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2.1 从平面向量到空间向量
2.2 空间向量的运算(空间向量及其线性运算)
　
第三章　§2　空间向量与向量运算
学习目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的 概念，培养数学抽象的核心素养.
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程， 掌握空间向量的线性运算及其运算律，提升数学运算的核 心素养.
任务一　空间向量的有关概念
问题导思
新知构建
大小
方向
大小
模
有向线段
点A
点B
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
相等向量 方向______且模______的向量称为相等向量
自由向量 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量
名称 定义及表示
相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用－a表示
零向量 规定模为0的向量叫作________，记为0
共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线____________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量).规定：零向量与任意向量______
共面向量 平行于__________的向量，叫作共面向量
相同
相等
零向量
平行或重合
平行
同一平面
微提醒
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)空间向量不能比较大小，模可以.(4)空间共线向量不一定具备传递性.(5)空间中任意两个向量都是共面向量.
典例
1
√
对于A，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；对于B，｜a｜＝｜b｜只能说明a，b的长度相等而方向不确定；对于C，向量不能比较大小.故选D.
√
√
规律方法
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.特别需要注意的是由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的.
√
对点练1.(1)(多选题)下列说法错误的是
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
√
√
对于A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个空间向量的模可以比较大小；对于B，其终点构成一个球面；对于C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量；对于D，两个向量不相等，它们的模可以相等.故选BCD.
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任务二　空间向量的加减法
问题导思
问题2.空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示：共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
新知构建
(4)空间向量加法的运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
a－b
微提醒
(1)求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，需要共起点.(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
典例
2
规律方法
空间向量加法、减法运算的两个技巧
巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
√
√
√
返回
任务三　空间向量的数乘运算
问题导思
问题3.类比平面向量，如何定义实数λ与空间向量a的乘积？空间向量共线也有与平面向量共线一样的充要条件吗？
提示：与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.向量λa的长度和方向满足：(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；(2)当λ＞0时，向量λa与向量a方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
空间向量共线也有与平面向量共线一样的充要条件，即空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
新知构建
1.空间向量的数乘运算
定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算
几何
意义 λ＞0 向量λa与向量a方向______ ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，λa的长度是a的长度的________倍
λ＜0 向量λa与向量a方向______
λ＝0 λa＝0，其方向是______的
运算律 结合律 λ(μ a)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R，μ∈R
相同
相反
任意
｜λ｜
2.共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得_______.
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
a＝λb
微思考
3.共面向量定理
任意给定两个不共线的向量a，b，存在实数x，y，使得向量c＝xa＋yb，则向量c与a，b为共面向量.
微提醒
向量c与不共线向量a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
典例
3
规律方法
利用数乘运算进行向量表示的技巧
1.数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
2.明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
返回
任务四　向量(三点)共线问题
典例
4
规律方法
返回
任务五　向量共面问题
典例
5
规律方法
证明空间三向量共面的方法
向量表示法：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若c＝xa＋yb，则向量c，a，b共面.
课堂小结
任务再现 1.空间向量的有关概念.2.空间向量的加减法.3.空间向量的数乘运算.4.向量(三点)共线问题.5.向量共面问题
方法提炼 类比法、转化与化归思想、数形结合思想
易错警示 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数；利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点
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随堂评价
√
1.下列关于空间向量的命题中，正确的命题是
A.任一向量与它的相反向量都不相等
B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C.平行且模相等的两个向量是相等向量
D.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜
对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错误；对于B，根据相等向量的定义知，故B正确；对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错误；对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错误.故选B.
√
√
4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系
为b＝　　a.
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课时分层评价
√

