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§2　离散型随机变量及其分布列
　
第六章　概率
学习目标
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
3.通过具体实例，了解伯努利试验，理解两点分布.
4.通过对随机变量、离散型随机变量及分布列的有关概念的 学习，培养数学抽象、数学建模的核心素养.
5.借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算的核心
素养.
任务一　随机变量
问题导思
问题1.下述现象有哪些共同特点？
(1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…10中的某一个数；
(2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数；
(3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数.
提示：上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.
新知构建
随机变量
定义 在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个____________表示.在这个对应关系下，______随着__________的变化而变化.像这种取值随着__________的变化而变化的量称为随机变量
表示 随机变量常用字母______________等来表示
确定的数值
数值
试验结果
试验结果
X，Y，ξ，η
任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
提示：可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字.
微思考
(链教材P196例1、P197例2)(1)(多选题)下列变量是随机变量的是
A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数
B.一台机器在一段时间内出现故障的次数
C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D.方程x2－2x－3＝0的实根个数
典例
1
√
√
√
选项A，B，C都符合随机变量的定义，故A，B，C都正确；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.故选ABC.
前3次未击中目标，第4次击中目标
由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标.
规律方法
1.随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值.
2.在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值可能表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验
结果.
√
对点练1.(1)袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球
D.至少取到一个红球的概率
选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误.故选B.
(2)抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则{X＝6}表示的随机试验的结果是　　　　 　　　　　　　　 .
一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点
两颗骰子点数之积为6的结果有：一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点.
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任务二　离散型随机变量
问题导思
问题2.观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？
(1)从10张已编号的卡片(1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X；
(2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ；
(3)某一自动装置无故障运转的时间T；
(4)电灯泡的寿命X.
提示：(1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，(3)(4)随机变量取值不可以列举出来.
新知构建
离散型随机变量：取值能够________________的随机变量称为离散型随机变量.
一一列举出来
离散型随机变量的取值一定是有限个吗？
提示：不一定.可以是无限个，如1，2，3，…，n，….
微思考
下列叙述中，是离散型随机变量的是
A.某电子元件的寿命
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
D.测量某零件的长度产生的测量误差
典例
2
√
对于A，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，故A错误；对于B，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，故B错误；对于C，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，故C正确；对于D，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误.故选C.
规律方法
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的方法
1.明确随机试验的所有可能结果.
2.将随机试验的试验结果数量化.
3.确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
√
对点练2.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是
A.某机场一年中每天运送乘客的数量
B.某单位办公室一天中接到电话的次数
C.明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数
D.一瓶果汁的容量为500±2 mL
对于A，某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量； 对于B，某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量；对于C，明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量；对于D，由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不可以一一列举，因此不是离散型随机变量.故选D.
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任务三　离散型随机变量的分布列
问题导思
问题3.在掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示：X的取值有1，2，3，4，5，6，X取每个值的概率如下表：
X 1 2 3 4 5 6
P
新知构建
1.离散型随机变量X的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，①式也可以列成如下表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列.
(2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，
①pi＞0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
2.伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个__________的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为___，每次“失败”的概率均为______，则称这样的试验为伯努利试验.
相互对立
p
1－p
3.两点分布
如果随机变量X的分布列如表：
X 1 0
P p q
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布).
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用.
在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1？
提示：因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1.
微思考
典例
3
X 3 4 5 6
P
X 1 2 3 4
P
规律方法
求离散型随机变量分布列的一般步骤
第一步：确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；
第二步：利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)；
第三步：写出分布列；
第四步：根据分布列的性质对结果进行检验.
X 1 2 3 4 5
P
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任务四　分布列的性质及应用
(1)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数q的值是
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
典例
4
X 0 1 2
P 0.36 1－2q q2
√
由已知得0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8(舍去).故选B.

