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期末重组复习卷（二）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 楚雄州期末）（2﹣3i）（3+i）的虚部为（　　）
A．9 B．﹣7 C．9i D．﹣7i
2．（2025春 凉州区校级期末）与向量平行的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．
3．（2025春 黄冈期末）如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），用斜二测画法画出它的直观图A'B'C'O'，则点B'到x'轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 龙潭区校级期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n
B．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m，n是异面直线，m α，n β；m∥β，n∥α，则α∥β
5．（2025春 宁夏校级期末）先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 天水校级期末）在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 福州期末）某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为（　　）
A．82.5 B．81.5 C．87.5 D．85
8．（2025春 天津期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为（　　）
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为
③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
⑤三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是3π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 江阴市校级期末）已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1﹣i，则下面选项正确的是（　　）
A． B． C．|z1+z2|≥2 D．
（多选）10．（2025春 内江期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件A与事件B不互斥
B．事件A与事件B相互独立
C．P（B）＝2P（A）
D．P（A）+P（B）＜1
（多选）11．（2024秋 雁江区校级期末）如图，已知在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，点G是A1D1上的动点，下列结论正确的是（　　）
A．C1D1∥平面ABH
B．AC1⊥平面BDA1
C．直线EF与BC1所成的角为30°
D．三棱锥G﹣DBC1的体积最大值为
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 海淀区期末）已知△ABC为等腰三角形，且sinA＝2sinB，则cosB＝ 　 　 ．
13．（2025春 思茅区校级期末）已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝60°，若，则λ+μ的取值范围是 　 　 ．
14．（2024秋 房县校级期末）如图所示，四边形A'B'C'D'是边长为2的正方形ABCD在平面α上的投影（光线AA'、BB'、CC'、DD'互相平行），光线AA'与平面α所成角为60°，转动正方形ABCD，在转动过程中保持BC∥平面α且BC⊥AA'，若平面ABCD与平面α所成角为θ，且BB'＝2cosθ，则多面体ABCD﹣A'B'C'D'的体积的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 内江期末）已知向量．
（1）求；
（2）若，求实数x的值．
16．（2025春 内江期末）某校组织高一年级学生进行了禁毒知识测试．根据测试成绩，将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并求该样本的第80百分位数；
（2）该校准备对本次禁毒知识测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40，50），[50，60）各一人的概率．
17．（2025春 栖霞区校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c＝2，S△ABC，求b的值．
18．（2025春 宁乡市期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）证明：DM⊥PC；
（3）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
19．（2025春 河南校级期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；
（3）求BC1与平面A1ACC1所成的角的正切值．
期末重组复习卷（二）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D A B D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ABC BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 楚雄州期末）（2﹣3i）（3+i）的虚部为（　　）
A．9 B．﹣7 C．9i D．﹣7i
【解答】解：（2﹣3i）（3+i）＝6﹣9i+2i﹣3i2＝9﹣7i，
所以（2﹣3i）（3+i）的虚部为﹣7．
故选：B．
2．（2025春 凉州区校级期末）与向量平行的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．
【解答】解：由题意可知，，
所以与向量平行的单位向量为或．
故选：C．
3．（2025春 黄冈期末）如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），用斜二测画法画出它的直观图A'B'C'O'，则点B'到x'轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，由斜二测画法作出直观图，
其中B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，
则点B'到x'轴的距离d＝1×sin45°．
故选：C．
4．（2025春 龙潭区校级期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n
B．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m，n是异面直线，m α，n β；m∥β，n∥α，则α∥β
【解答】解：对A选项，若α∥β，m α，n β，则m∥n或m与n异面，所以A选项错误．
对B选项，若α⊥β，m α，n β，则m与n可以成[0，]的任意角，所以B选项错误；
对于C，如图所示m∥α，α⊥β，但m∥β，所以C选项错误；
对于D选项，由n∥α，则过直线n作平面δ，使得δ∩α＝l，于是n∥l，