√
√
√
√
√
√
√

√

0

－8

√


9


返回§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算 (空间向量及其线性运算)
学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律，提升数学运算的核心素养.
任务一　空间向量的有关概念
问题1.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①所示.
(1)游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
(2)如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
提示：(1)如题图①，游客的实际位移是，可以用平面向量的加法来表示这个过程.
(2)如题图②，他实际发生的位移是，可以用空间向量来表示.
1.空间向量
(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模.
(3)表示法
一种用有向线段来表示，例如，以点A为起点、点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量.点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点，其模记为.
一种在印刷时用a，b，c，…表示，在书写时用，，，…表示，其模记为｜a｜.
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
自由向量 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量
名称 定义及表示
相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用－a表示
零向量 规定模为0的向量叫作零向量，记为0
共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量).规定：零向量与任意向量平行
共面向量 平行于同一平面的向量，叫作共面向量
[微提醒]　(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)空间向量不能比较大小，模可以.(4)空间共线向量不一定具备传递性.(5)空间中任意两个向量都是共面向量.
(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞
D.相等向量其方向必相同
(2)(多选题)下列命题为真命题的是(　　)
A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中任意两个单位向量必相等
答案：(1)D　(2)BC
解析：(1)对于A，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；对于B，｜a｜＝｜b｜只能说明a，b的长度相等而方向不确定；对于C，向量不能比较大小.故选D.
(2)对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同，故A为假命题；对于B，与的方向相同，模也相等，故＝，故B为真命题；对于C，向量的相等满足传递性，故C为真命题；对于D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D为假命题.故选BC.
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.特别需要注意的是由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的.
对点练1.(1)(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
答案：BCD
解析：对于A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个空间向量的模可以比较大小；对于B，其终点构成一个球面；对于C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量；对于D，两个向量不相等，它们的模可以相等.故选BCD.
(2)如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
①试写出与相等的所有向量；
②试写出的相反向量；
③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
解：①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，共3个.
②向量，，，.
③A＝AC2＋C＝AB2＋BC2＋C＝9，
故｜｜＝AC1＝3.
任务二　空间向量的加减法
问题2.空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示：共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
1.空间向量的加法运算
(1)空间向量的加法：
已知空间向量a，b，过空间任意一点A作＝a，＝b，再作向量，如图.把向量叫作空间向量a，b的和.求空间向量和的运算叫作空间向量的加法.即a＋b＝＋＝.
(2)向量求和的三角形法则：如图，求两个空间向量和的法则叫作向量求和的三角形法则.特点：首尾顺次相接，首指向尾为和.
(3)向量求和的平行四边形法则：
当空间向量a，b不平行时，过空间任意一点O作＝a，＝b，如图，这时，O，A，B三点不共线，在平面OAB内，以OA，OB为邻边作 OACB.因为＝，所以也有a＋b＝＋＝.特点：共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和.
(4)空间向量加法的运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
2.空间向量的减法运算
(1)空间向量a，b的差：定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量.
(2)特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.
(3)图形：
a＋(－b)＝a－b＝－＝.
[微提醒]　(1)求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，需要共起点.(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
(链教材P101例1)如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)＋－；
(2)－－.
解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2)－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
对点练2.(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　)
A.(＋)＋
B.(＋)－
C.(＋)＋
D.(＋)－
答案：ACD
解析：对于A，(＋)＋＝＋＝；对于B，(＋)－＝－＝＋＝≠；对于C，(＋)＋＝＋＝；对于D，(＋)－＝(＋)＋＝＋＝.故选ACD.
任务三　空间向量的数乘运算
问题3.类比平面向量，如何定义实数λ与空间向量a的乘积？空间向量共线也有与平面向量共线一样的充要条件吗？
提示：与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.向量λa的长度和方向满足：(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；(2)当λ＞0时，向量λa与向量a方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
空间向量共线也有与平面向量共线一样的充要条件，即空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
1.空间向量的数乘运算
定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算
几何 意义 λ＞0 向量λa与向量a方向相同 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，λa的长度是a的长度的｜λ｜倍
λ＜0 向量λa与向量a方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算 律 结合律 λ(μ a)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R，μ∈R
2.共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
[微思考]　(1)若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
(2)在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？
提示：(1)不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定平行(共线).
(2)有2个，分别是与－.
3.共面向量定理
任意给定两个不共线的向量a，b，存在实数x，y，使得向量c＝xa＋yb，则向量c与a，b为共面向量.
[微提醒]　向量c与不共线向量a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
(链教材P101例1)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解：(1)因为P是C1D1的中点，
所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)因为N是BC的中点，
所以＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)因为M是AA1的中点，
所以＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
[变式探究]
1.(变设问)本例的条件不变，试用a，b，c表示向量.
解：因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c.
2.(变条件)本例的条件中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
解：＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.
利用数乘运算进行向量表示的技巧
1.数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
2.明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
对点练3.如图，已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值.
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
解：(1)由题图可知，＝－＝－＋)＝－－，
则x＝y＝－.
(2)因为＋＝2，所以＝2－.
因为＋＝2，
所以＝2－，
所以＝2－(2－)＝2－2＋，
所以x＝2，y＝－2.
任务四　向量(三点)共线问题
如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心，连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点，N在AE上，且＝λ，且B，G，N三点共线.试求λ的值.
解：设＝a，＝b，＝c，
所以＝＋＝＋×＋)
＝＋－＋－)＝(a＋b＋c).