规律方法
分布列的性质及其应用
1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
2.求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
√
(2)某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
则P(ξ≤8)＝　　　.
0.5
由题意可得0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21＝1，解得m＝0.29，P(ξ≤8)＝1－P(ξ＞8)＝1－0.29－0.21＝0.5.
课堂小结
任务再现 1.随机变量的概念、特征.2.离散型随机变量的概念.3.离散型随机变量的分布列的概念及性质.4.两点分布
方法提炼 转化与化归思想
易错警示 1.随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.2.忽视分布列的性质
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随堂评价
√
ξ －1 0 1
P a b c
√
2.(多选题)以下四个随机变量，其中属于离散型随机变量的是
A.某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数X是一个随机变量
B.如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X是一个随机变量
C.一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置X是一个随机变量
D.某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量
√
随机变量中能够一一列举的变量是离散型随机变量，A，D中的随机变量能一一列举，B，C中的随机变量不能一一列举.故选AD.
取到1件次品和2件正品或取到3件正品
X＜2表示次品的件数为1，0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品.

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课时分层评价
√
1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是
A.出现正面向上的次数 B.掷硬币的次数
C.出现正面向上的概率 D.出现反面向上的概率
√
2.某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球.每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为
A.X＝4 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放回5个球，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.故选C.
√
X －1 0 1 2
P a b

X －1 0 1 2
P a b
√
由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
√
X －1 0 1 2
P m

X －1 0 1 2
P m
√
√
由已知得3＝0＋0＋3＝1＋1＋1，故{ξ＝3}表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选BC.
7.已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a
＝　　.
8.编号为1，2，3的3位学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则ξ的可能取值为　　　　.
0，1，3
因为编号为1，2，3的3位学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，所以有123，132，213，231，312，321，共6种结果，其中123表示3人都与自己的座位编号相同；231，312表示3人都不与自己的座位编号相同；而132，213，321表示恰有1人与自己的座位编号相同，所以ξ的可能取值为0，1，3.
9.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X＋1，
则P(Y≥5)＝　　　.
X 0 1 2 3
P a 5a
X 1 2 3
P
√
X 0 1 3
P a b

X 0 1 3
P a b
√
√

13.一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有　　种.
24
X －10 0 10 20 30 40
P
√

