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24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.1 圆
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
图片引入
视频：生活中的圆
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骑车运动
看了此画,你有何想法
思考：车轮为什么做成圆形？做成三角形、正方形可以吗？
车轮为圆形的原理分析（请依次点击按钮观看动画）：
情景： 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的定义
合作探究
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
应在目标周围围成一个圆圈排队，
因为圆上各点到圆心的距离都相等.
为什么？
视频：画圆实际操作演示
点击视频开始播放
r
O
问题1 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
有关概念
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，一般用 r 表示．
A
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.
满足什么条件的？
有间隙吗？
圆也可以看成是由多个点组成的
平面内到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？
(1) 圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于 ．
(2) 到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
O
A
C
E
r
r
r
r
r
D
定长 r
同一个圆上
圆的集合定义
问题2：从画圆的过程可以看出什么呢？
·
双击后点击按钮播放→
典例精析
例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = OC，OB = OD.
又∵ AC = BD，
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上.
弦：
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC)叫做弦.
经过圆心的弦(如图中的 AB)叫做直径.
1. 弦和直径都是线段；
2. 直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定
是直径.
注意
圆的有关概念
O
A
B
O
A
B
探索：圆中最长的弦是什么？为什么？
O
A
B
C
C
D
C
D
O
A
B
C
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
【发现】直径是最长的弦
知识要点
1. 根据圆的定义，“圆” 指的是 “圆周”，而不是 “圆面”；
2. 直径是圆中最长的弦.
附图解释：
·
C
O
A
B
连接 OC.
在△AOC 中，根据三角形三边关系有 AO + OC＞AC，
而 AB = 2OA，AO = OC，所以 AB＞AC.
封闭曲线
↗
弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
半圆
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的 ；
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的 .
·
C
O
A
B
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
AB
(
例2 如图.
(1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧；
(2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径；
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 .
等圆：
能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：
等圆是两个半径相等的圆.
等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
·
C
O
A
·
C
O1
A
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
可见这两条弧不可能完全重合
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
如图，如果 AB 和 CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵
D
C
A
B
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
例3 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 40°，以 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，连接 CD，求∠ACD 的度数.
∴∠ACD = 90° - 80° = 10°.
解：∵∠ACB = 90°，∠A = 40°，
∴∠B = 50°.
∵CD = CB，
∴∠BCD = 180° - 2×50° = 80°.
注意
在圆中常利用半径相等得等腰三角形求角度.
变式 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB，CD 的延长线交于点 E. 已知 AB = 2DE，∠E = 20°，求∠AOC 的度数．
解：如图，连接 OD.
∵ AB 是⊙O 的直径，OC，OD 是半径，
AB = 2DE，∴OD = DE.
∴∠DOE =∠E = 20°.
∴∠ODC =∠DOE＋∠E = 40°.
∵ OC = OD，∴∠C =∠ODC = 40°.
∴∠AOC = ∠C＋∠E = 40°＋20° = 60°.
1. 填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，劣弧
有 条．
直径
半径
1
2
4
4
A
B
C
D
O
F
E
2. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，且点 C、D 在 AB 的异侧，连接 AD、OD、OC．若∠AOC = 70°，且 AD∥OC，求∠AOD 的度数.
解：∵AD∥OC，
∴∠DAO =∠AOC = 70°.
又∵OD = OA，
∴∠ADO =∠DAO = 70°.
∴∠AOD = 180－70°－70° = 40°.
4. 如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在半圆上，顶点 B、C 在直径 MN 上.
（1）求证：OB = OC；
证明：如图，连接 OA，OD，
则 OA = OD.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = CD，∠ABO =∠DCO = 90°.
∴ Rt△ABO≌Rt△DCO（HL）.
∴ OB = OC.
A
B
O
C
D
M
N
10
？
2x
在 Rt△ABO 中，AB2 + BO2 = AO2，
即 (2x)2 + x2 = 102.
A
B
O
C
D
M
N
(2) 设⊙O 的半径为 10，则正方形 ABCD 的边长为 .
x
解析：设 OB = x，
则 AD = BC = OB + OC = 2x.
解得 x = (舍去负值)
∴ 正方形 ABCD 的边长为 2x =
x
x
x
x
【变式题】如图，在扇形 MON 中，∠MON = 45°，半径
MO = NO = 10，正方形 ABCD 的顶点 B、C、D 在半径
上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长.
解：连接 OA，如图.
又∵∠DOC = 45°，∴CD = OC.
设 OC = x，则 AB = BC = DC = OC = x.
∵OA = OM = 10，∴ (2x)2 + x2 = 102.
在 Rt△ABO 中，
在正方形 ABCD 中，AB = BC = CD，
∠ABC =∠DCB = 90°.
解得
45°
圆
定义
旋转定义
要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦(直径)
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
半圆
劣弧
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧

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