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人教版（2024）八（上）数学第十三章单元质量检测基础卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1． 如图，△ABC的边BC上的高是(　　)
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
2．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
3．（2024八上·吴兴月考）已知中，，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．（2023八上·海淀期末）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（　　）.
A． B． C． D．
5．（2025八上·嘉兴期末）如图，在锐角中，为边上的中线，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
7．（2024八上·浙江期中）自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
8．（2024八上·义乌月考）如图，在中，已知点D，E分别为边，上的中点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·永嘉月考）如图，是斜边上的高线，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·云南开学考）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2024八上·长兴月考）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是　 　三角形．
12．（2024八上·拱墅月考）中，，那么与相邻的一个外角等于　 　
13．（2024八上·凉州开学考）已知三角形的三边长为3、7、a，且a为整数，则a的最大值为　 　．
14．（2024八上·青原月考）将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是　 　．
15．（2023八上·洞口月考）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于　 　．
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分
得分
16．已知：如图，在中，AB，BE平分分别交AC，CD于点E，F.求证：
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上一点，且∠BAE=25°，∠CDE=65°．求证：△ADE是直角三角形.
18．（2024八上·祁阳期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性.
19． 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知 5cm，求△ABD与△ACD的周长的差。
20．（2023八上·天门月考）（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC， ， ，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．
21．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
22．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
23．（2024八上·拜城期中）阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为　 　；
（2）如图，，在射线上取一点A，过点A作，交于点B，以A为端点画射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以为“优雅角”的“优雅角三角形”，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解： △ABC的边BC上的高是 CF
故答案为：A
【分析】根据三角形高线的定义逐项分析判断可得答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和，结合已知求解即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴只有D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：在锐角中，为边上的中线，
，
故答案为：B.
【分析】利用三角形中线的定义解题．
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选：C．
【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式计算．
7．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故答案为：C．
【分析】△ABC的设计是构造三角形，因此可知应用了三角形的稳定性．
8．【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴，
同理可得：，
∴
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，，然后求出即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是斜边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意得，从而求出的度数.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出∠C的度数，再利用角平分线的定义求出，最后利用三角形的内角和求出即可．
11．【答案】锐角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵的三个内角度数比为，
设的三个内角度数分别为2x，3x，4x，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴的三个内角度数分别为2x=40°，3x=60°，4x=80°，
∵个内角均小于，
∴这个三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角度数比为，求出三个内角的度数，即可得出答案.
12．【答案】117°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：的外角=.
故答案为：117°
【分析】利用三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和即可求解.
13．【答案】9
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，
∴，
∴，
∴a为整数，可取的值为：9．
故答案为：9。
【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出a的取值范围，然后再根据题干要求，求出a的最大值。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，在中，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠A=180°-（∠1+∠2），∠B=180°-（∠3+∠4），∠C=180°-∠A-∠B，从而整体代入计算可得答案.
15．【答案】1
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
同理可证，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积.
16．【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBC，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠FDB=90°，
∴∠CEF+∠EBC=∠DFB+∠FBD=90°，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠FBD=∠EBC，然后由三角形内角和定理，进行等量代换后得∠CEF=∠DFB，由∠CFE=∠DFB，即可得证结论.
17．【答案】证明：，
又
是直角三角形.
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据两直线平行，可得同旁内角的和即∠BAD+∠ADC=；根据等式性质，∠EAD+∠EDC=；根据直角三角形的判定即可判定.
18．【答案】解：（1）∵∠A=50°，∠C=30°
∴∠BDO=80°
∵∠BOD=70°
∴∠B=30°
（2）∠BOC=∠A+∠B+∠C.
理由：∵∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）在中，已知∠A=50°，∠C=30°，根据三角形内角和为180°，可得∠BDO=180°-∠A-∠C=100°；又因为∠BOD=70°，在中可得∠B=180°-∠BOD-∠BDO=10°；
（2）因为∠BOC=∠BEC+∠C，而∠BEC=∠A+∠B（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），所以∠BOC=∠A+∠B+∠C.
19．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，
和 的周长差=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=7-5=2cm.
【知识点】三角形的中线
【解析】【分析】先根据三角形中线定义得到BD=CD，然后根据三角形周长定义求 与 的周长差.
20．【答案】（1）解：
∵AD平分∠BAC，
，
，
，
，
；
（2）解：作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得，
，
，
；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠BAC的度数；根据角平分线的定义，可得∠BAD的度数；根据直角三角形的性质，可得∠BAE的度数；根据等量关系，列代数式，即可求出∠DAE的度数；
（2）根据平行线的判定定理，两条直线同时垂直于一条直线，则这两条直线相互平行，可得AH∥EF；根据两直线平行，同位角相等，可得∠DFE的度数.