返回§2　离散型随机变量及其分布列
学习目标 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.　2.理解离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　3.通过具体实例，了解伯努利试验，理解两点分布.　4.通过对随机变量、离散型随机变量及分布列的有关概念的学习，培养数学抽象、数学建模的核心素养.　5.借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算的核心素养.
任务一　随机变量
问题1.下述现象有哪些共同特点？
(1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…10中的某一个数；
(2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数；
(3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数.
提示：上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.
随机变量
定义 在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量
表示 随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示
[微思考]　任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
提示：可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字.
(链教材P196例1、P197例2)(1)(多选题)下列变量是随机变量的是(　　)
A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数
B.一台机器在一段时间内出现故障的次数
C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D.方程x2－2x－3＝0的实根个数
(2)连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则表示的试验结果是　　　　　　　　　　　　.
答案：(1)ABC　(2)前3次未击中目标，第4次击中目标
解析：(1)选项A，B，C都符合随机变量的定义，故A，B，C都正确；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.故选ABC.
(2)由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标.
1.随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值.
2.在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值可能表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果.
对点练1.(1)袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球
D.至少取到一个红球的概率
(2)抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则{X＝6}表示的随机试验的结果是　　　　　　　　　　　　　　.
答案：(1)B　(2)一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点
解析：(1)选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误.故选B.
(2)两颗骰子点数之积为6的结果有：一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点.
任务二　离散型随机变量
问题2.观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？
(1)从10张已编号的卡片(1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X；
(2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ；
(3)某一自动装置无故障运转的时间T；
(4)电灯泡的寿命X.
提示：(1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，(3)(4)随机变量取值不可以列举出来.
离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
[微思考]　离散型随机变量的取值一定是有限个吗？
提示：不一定.可以是无限个，如1，2，3，…，n，….
下列叙述中，是离散型随机变量的是(　　)
A.某电子元件的寿命
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
D.测量某零件的长度产生的测量误差
答案：C
解析：对于A，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，故A错误；对于B，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，故B错误；对于C，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，故C正确；对于D，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误.故选C.
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的方法
1.明确随机试验的所有可能结果.
2.将随机试验的试验结果数量化.
3.确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
对点练2.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　)
A.某机场一年中每天运送乘客的数量
B.某单位办公室一天中接到电话的次数
C.明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数
D.一瓶果汁的容量为500±2 mL
答案：D
解析：对于A，某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量； 对于B，某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量；对于C，明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量；对于D，由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不可以一一列举，因此不是离散型随机变量.故选D.
任务三　离散型随机变量的分布列
问题3.在掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示：X的取值有1，2，3，4，5，6，X取每个值的概率如下表：
X 1 2 3 4 5 6
P
1.离散型随机变量X的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，①式也可以列成如下表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列.
如果随机变量X的分布列为上述表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，并记作
X～.
(2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，
①pi＞0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
2.伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验.
3.两点分布
如果随机变量X的分布列如表：
X 1 0
P p q
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布).
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用.
[微思考]　在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1？
提示：因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1.
(链教材P200例5)袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码.
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率.
解：(1)依题意知随机变量X的可能取值为3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.
[变式探究]
(变条件)如果把本例中的条件“以X表示取出球的最大号码”改为“以X表示取出球的最小号码”，求X的分布列.
解：随机变量X的可能取值为1，2，3，4.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5，6的5个球中取，故有P(X＝1)＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5，6的4个球中取，故有P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能在编号为4，5，6的3个球中取，故有P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，即取出的3个球中最小号码为4，则其他2个球只能在编号为5，6的2个球中取，故有P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
求离散型随机变量分布列的一般步骤
第一步：确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义；
第二步：利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)；
第三步：写出分布列；
第四步：根据分布列的性质对结果进行检验.
对点练3.某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为X，试求：
(1)X的分布列；
(2)他至多试开3次的概率.
解：(1)X的可能取值为1，2，3，4，5.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P＝＝.
因此X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
(2)P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.
任务四　分布列的性质及应用
(1)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数q的值是(　　)
X 0 1 2
P 0.36 1－2q q2
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
(2)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝　　　　.
答案：(1)B　(2)
解析：(1)由已知得0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8(舍去).故选B.
(2)因为随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝m(＋＋＋＋)＝1，解得m＝，所以P(＜X＜)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＝.
