剩余的部分．已知，OA＝30cm，OD＝12cm，则该扇子的扇面面积为 　 　 cm2．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 宜春校级期末）（1）化简：；
（2）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
16．（2024秋 张家港市校级期末）已知f（x）为奇函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的判断；
（2）若关于x的方程2f2（x）﹣（2m+1）|f（x）|+m＝0有8个不同的解，求实数m的取值范围．
17．（2024秋 清远期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≤3的解集．
18．（2024秋 仓山区校级期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
19．（2024秋 邢台期末）阻尼器是一种可用于消减强风下高层建筑物晃动的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似看成单摆运动，其离开平衡位置的位移f（t）（单位：米）和时间t（单位：秒）的函数关系式为，若该函数的连续四个零点依次为t1，t2，t3，t4，且t1+t2+t3＝10，t2+t3+t4＝16．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（t）在[1，3]上的单调性；
（3）若，[f（t）]2+mf（t）+20≤0，求m的取值范围．
期末重组复习卷（二）-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C D A A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 广元期末）命题“ x＞0，x2+x+1≥0”的否定是（　　）
A． x≤0，x2+x+1＜0 B． x＞0，x2+x+1＜0
C． x≤0，x2+x+1≥0 D． x＞0，x2+x+1＜0
【解答】解：命题“ x＞0，x2+x+1≥0”的否定是 x＞0，x2+x+1＜0．
故选：B．
2．（2024秋 海南校级期末）已知sin（θ），则cos（θ）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵sin（θ），则cos（θ）＝sin[（θ）]＝sin（θ），
故选：C．
3．（2025春 沈阳期末）函数y在[﹣6，6]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由y＝f（x）在[﹣6，6]，知
f（﹣x）f（x），函数是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C
又f（4）7，因此排除A，D．
故选：B．
4．（2024秋 辛集市期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2） B．（﹣1，2） C． D．
【解答】解：当x≥1时，，而函数t＝x2+2x﹣2在[1，+∞）上单调递增，又y＝2t是增函数，
因此函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）＝1，即函数f（x）在[1，+∞）上的值域为[1，+∞），
当x＜1时，函数f（x）的值域为A，而函数f（x）的值域为R，因此（﹣∞，1） A，
而当x＜1时，f（x）＝（2﹣a）x+3a，必有，解得，
所以a的取值范围是．
故选：C．
5．（2024秋 浏阳市期末）已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，
所以1≥21＝2+1＝3，当且仅当，即a＝b时等号成立，
所以的最小值为3．
故选：D．
6．（2024秋 石家庄期末）已知tanα＝﹣2，则的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：原式3，
又因为tanα＝﹣2，
所以原式＝﹣2．
故选：A．
7．（2024秋 东莞市期末）为了得到函数的图象，只需要把函数y＝cosx上所有的点（　　）
A．向右平移个单位，横坐标变为原来的倍
B．向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍
C．横坐标变为原来的倍，向左平移个单位
D．横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位
【解答】解：sin（2x）＝cos（2x），
结合选项可知，把函数y＝cosx上所有的点向右平移个单位，横坐标缩小到原来的；
把y＝cosx的横坐标变为原来的倍，向左平移个单位可得y＝cos（2x），C错误；
把y＝cosx的横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位可得y＝cos（），D错误．
故选：A．
8．（2024秋 嘉兴期末）已知函数若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）的取值范围为（　　）
A． B．（﹣∞，2] C． D．
【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
由图象对称性可知，x2+x3＝2，
设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，
所以x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）
＝t（x1+x2+x3）
＝t（x1+2）
＝f（x1）（x1+2），
又因为f（x1）＝﹣x1+1，
所以x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）
＝f（x1）（x1+2）
＝（﹣x1+1）（x1+2）
x1+2
＝﹣（x1）2，
又因为x1∈[﹣1，0），
所以．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 衡阳校级期末）已知x、y都是正数，则（　　）
A．
B．若2x+y＝4，则xy的最大值为2
C．的最大值为
D．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，
则2，当且仅当x＝y时取等号，A错误；
若4＝2x+y，则xy≤2，当且仅当y＝2x，即y＝2，x＝1时取等号，B正确；
由A知，，当且仅当x＝y时取等号，C正确；
当0＜x＜1时，lnx＜0，D显然错误．
故选：BC．
（多选）10．（2024秋 高州市期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由①，等式①两边取平方得，∴②，故A正确；
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，由②，cosθ＜0，∴，故B正确；
∴③，故C错误；
①③联立解得sin，cosθ，
所以，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2024秋 如皋市期末）对于函数（ω＞0），下列说法正确的是（　　）
A．当ω＝2时，函数f（x）在上有且只有一个零点
B．若函数f（x）在单调递增，则ω的取值范围为
C．若函数f（x）在x＝x1时取最小值，在x＝x2时取最大值，且，则
D．将函数f（x）图象向左平移个单位得到g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则ω的最小值为2