21．【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
22．【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
23．【答案】（1）
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用“优雅三角形”的定义及三角形的内角和及角的运算分析求解即可；
（2）根据是以为优雅角的“优雅三角形”，可得，则，再利用角的运算求出的度数为即可．
（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：；
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
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人教版（2024）八（上）数学第十三章单元质量检测基础卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1． 如图，△ABC的边BC上的高是(　　)
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解： △ABC的边BC上的高是 CF
故答案为：A
【分析】根据三角形高线的定义逐项分析判断可得答案。
2．（2025八上·宁波期末）下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意；
∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意；
∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
3．（2024八上·吴兴月考）已知中，，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和，结合已知求解即可.
4．（2023八上·海淀期末）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴只有D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
5．（2025八上·嘉兴期末）如图，在锐角中，为边上的中线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：在锐角中，为边上的中线，
，
故答案为：B.
【分析】利用三角形中线的定义解题．
6．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选：C．
【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式计算．
7．（2024八上·浙江期中）自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故答案为：C．
【分析】△ABC的设计是构造三角形，因此可知应用了三角形的稳定性．
8．（2024八上·义乌月考）如图，在中，已知点D，E分别为边，上的中点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴，
同理可得：，
∴
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，，然后求出即可得出答案.
9．（2024八上·永嘉月考）如图，是斜边上的高线，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是斜边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意得，从而求出的度数.
10．（2024八上·云南开学考）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出∠C的度数，再利用角平分线的定义求出，最后利用三角形的内角和求出即可．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11．（2024八上·长兴月考）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是　 　三角形．
【答案】锐角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵的三个内角度数比为，
设的三个内角度数分别为2x，3x，4x，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴的三个内角度数分别为2x=40°，3x=60°，4x=80°，
∵个内角均小于，
∴这个三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角度数比为，求出三个内角的度数，即可得出答案.
12．（2024八上·拱墅月考）中，，那么与相邻的一个外角等于　 　
【答案】117°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：的外角=.
故答案为：117°
【分析】利用三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和即可求解.
13．（2024八上·凉州开学考）已知三角形的三边长为3、7、a，且a为整数，则a的最大值为　 　．
【答案】9
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，
∴，
∴，
∴a为整数，可取的值为：9．
故答案为：9。
【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出a的取值范围，然后再根据题干要求，求出a的最大值。
14．（2024八上·青原月考）将两张三角形纸片如图摆放，量得，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，在中，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠A=180°-（∠1+∠2），∠B=180°-（∠3+∠4），∠C=180°-∠A-∠B，从而整体代入计算可得答案.
15．（2023八上·洞口月考）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
同理可证，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积.
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分
得分
16．已知：如图，在中，AB，BE平分分别交AC，CD于点E，F.求证：
【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBC，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠FDB=90°，
∴∠CEF+∠EBC=∠DFB+∠FBD=90°，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠FBD=∠EBC，然后由三角形内角和定理，进行等量代换后得∠CEF=∠DFB，由∠CFE=∠DFB，即可得证结论.
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上一点，且∠BAE=25°，∠CDE=65°．求证：△ADE是直角三角形.
【答案】证明：，
又
是直角三角形.
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据两直线平行，可得同旁内角的和即∠BAD+∠ADC=；根据等式性质，∠EAD+∠EDC=；根据直角三角形的判定即可判定.
18．（2024八上·祁阳期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性.
【答案】解：（1）∵∠A=50°，∠C=30°
∴∠BDO=80°
∵∠BOD=70°
∴∠B=30°
（2）∠BOC=∠A+∠B+∠C.
理由：∵∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）在中，已知∠A=50°，∠C=30°，根据三角形内角和为180°，可得∠BDO=180°-∠A-∠C=100°；又因为∠BOD=70°，在中可得∠B=180°-∠BOD-∠BDO=10°；
（2）因为∠BOC=∠BEC+∠C，而∠BEC=∠A+∠B（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），所以∠BOC=∠A+∠B+∠C.
19． 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知 5cm，求△ABD与△ACD的周长的差。
【答案】解：∵AD是BC边上的中线，
和 的周长差=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=7-5=2cm.
【知识点】三角形的中线
【解析】【分析】先根据三角形中线定义得到BD=CD，然后根据三角形周长定义求 与 的周长差.
20．（2023八上·天门月考）（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC， ， ，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．
【答案】（1）解：
∵AD平分∠BAC，
，
，
，
，
；
（2）解：作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得，
，
，
；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠BAC的度数；根据角平分线的定义，可得∠BAD的度数；根据直角三角形的性质，可得∠BAE的度数；根据等量关系，列代数式，即可求出∠DAE的度数；
（2）根据平行线的判定定理，两条直线同时垂直于一条直线，则这两条直线相互平行，可得AH∥EF；根据两直线平行，同位角相等，可得∠DFE的度数.
21．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
22．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
23．（2024八上·拜城期中）阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为　 　；
（2）如图，，在射线上取一点A，过点A作，交于点B，以A为端点画射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以为“优雅角”的“优雅角三角形”，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用“优雅三角形”的定义及三角形的内角和及角的运算分析求解即可；
（2）根据是以为优雅角的“优雅三角形”，可得，则，再利用角的运算求出的度数为即可．
（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：；
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
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