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华东师大版·九年级上册
21.1二次根式

第21章 二次根式
章节导读
21.1二次根式
21.2二次根式的乘除
21.3二次根式的加减
二次根式的性质
二次根式的意义
积的算术平方根
二次根式的乘法
合并同类二次根式
化简二次根式
二次根式的除法
学 习 目 标
1
2
3
理解并掌握二次根式的定义，能判断一个式子是不是二次根式.
理解二次根式有意义的条件.
体会并归纳总结二次根式的性质.
回顾旧知
计算下列各数的平方根和算术平方根，并据此回忆平方根与算术平方根的相关知识。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
16
49
0
-25
平方根
算术平方根
±4
±7
0
无意义
4
4
0
无意义
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，表示为±????。
?
算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为????。
?
0的平方根和算术平方根都为0；负数没有平方根。
回顾旧知
上述知识我们也可以这样归纳
当a是正数时，±????表示a的平方根，其中????表示a的算术平方根。
?
当a是零时，????等于0，它表示0的平方根，也叫做0的算术平方根。
?
当a是负数时，????没有意义。
?
思考探究
问题 下列各式表示什么意义？其结果有什么特点？
①上述各式均表示一个非负数的算术平方根。
②由算术平方根的定义可知上述各式结果均大于等于0，即结果是一个非负数。
二次根式
二次根式的定义：
形如????????≥0的式子叫做二次根式。其中a叫做被开方数。
?
小贴士：二次根式的定义有如下两层含义。
①被开方数a≥0，即二次根式有意义
②????≥0
?
二次根式的双重非负性
典例分析
下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
一个式子是二次根式，需要满足以下两个特征：
①外部特征：
√ 的形式；
②内部特征：
被开方数是非负数。
?
思路分析
形如????
?
a ≥ 0
典例分析
x是怎样的实数时，二次根式?????1有意义？
?
二次根式有意义，满足的条件是：被开方数是非负数。
被开方数
a ≥ 0
【解】
被开方数x － 1 ≥ 0，即x ≥ 1，
所以，当x ≥ 1时，二次根式?????1有意义。
?
思路分析
二次根式有意义
性质探究
问题1 ????2的被开方数是什么？
?
问题2 a的取值有没有限制？
没有限制，因为被开方数为a2，根据二次根式的定义，只需a2≥0即可，这里a的值不管取正数、0、负数，都满足a2≥0，因此没有限制。
问题3 ????2等于什么？
?
a > 0
性质探究
由于a的值没有限制，我们不防取一些值，如2，-2，0，3，-3，分别计算对应的????2的值，看看有什么规律：
?
相同
相同
相同
相反
相反
a > 0
a = 0
a < 0
a < 0
当a ≥ 0时，????2=????
?
当a < 0时，????2=?????
?
性质探究
计算下列各式，你是如何计算的？你有什么发现？
3表示3的算术平方根
?
32=3
?
5表示5的算术平方根
?
52=5
?
????2=????????≥0
?
典例分析
计算下列各式：
化简二次根式时，先观察式子结构，确认二次根式是哪一部分，再确认二次根式是否有意义，若有意义，则化简，若无意义，则无解。
注：有同学容易将被开方数理解错误。
【解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）121=112=11
?
（2）∵4>0，
∴42=4
?
（3）72=7
?
（4）∵?7<0，
∴?7无意义
即?72无解
?
典例分析
已知3?
化简二次根式与绝对值时，分别根据其性质化简即可：
【解】
∵ 3 < x < 4，
∴ 3 － x < 0，4 － x > 0，
∴ 3?????2=?3?????=?????3，
?
4?????=4?????，
?
∴ 3?????2+4?????=?????3+4?????=1
?
当堂反馈
1. 要使????+2有意义，x的取值应满足的条件是 。
?
【解】
要使????+????有意义，则x + 2 ≥ 0,
?
解得x ≥ －2,
故答案为：x ≥ －2。
x ≥ －2
2. 计算下列各式的值。
当堂反馈
3. 已知△ABC的三条边分别为a、b、c，化简????+?????????2???????????????2
?
【解】
由三角形三边关系可得b + c > a，b － c < a，
∴b + c － a > 0，b － c － a < 0，
∴原式 = b + c － a － (－b + c + a)
= b + c － a + b － c － a
= 2b － 2a
课堂小结
学完这节课，你有哪些收获与体会？
知识
方法
感悟
①二次根式的概念
②二次根式的性质
二次根式的双重非负性
？
布置作业
习题21.1 第1-3题
感谢聆听!

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