而l β，n β，所以l∥β，由m，n是异面直线，则l，m必相交，
m∥β，l α，m α，所以α∥β，所以D选项正确．
故选：D．
5．（2025春 宁夏校级期末）先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，所以0，
所以m＞2n，由题意可知基本事件总数为6×6＝36，
当n＝1时，m＝3，4，5，6，共四种情况；
当n＝2时，m＝5，6，共两种情况．
所以满足m＞2n的基本事件个数为4+2＝6，
因此，“”的概率．
故选：A．
6．（2025春 天水校级期末）在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，
则，
即c＝4，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得：a2＝13，
即，
由正弦定理可得：，
故选：B．
7．（2025春 福州期末）某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为（　　）
A．82.5 B．81.5 C．87.5 D．85
【解答】解：根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，
第一组的频率为0.010×10＝0.1，
第二组的频率为0.015×10＝0.15，
第三组的频率为0.020×10＝0.2，
第四组的频率为0.030×10＝0.3，
则x在第四组，则有0.1+0.15+0.2+（x﹣80）×0.03＝0.6，解可得x＝85．
故生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为85．
故选：D．
8．（2025春 天津期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为（　　）
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为
③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
⑤三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是3π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图，连接B1D1，正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
因为正方体的棱BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
又因为BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1，
所以A1C1⊥平面BB1D1，
又BD1 平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，
同理A1D⊥BD1．
又A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1 平面A1C1D，
所以BD1⊥平面A1C1D，故①正确；
因为CD⊥平面BCB1，CB1 平面BCB1，所以CD⊥CB1，
又平面B1CD∩平面BCD＝CD，BC⊥CD，BC 平面BCD，B1C 平面B1CD，
则∠B1CB是平面B1CD与平面BCD的夹角，因为△B1BC为等腰直角三角形，
所以该角大小为，故②错误；
因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，AB∥CD，AB＝CD，
所以A1B1∥CD，A1B1＝CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，因此有A1D∥B1C，
又因为A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，
所以B1C∥平面A1C1D，
又P∈B1C，所以P到平面A1C1D的距离为定值，
故三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故③正确；
因为A1D∥B1C，所以异面直线AP与A1D所成角就是AP与B1C所成的角，
即图中∠APC或∠APB，设正方体棱长为1，
所以，
当点P为B1C中点时，此时AP⊥B1C，
因为△AB1C是等边三角形，P在线段B1C上，
所以∠APC或∠APB中较小的角的范围是，故④错误；
三棱锥A1﹣BDC1的外接球即为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，
因为，
所以，
所以三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是πR2＝3π，故⑤正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 江阴市校级期末）已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1﹣i，则下面选项正确的是（　　）
A． B． C．|z1+z2|≥2 D．
【解答】解：两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1﹣i，
，故A错误；
对B：，∴，故B正确；
对C：，故，故C错误；
对D：，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（2025春 内江期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件A与事件B不互斥
B．事件A与事件B相互独立
C．P（B）＝2P（A）
D．P（A）+P（B）＜1
【解答】解：根据题意，抛掷两枚质地均匀的骰子，
则Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个基本事件，
依次分析选项：
对于A，事件AB＝{（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），}，共8个基本事件，
事件A、B可同时发生，即事件A与事件B不互斥，A正确；
对于B，易得，
则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；
显然，，C正确，D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2024秋 雁江区校级期末）如图，已知在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，点G是A1D1上的动点，下列结论正确的是（　　）
A．C1D1∥平面ABH
B．AC1⊥平面BDA1
C．直线EF与BC1所成的角为30°
D．三棱锥G﹣DBC1的体积最大值为
【解答】解：如图：
因为AB∥C1D1，所以A，B，C1，D1四点共面，
所以C1D1 平面ABH，所以A选项错误；
连接BD，AC，AB1，A1B，AC1，
根据三垂线定理易知A1B⊥AC1，又AC1⊥BD，又A1B∩BD＝B，
所以AC1⊥面BDA1，所以B选项正确；
取AD中点I，连接FI，EF，EI，AD1，
在△ADD1中，因为F，I分别为DD1，DA的中点，
所以FI∥AD1，又AD1∥BC1，
所以FI∥BC1，
所以EF与BC1所成角为∠IFE，
又，，，
所以，
所以EF与BC1所成的角为30°，所以C选项正确；
当G位于A1点时，三棱锥G﹣DBC1的体积最大，
所以，所以选项D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 海淀区期末）已知△ABC为等腰三角形，且sinA＝2sinB，则cosB＝ 　　 ．
