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4.1 三角函数的定义及同角三角函数（精讲）
考向一 三角函数的定义
【例1-1】（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．cosɑ= B．
C．Sinɑ=- D．
【例1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【例1-3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·贵州安顺·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ．
4．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为 ．
考向二 三角函数式的符号
【例2-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2024·吉林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2-3】（2025广东广州·）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知为第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025北京）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考向三 弦的齐次
【例3-1】（2025·河北张家口·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025湖北）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·贵州黔南·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025北京）已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．-3 B． C． D．
3．（2025·西安·）已知，则的值是__________．
考向四 sinɑ±cosɑ与 sinɑ·cosɑ的关系
【例4-1】（2025山东 ）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·湖南长沙·二模）（多选）已知，，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·吉林 ）（多选）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2025安徽）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考向五 扇形的弧长与面积
【例5-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点走过的总路程为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·江西·模拟预测）如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
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4.1 三角函数的定义及同角三角函数（精讲）
考向一 三角函数的定义
【例1-1】（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．cosɑ= B．
C．Sinɑ=- D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，可得，
由三角函数的定义，可得，
故A，B，C错误，D正确.
故选：D.
【例1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，所以，
所以，解得：.
故选：D
【例1-3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点，
所以圆半径，所以，
因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，所以，
所以.
故选：B
【一隅三反】
1．（2025·贵州安顺·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的终边经过点，则，
所以.故选：B.
2．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，所以
故选：D
3．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ．
【答案】
【解析】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以，所以，
所以．故答案为：.
4．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为 ．
【答案】
【解析】由题可设，
则，
则由题，
所以，即，
解得，
又，所以.故答案为：.
考向二 三角函数式的符号
【例2-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意；
对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意；
对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意；
对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意.
故选：B.
【例2-2】（2024·吉林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点，
又因为，所以，，
所以点位于第一象限.
故选：A.
【例2-3】（2025广东广州·）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
故点在第三象限，故，，AB错误；
，
因为在上单调递减，所以，故，，
所以，C错误，D正确.故选：D
【一隅三反】
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：由可知，
又由可得可知，
综上，，即为第三象限角．
必要性：若为第三象限角，则，所以，即且；
所以“且”是“为第三象限角”的充要条件．
故选：A．
2．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知为第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为为第二象限角，所以，，，
则，，，
而的取值不确定.故选：C.
3．（2025北京）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】因为角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因为，即，所以角是第一象限角，
故选：A．
考向三 弦的齐次
【例3-1】（2025·河北张家口·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，则.
故选：D.
【例3-2】（2025湖北）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D
【例3-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
因为为第四象限角，所以，
所以.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·贵州黔南·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，解得.故选：B
2．（2025北京）已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线的倾斜角为，所以.
所以.故选：B.
3．（2025·西安·）已知，则的值是__________．
【答案】5
【解析】因为，
，故答案为：5.
考向四 sinɑ±cosɑ与 sinɑ·cosɑ的关系
【例4-1】（2025山东 ）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由得，
，又，，所以，所以，A正确；
，D正确；
结合可得，，B正确；
，C不正确．故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2025·湖南长沙·二模）（多选）已知，，则下列各式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】A项：由已知：，因此，故A项正确；
B项：因为，且，所以，因此．又因为，因此，故B项错误；
C项：，故C项错误；
D项：由方程组，解得于是，故D项正确．
故选：AD.
2．（2025·吉林 ）（多选）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由得，，则，
因为，，
所以，所以，
由，解得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
，即，
解得或（舍去），故C正确；
对于D，，故D错误，
故选：BC．
3.（2025安徽）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，∵，∴，
两边平方可得，∴，∴，∴．
，∴，∴
考向五 扇形的弧长与面积
【例5-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为该扇形的圆心角为，面积为25，根据，可得，
所以.故选：
【例5-2】（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点走过的总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设经过秒，第二次相遇.
点对应的圆心角为，则有，
则.
则由，解可得，
所以第二次相遇时，走过的总路程为．
故选：C
【一隅三反】
1．（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为.
故选：D.

2．（2024·江西·模拟预测）如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设是外圆的圆心，是相邻的两个四等分点，
由题意可知，又，
所以弓形的面积为，
所以图案的面积为.
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以，
则，
所以阴影部分的面积为.
故选：B.
4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为，因此大轮每秒钟转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是.
故选：D
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