【解答】解：对于A，当ω＝2时，，
令f（x）＝0，则，
若，，可得（2x），，
由于（，）为正弦函数的递减区间，且此时，
所以有解，且只有一个零点，故A正确；
对于B，由于，
又由题意f（x）单调递增，
可得，解得，k∈Z，
又ω＞0，
所以，故B正确；
对于C，若函数f（x）在x＝x1时取最小值，在x＝x2时取最大值，且，
可得，可得T＝π，可得ω＝2，
可得，
令，
则，
故，
所以，故C错误；
对于D，将函数f（x）图象向左平移个单位得到g（x）的图象，可得，
若g（x）为偶函数，则，解得ω＝6k+2，k∈Z，
所以当k＝0时，ω的最小值为2，故D正确；
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 广东校级期末）已知命题p： x∈R，x2+x﹣1＜0，则命题p的否定是 　 x∈R，x2+x﹣1≥0　 ．
【解答】解：命题p的否定是 x∈R，x2+x﹣1≥0．
故答案为： x∈R，x2+x﹣1≥0．
13．（2024秋 双清区校级期末）已知函数，若f（a）＝2，则a＝ 　﹣1或9　 ．
【解答】解：函数，若f（a）＝2，
当a＞0时，由log3a＝2，得a＝9；
当a≤0时，由1﹣a3＝2，得a＝﹣1．
故答案为：﹣1或9．
14．（2024秋 西峰区校级期末）敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形ABCD）可视为扇形OAB截去扇形OCD所剩余的部分．已知，OA＝30cm，OD＝12cm，则该扇子的扇面面积为 　315π　 cm2．
【解答】解：由，OA＝30cm，OD＝12cm，
可得该扇子的扇面面积为．
故答案为：315π．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 宜春校级期末）（1）化简：；
（2）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
【解答】解：（1）
；
（2）角α终边上一点P（﹣4，3），由三角函数定义可得，，
则．
16．（2024秋 张家港市校级期末）已知f（x）为奇函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的判断；
（2）若关于x的方程2f2（x）﹣（2m+1）|f（x）|+m＝0有8个不同的解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，理由如下：
f（x）的定义域为R，
因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝0，所以0，即a＝0，所以f（x），
任取0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2），
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2＜1，x2﹣x1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，1）上单调递增；
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x2﹣x1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，
综上，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（2）2f2（x）﹣（2m+1）|f（x）|+m＝0 2|f（x）|2﹣（2m+1）|f（x）|+m＝0，
令t＝|f（x）|，则原问题等价于方程2t2﹣（2m+1）t+m＝0有8个不同的解，即（2t﹣1）（t﹣m）＝0，解得t或t＝m，
所以只需t或t＝m有8个不同的解，
因为f（﹣x）f（x），所以f（x）是奇函数，
所以t＝|f（x）|是偶函数，
故原问题进一步转化为t或t＝m在（0，+∞）上有4个不同的解，
由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以当x＞0时，f（x）max＝f（1）＝2，且0＜f（x）＜2，
所以0＜m＜2且m，
故实数m的取值范围为（0，）∪（，2）．
17．（2024秋 清远期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≤3的解集．
【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1，
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝21﹣x﹣1＝f（x），
所以f（x）＝21﹣x﹣1，
f（x）；
（2）当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1≤3，解得0≤x≤1，
当x＜0时，f（x）＝21﹣x﹣1≤3，解得，﹣1≤x＜0，
故x的范围为{x|﹣1≤x≤1}．
18．（2024秋 仓山区校级期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）∵且OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴，
又四边形ABCD为矩形，，
∴
在扇形OPQ中，半径OP＝1．
过B作OP的垂线，垂足为N，
∴BN＝OBsinα＝sinα，
在△ABN中
（2）矩形ABCD面积S＝|AB∥AD|，设∠BOP＝α，
由（1）可知|AB|＝2sinα，|BN|，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴当，
即时，矩形ABCD面积取最大值，
最大值为．
19．（2024秋 邢台期末）阻尼器是一种可用于消减强风下高层建筑物晃动的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似看成单摆运动，其离开平衡位置的位移f（t）（单位：米）和时间t（单位：秒）的函数关系式为，若该函数的连续四个零点依次为t1，t2，t3，t4，且t1+t2+t3＝10，t2+t3+t4＝16．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（t）在[1，3]上的单调性；
（3）若，[f（t）]2+mf（t）+20≤0，求m的取值范围．
【解答】解：（1），
由t1+t2+t3＝10，t2+t3+t4＝16，得t4﹣t1＝6；
设f（t）的最小正周期为T，则6，解得T＝4，则ω；
（2）由（1）可知f（t）＝4sin（t），由1≤t≤3，得t；
当t，即1≤t时，f（t）单调递减；
当t，即t≤3时，f（t）单调递增．
所以f（t）在[1，]上单调递减，在（，3]上单调递增．
（3）由t∈（0，]，得∈（，]，则f（t）∈[﹣2，4]．
令x＝f（t），则 t∈（0，]，[f（t）]2+mf（t）+20≤0等价于 x∈[﹣2，4]，x2+mx+20≤0，
设函数g（x）＝x2+mx+20，当2，即m＞4时，g（x）在[﹣2，4]上单调递增，
则g（﹣2）＝﹣2m+24≤0，解得m≥12．
当4，即m＜﹣8时，g（x）在[﹣2，4]上单调递减，则g（4）＝4m+36≤0，解得m≤﹣9．
当，即﹣8≤m≤4时，Δ＝m2﹣80＜0，不等式无解．
综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣9]∪[12，+∞）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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