【解答】解：设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sinA＝2sinB，则由正弦定理得a＝2b，
因为△ABC是等腰三角形，所以a＝c＝2b，
由余弦定理得：．
故答案为：．
13．（2025春 思茅区校级期末）已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝60°，若，则λ+μ的取值范围是 　　 ．
【解答】解：设λ+μ＝k，如图，当C位于点A或点B时，A，B，C三点共线，所以k＝λ+μ＝1；
当点C运动到AB的中点时，，所以．
故答案为：．
14．（2024秋 房县校级期末）如图所示，四边形A'B'C'D'是边长为2的正方形ABCD在平面α上的投影（光线AA'、BB'、CC'、DD'互相平行），光线AA'与平面α所成角为60°，转动正方形ABCD，在转动过程中保持BC∥平面α且BC⊥AA'，若平面ABCD与平面α所成角为θ，且BB'＝2cosθ，则多面体ABCD﹣A'B'C'D'的体积的最大值为 　　 ．
【解答】解：因为BC⊥AA'，BC⊥AB，AB∩AA'＝A，
所以BC⊥平面ABB'A'，
因为BC∥α，BC 平面BCC'B'，且平面BCC'B'∩α＝B'C'，
所以BC∥B'C'，又BB'∥CC'，
所以四边形BCC'B'为平行四边形，
所以BC＝B′C′，同理可得AD＝A′D′，又AD＝BC
所以多面体ABCD﹣A'B'C'D'为直四棱柱，
作BM∥A'B'交AA'于点M，A'B' 平面A'B'C'D'，
所以BM∥平面A'B'C'D'；
同理BC∥平面A'B'C'D'，又BC∩BM＝B，
所以平面BCM∥平面A'B'C'D'，
又BC⊥平面ABB'A'，
所以∠ABM＝θ；
作AN⊥A'B'于N，
所以BC⊥AN，即B'C'⊥AN，又A'B'∩B'C'＝B'，所以AN⊥平面A'B'C'D'，
所以直线AA'与平面α所成角为∠AA'N＝60°，
所以∠AMB＝∠AA'N＝60°；
在△ABM中，由正弦定理得，，
点B到直线AA'的距离为，
所以多面体ABCD﹣A'B'C'D'的体积
，
化简得，当且仅当时取等．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 内江期末）已知向量．
（1）求；
（2）若，求实数x的值．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）由题可得：，，
已知，可得，
即（﹣5）×1+（2+x）×5＝0，
整理得：5x+5＝0，解得：x＝﹣1．
16．（2025春 内江期末）某校组织高一年级学生进行了禁毒知识测试．根据测试成绩，将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并求该样本的第80百分位数；
（2）该校准备对本次禁毒知识测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40，50），[50，60）各一人的概率．
【解答】解：（1）（0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，a＝0.030，
由（0.01+0.015+0.015+0.03）×10＝0.7＜0.8，（0.07+0.025）×10＝0.95＞0.8，
因此样本的第80百分位数位于区间[80，90），设为x，则0.7+（x﹣80）×0.025＝0.8，
因此x＝84分；
（2）[40，50），[50，60）的频率比为2：3，
故抽取的5人中[40，50）有2人为a，b、[50，60）有3人为A，B，C，
任抽2人有{ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC}，共10种情况，
其中分数在[40，50），[50，60）各一人有{aA，aB，aC，bA，bB，bC}，共6种情况，
因此这2名同学分数在[40，50），[50，60）各一人的概率．
17．（2025春 栖霞区校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c＝2，S△ABC，求b的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵，由正弦定理可得：．
化为：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB＝0，
2sinAcosB+sin（C+B）＝0，
∴2sinAcosB+sinA＝0，
∵sinA≠0，
∴cosB，又B∈（0，π），∴B．
（2）∵，
∴ac＝1．
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝3，
∴．
18．（2025春 宁乡市期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）证明：DM⊥PC；
（3）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
【解答】解：（1）因为侧面PAD是边长为2的正三角形，N为AD的中点，
因此PN⊥AD，，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN 平面PAD，
因此PN⊥平面ABCD，即PN为棱锥的高，
因为底面ABCD为正方形，
因此四棱锥P﹣ABCD的体积为；
（2）证明：因为DM 平面ABCD，PN⊥平面ABCD，因此PN⊥DM，
在正方形ABCD中，易知△DAM与△CDN全等，
因此∠ADM+∠AMD＝∠ADM+∠CND＝90°，因此DM⊥CN，
又PN∩CN＝N，PN，CN 平面PNC，因此DM⊥平面PNC，
又PC 平面PNC，因此DM⊥PC；
（3）
设CN∩DM＝E，连接PE，PM，MN，
因为DM⊥平面PNC，
因此∠MPE为直线PM与平面PNC所成的角，
在Rt△CDN中，，又，
即，因此，
又在Rt△PNM中，，
因此．
19．（2025春 河南校级期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；
（3）求BC1与平面A1ACC1所成的角的正切值．
【解答】解：（1）证明；设B1C∩C1B＝O，连接DO，
因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，
所以三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，侧面C1CBB1为正方形，
所以O为B1C的中点，又∵D为AC的中点，
所以在△ACB1中有DO∥AB1，
因为AB1 平面BC1D，DO 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D；
（2）连接BD，
因为A1A⊥底面ABC，BD 平面ABC，所以A1A⊥BD，
又因为△ABC为正三角形，D为AC的中点，所以AC⊥BD，
又因为A1A∩AC＝A，又因为A1A 平面A1ACC1，AC 平面A1ACC1，
所以BD⊥平面A1ACC1，又因为BD 平面BC1D，
所以平面BC1D⊥平面A1ACC1；
（3）由（2）可知BD⊥平面A1ACC1，
所以DC1即为BC1在平面A1ACC1内的射影，
所以∠BC1D即为BC1与平面A1ACC1所成的角，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，且AA1＝AB＝6，
所以，，
所以．
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