分布列的性质及其应用
1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
2.求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
对点练4.(1)设随机变量ξ等可能取值为1，2，3，…，n(n∈N＋)，如果P(ξ＜5)＝，那么(　　)
A.n＝6 B.n＝12
C.n＝15 D.n＝18
(2)某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
则P(ξ≤8)＝　　　　.
答案：(1)B　(2)0.5
解析：(1)依题意可得P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，n)(n∈N＋)，所以P(ξ＜5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＝，解得n＝12.故选B.
(2)由题意可得0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21＝1，解得m＝0.29，P(ξ≤8)＝1－P(ξ＞8)＝1－0.29－0.21＝0.5.
任务再现 1.随机变量的概念、特征.2.离散型随机变量的概念.3.离散型随机变量的分布列的概念及性质.4.两点分布
方法提炼 转化与化归思想
易错警示 1.随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.2.忽视分布列的性质
1.随机变量ξ的分布列如表所示，其中2b＝a＋c，则b等于(　　)
ξ －1 0 1
P a b c
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意知，得3b＝1，即b＝.故选A.
2.(多选题)以下四个随机变量，其中属于离散型随机变量的是(　　)
A.某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数X是一个随机变量
B.如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X是一个随机变量
C.一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置X是一个随机变量
D.某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量
答案：AD
解析：随机变量中能够一一列举的变量是离散型随机变量，A，D中的随机变量能一一列举，B，C中的随机变量不能一一列举.故选AD.
3.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则表示的试验结果是　　　　　　　　　　　　.
答案：取到1件次品和2件正品或取到3件正品
解析：X＜2表示次品的件数为1，0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品.
4.已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4，5)，则P(2≤X＜5)＝　　　　.
答案：
解析：根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，由分布列的性质，则有＝1，解得a＝15，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝.
课时分层评价41　离散型随机变量及其分布列
(时间：60分钟　满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是(　　)
A.出现正面向上的次数 B.掷硬币的次数
C.出现正面向上的概率 D.出现反面向上的概率
答案：A
解析：对于A，正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故A正确；对于B，掷硬币的次数固定，为1次，不是随机变量，故B错误；对于C，D，出现正面向上和反面向上的概率均为，不是变量，故C，D错误.故选A.
2.某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球.每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)
A.X＝4 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
答案：C
解析：第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放回5个球，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.故选C.
3.已知随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1 2
P a b
若P＝，则(　　)
A.a＝ B.a＝
C.b＝ D.b＝
答案：D
解析：依题意，得所以a＝，b＝.故选D.
4.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是(　　)
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
答案：A
解析：由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
5.设随机变量X的分布列如表所示：
X －1 0 1 2
P m
则P(｜X－1｜≤1)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由分布列的性质可得＋m＋＋＝1，则m＝，P(｜X－1｜≤1)＝P(0≤X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝.故选C.
6.(多选题)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为(　　)
A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局
答案：BC
解析：由已知得3＝0＋0＋3＝1＋1＋1，故{ξ＝3}表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选BC.
7.已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a＝　　　　.
答案：
解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a2＋a＝1 a＝或a＝－1，由于a＞0，所以a＝.
8.编号为1，2，3的3位学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则ξ的可能取值为　　　　.
答案：0，1，3
解析：因为编号为1，2，3的3位学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，所以有123，132，213，231，312，321，共6种结果，其中123表示3人都与自己的座位编号相同；231，312表示3人都不与自己的座位编号相同；而132，213，321表示恰有1人与自己的座位编号相同，所以ξ的可能取值为0，1，3.
9.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X＋1，则P(Y≥5)＝　　　　.
X 0 1 2 3
P a 5a
答案：
解析：由题意a＋＋5a＋＝1，解得a＝，而P(Y≥5)＝P(2X＋1≥5)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10.(15分)盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池.若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列.
解：由题意知，X的可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X 1 2 3
P
(11—13，每小题5分，共15分)
11.若随机变量X的分布列如表，则a2＋b2的最小值为(　　)
X 0 1 3
P a b
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由随机变量X的分布列知：
所以a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，所以a2＋b2的最小值为.故选B.
12.(多选题)一个不透明的袋子中装有6个球，其中有n个白球(n∈N＋)，其他均为黑球，这些球除颜色外，大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则(　　)
A.n＝3 B.P(X＝1)＞P(X＝2)
C.P(X＝3)＝ D.P(X＝0)＝
答案：AC
解析：由题可知，＝，解得n＝3，故A正确；X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故B，D错误；C正确.故选AC.
13.一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有　　　　种.
答案：24
解析：因为后四位数字两两不同，且都大于5，所以只能是6，7，8，9四个数字，因为随机拨最后三位数字两两不同，所以有＝24种.
14.(15分)某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分.已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分X的分布列.
解：(1)设至少回答正确一个问题为事件A，则P(A)＝1－××＝.
(2)这位同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为－10，0，10，20，30，40，
所以P(X＝－10)＝××＝，P(X＝0)＝×××2＝，
P(X＝10)＝××＝，P(X＝20)＝××＝，
P(X＝30)＝×××2＝，P(X＝40)＝××＝，
所以X的分布列为
X －10 0 10 20 30 40
P
(15、16，每小题5分，共10分)
15.在2001年美国安然公司(在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一)宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假.但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律严重偏离.本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据(为正实数)中，首位非零的数字是1～9这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量ξ是一个没有人为编造的首位非零数字，则P＝lg(k＝1，2，…，9)，则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A.0.046 B.0.051
C.0.058 D.0.067
答案：B
解析：由题意可得，P(ξ＝8)＝lg＝lg 9－lg 8＝2lg 3－3lg 2≈2×0.477－3×0.301＝0.051.故选B.
16.已知病毒A在某溶液中的存活个数的概率满足P＝e－3，已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为　　　　.
答案：1－
解析：根据题意，病毒A在某溶液中的存活个数(k)的概率满足P＝e－3，则P(X＝0)＝e－3＝，若该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－.
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