所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝－a＋λb＋λc.
因为B，G，N三点共线，故存在实数k，使＝k，
即－a＋b＋c＝k，
故解得k＝，λ＝.
1.向量共线的判定方法
判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝λa(a≠0)成立.
2.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数λ，使＝λ成立；
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，有＝x＋y，其中x＋y＝1.
对点练4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线.
解：由已知可得，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＝－.
所以＝－，故共线.
任务五　向量共面问题
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面.
证明：因为＝k＝kb＋kc，
＝＋＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb，
所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.
由共面向量定理可知，，a，c共面.
证明空间三向量共面的方法
向量表示法：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若c＝xa＋yb，则向量c，a，b共面.
对点练5.已知向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由.
解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y＝a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c.
因为向量a，b，c不共面，故故r＝3p－5q，
由空间向量共面定理得向量p，q，r共面.
任务 再现 1.空间向量的有关概念.2.空间向量的加减法.3.空间向量的数乘运算.4.向量(三点)共线问题.5.向量共面问题
方法 提炼 类比法、转化与化归思想、数形结合思想
易错 警示 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数；利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点
1.下列关于空间向量的命题中，正确的命题是(　　)
A.任一向量与它的相反向量都不相等
B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C.平行且模相等的两个向量是相等向量
D.若a≠b，则｜a｜≠｜b｜
答案：B
解析：对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错误；对于B，根据相等向量的定义知，故B正确；对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错误；对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错误.故选B.
2.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是(　　)
A.＋ B.＋
C.＋－ D.＋－
答案：B
解析：＋＝，故A错误；＋＝，故B正确；＋－＝＋，故C错误；＋－＝＋＝，故D错误.故选B.
3.下列条件，能说明空间中不重合的三点A，B，C共线的是(　　)
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D.｜｜＝｜｜
答案：C
解析：对于空间中的任意向量，都有＋＝，故A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，故B错误；＝，则A，B，C三点共线，故C正确；若｜｜＝｜｜，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，故D错误.故选C.
4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝　　　　a.
答案：
解析：由于｜a｜＝3，｜b｜＝5，则｜b｜＝｜a｜，又两向量同向，故b＝a.
课时分层评价22　从平面向量到空间向量空间向量的运算 (空间向量及其线性运算)
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)
A.(b＋c－a) B.(a＋b＋c)
C.(a－b＋c) D.(c－a－b)
答案：D
解析：因为点M为AB的中点，所以＝＋)＝a＋b，因为点N为OC的中点，所以＝＝c，所以＝－＝c－a－b＝(c－a－b).故选D.
2.点O为空间中任意一点，对于点A，B，C，若＝m＋n(m，n∈R)，m＋n＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.A，B，C三点一定在同一条直线上
B.A，B，C三点一定不在同一条直线上
C.A，B，C三点可能在同一条直线上，也可能不在同一条直线上
D.一定与的方向相反
答案：A
解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n，又＝m＋n(m，n∈R)，所以＝(1－n)＋n＝＋n(－)，所以＝－＝n(－)＝n，所以共线，又过同一点B，所以A，B，C三点一定在同一条直线上，A正确，B，C错误，的方向不一定相反，D错误.故选A.
3.已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案：A
解析：因为＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以∥，由于有一个公共点B，所以A，B，D三点共线.故选A.
4.(多选题)在以下命题中，不正确的命题是(　　)
A.已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件
C.若与共线，则AB与CD所在直线平行
D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案：BCD
解析：＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，故A正确；若a，b同向共线，则｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜，故B不正确；由向量共线的概念知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.故选BCD.
5.已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A.空间四边形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.矩形
答案：B
解析：由已知可得＝，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，无法判断其是不是矩形.故选B.
6.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　)
A. B.1
C.4 D.2
答案：C
解析：若A，B，C三点共线，则可设＝x，即(a－1)e1＋e2＝x(be1－2e2)，因为e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以解得x＝－，a－1＝－b，即a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以＋＝＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝，即b＝2a，即a＝，b＝1时取等号，故＋的最小值为4.故选C.
7.(新情境)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A. B.
C.1 D.
答案：D
解析：连接AM，AN，如图所示，由于G是MN的中点，所以＝＝＋＋＋)＝＋＋.根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选D.
8.在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简＋－－的结果为　　　　　　　.
答案：0
解析：如图所示，延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝－＝0.
9.设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为　　　　.
答案：－8
解析：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以＝λ，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以所以k＝－8.
10.(13分)如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.
求证：＝＋＋).
证明：连接BG，延长后交CD于点E，如图所示，
由G为△BCD的重心，得＝2，且CE＝ED，
所以－＝2(－)，
所以＝＋，因为＝＋)，
所以＝＋＋)＝＋＋).
(11—13，每小题5分，共15分)
11.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a＝b成立的充分条件是(　　)
A.｜a｜＝｜b｜ B.a＝－b
C.a∥b D.a＝b
答案：D
解析：由a＝b，得b＝2a，所以b＝(2a)＝(2a)＝a.故选D.
12.(新情境)光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，其上边边长与底边边长之比约为，则＋＋＝　　　　.
答案：
解析：如图所示，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M，N，P三点的平面α交棱BC于Q，设＝λ，则λ＝　　　　　.
答案：
解析：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝a－c，＝＋＋＝－c＋a－b＋c＝a－b，＝＋＝λb－c，由题意可知，，，共面，设＝m＋n，即λb－c＝m＋n(a－b)＝a－nb－mc，所以m＋n＝0，λ＝－n，－m＝－，解得m＝1，n＝－，λ＝.
14.(15分)如图，四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
解：因为M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.
所以2＝＋2＋.
又＝＋＋＋，且＝，
所以＝＋2＋＝2，即＝2.
即共线.
15.(5分)已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，＝－＋＋，则三棱锥A-MBC的体积是　　　　.
答案：9
解析：因为＝－＋＋，则15＝－＋3＋4，即15＝－－＋3＋3＋4＋4，即9＝－＋3＋4，所以＝－＋＋，因为－＋＋＝1，则在平面ABC内存在一点D，如图所示，使得＝－＋＋成立，即＝，所以＝，即＝，则＝，又三棱锥P-ABC的体积为15，则VA-MBC＝VP-ABC＝×15＝9.
16.(17分)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值.
解：(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面.
(2)因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
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