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重点突破(七) 二项分布与超几何分布的综合问题
　
第六章　§4　二项分布与超几何分布
学习目标
1.了解二项分布与超几何分布的区别与联系.
2.掌握超几何分布、二项分布的均值和方差的计算.
3.通过二项分布与超几何分布的综合应用，进一步培养数学 抽象、数学建模、数学运算的核心素养.
题型一　二项分布的实际应用
典例
1
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
规律方法
二项分布实际应用问题的解题思路
根据题意设出随机变量；分析出随机变量服从二项分布；找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)；写出二项分布的分布列，利用公式求解均值、方差等.
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题型二　超几何分布的实际应用
每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2025年1月1日开始，我国执行延迟退休新政.为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
典例
2
年龄段(单位：岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
被调查的人数 10 15 20 m 25 5
赞成的人数 6 12 n 20 12 2
年龄段(单位：岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
被调查的人数 10 15 20 m 25 5
赞成的人数 6 12 n 20 12 2
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
规律方法
超几何分布的求解策略
1.辨模型：结合实际情境分析所求概率分布问题是否由具有明显特征的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.
规律方法
对点练2.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理厂2024年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示：
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
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题型三　二项分布与超几何分布的综合应用
(2025·北京西城高二期中)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
典例
3
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及均值；
解：由题意可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
X 0 1 2 3
P
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/(元/件) 24 22 18 16
规律方法
1.根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型.
2.根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差.
3.利用均值与方差的意义进行决策判断.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
η 0 1 2 3
P
返回学习目标 1.了解二项分布与超几何分布的区别与联系.　2.掌握超几何分布、二项分布的均值和方差的计算. 3.通过二项分布与超几何分布的综合应用，进一步培养数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养.
题型一　二项分布的实际应用
我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某中学利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和－p，其中0＜p≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在(1)的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和均值.
解：(1)由题知：第三组通过初赛和复赛的概率p0＝p＝－p2＋p＝－(p－)2＋，
又因为≤p≤，
所以当p＝时，第三组进入决赛的概率最大为.
(2)由(1)知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为×＝.
因为进入决赛的队伍数X～B，
所以P(X＝0)＝×(1－)3＝；
P(X＝1)＝××(1－)2＝＝；
P(X＝2)＝×()2×＝＝；
P(X＝3)＝×()3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
二项分布实际应用问题的解题思路
根据题意设出随机变量；分析出随机变量服从二项分布；找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率)；写出二项分布的分布列，利用公式求解均值、方差等.
对点练1.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解：法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为p1＝0.62＋×0.62×0.4＝0.648.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有三种可能的比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为p2＝0.63＋×0.63×0.4＋×0.63×0.42＝0.682 56.
因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B(3，0.6).甲最终获胜的概率为p1＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×0.62×0.4＋×0.63＝0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B(5，0.6).甲最终获胜的概率为p2＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝×0.63×0.42＋×0.64×0.4＋×0.65＝0.682 56.
因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
题型二　超几何分布的实际应用
每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2025年1月1日开始，我国执行延迟退休新政.为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段(单位：岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
被调查的人数 10 15 20 m 25 5
赞成的人数 6 12 n 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在[35，45)的概率为，求出表格中m，n的值；
(2)若从年龄在[45，55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及均值.
解：(1)因为总共抽取100人进行调查，所以m＝100－10－15－20－25－5＝25，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35，45)的概率为，所以＝，n＝13.
(2)从年龄在[45，55)中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取10×＝8人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则赞成“延迟退休”的人数X的可能取值为2，3，4.
则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以EX＝2×＋3×＋4×＝.
超几何分布的求解策略
1.辨模型：结合实际情境分析所求概率分布问题是否由具有明显特征的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.
2.算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义.
3.列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.
对点练2.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理厂2024年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示：
(1)现从2024年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
(2)从2024年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数.求X的分布列及均值.
解：(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A，
由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，
所以P(A)＝.
(2)6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月.
所以X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以均值EX＝0×＋1×＋2×＝.
题型三　二项分布与超几何分布的综合应用
(2025·北京西城高二期中)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及均值；
(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/(元/件) 24 22 18 16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
解：(1)由题意可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为Y，则Y～B(3，)，
所以P＝××＝.
(3)由题意得，方案二的产品的平均售价为
24×＋22×＋18×＋16×＝21.2(元/件)，
因为21＜21.2，
所以从采购商的角度考虑，应该选择方案一.
1.根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型.
2.根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差.
3.利用均值与方差的意义进行决策判断.
对点练3.某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是.
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
则Eξ＝1×＋2×＋3×＝2；
设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知η～B，
所以P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
所以Eη＝3×＝2.
(2)由(1)知Eξ＝Eη＝2，
Dξ＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
Dη＝3××＝，
P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋＝，
所以Dξ＜Dη，P＞P，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成两题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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