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4.3 三角函数的性质（精讲）
考向一 周期
【例1-1】（2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为
【答案】
【解析】
，，
【例1-2】（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ．
【答案】/
【解析】因为，
如下图所示：
结合图形可知，函数的最小正周期为.
故答案为：.
【例1-3】（24-2 云南 ）（多选）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：的最小正周期为，当，，
由在单调递增，所以在区间上单调递减，A正确；
对于B：的最小正周期为，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，B正确；
对于C：，当，，
由在不具有单调性，所以在区间上不具有单调性，C错误；
对于D：的最小正周期为，当，有在区间上单调递减，D正确，
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2025·河南·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的图象是由的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的图象组成的，所以的最小正周期是的最小正周期的一半，
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为．故选：C
2．（2025·陕西渭南·二模）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，其中满足，.
所以函数的最小正周期为.
故选：C.
3．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】对于③，因为偶函数，其图象关于轴对称，
又是周期为的奇函数，故不是周期函数；
对于④，是周期为的函数；
对于①，易知是周期为的函数；
对于②，由可知是周期为的函数.
故所有周期函数的序号是①②④.
故选：C.
4．（2025·贵州毕节·二模）已知函数，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因，
则的一个对称中心为，一条对称轴为，
又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的为，
则最小正周期为，则.
故选：B
考向二 单调性
【例2-1】（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：A.
【例2-2】（2025·重庆·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，因为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的最小正周期为，
当时，，则函数在上单调递增，A不满足条件；
对于B选项，函数的最小正周期为，
且当时，，所以函数在上不单调，B不满足条件；
对于C选项，函数的最小正周期为，
当时，，则函数在上不单调，C不满足条件；
对于D选项，因为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的最小正周期为，
且当时，，故函数在上单调递减，D满足条件.
故选：D.
【例2-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题，
因为在区间内单调递增，所以在区间内单调递减，
所以，，解得，，
，所以只有当时，不等式有解，解集为，所以的最大值为.故选:A.
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，易知的最小正周期为，但在区间上单调递减，即A错误；
对于B，易知的最小正周期为，所以B错误；
对于C，的最小正周期为，且在区间上单调递增，即C正确；
对于D，显然的最小正周期为，即D错误.
故选：C
2．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【答案】B
【解析】因为.
对于A选项，当时，.
因为在上单调递增，而,故函数在上单调递增，故A错；
对于B选项，当时，.
因为在上单调递减，而,故函数在上单调递减，故B对；
对于C选项，当时，.
因为在上单调递增，在上单调递减，故函数在上先增后减，故C错；对于D选项，当时，.
因为在上单调递减，在上单调递增，故函数在上先减后增，故D错.
故选：B.
3 ．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，则，
因，则，则，，
因在上单调递增，结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.故选：B

考向三 奇偶性
【例3-1】（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
将该函数的图象向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，
则，且有，则，
因为，故当时，取最小值.
故选：C.
【例3-2】（2025·山东聊城·模拟预测）若是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以方程的根互为相反数，
所以，此时定义域为，
设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以，
所以，所以函数为奇函数，又是偶函数，
所以恒成立，
所以是奇函数，于是
此时，于是或，
故选：D．
【一隅三反】
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】，其中，，
为偶函数，故，解得，
则.故选：B
2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
设，则且为偶函数，
所以为偶函数，
所以，，且，
即，化简可得，
解得，经检验，符合题意.
故选：C.
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，故函数为偶函数，即充分性成立；
当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立；
所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，由为奇函数，
得是奇函数，
则必有函数是偶函数，函数是奇函数，
此时，
因此，当时，，
不存在整数，使得值为BCD，
当时，是奇函数.
故选：A
考向四 伸缩平移
【例4-1】（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把函数（）的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数是（），且它是偶函数，
所以（），，（），
又因为，所以.
故选：B．
【例4-2】（2025·山西太原·一模）将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位后，所得的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数向左平移个单位，再向上平移1个单位后，得到的新函数为
当时，,
化简得,
即,
则,其中，解得,，
又因为,
所以，所以
故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．.
【答案】B
【解析】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为.
故选：B.
2．（2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
将函数的图象向右平移个单位得
，
由该函数为奇函数可知，
即，所以的最小正值为.
故选：A
3．（2025·湖南·模拟预测）函数的图象可以由（ ）
A．的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
B．的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到
C．的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到
D．的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到
【答案】C
【解析】对于A：将的图象向右平移个单位长度得到，
再将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故A错误；
对于B：将的图象向左平移个单位长度得到，
再将各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，故B错误；
对于C：的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，
再将向右平移个单位长度得到，故C正确；
对于D：的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将向左平移个单位长度得到，故D错误.
故选：C
4 ．（24-25 辽宁大连·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【解析】观察函数图象，函数的最小正周期，解得，
由，得，又，则，
，将的图象向左平移个单位长度，
得的图象，因此，
所以.
故选：C
5．（2025·辽宁·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的图象向右平移个单位后得到函数,
所以函数，因此，
解得，令可得，
其他选项中的值不存在整数k能使得成立.故选：D
考向五 最值
【例5-1】（2025·贵州·二模）函数的最大值为（ ）
A．4 B．7 C． D．15
【答案】B
【解析】函数中，，所以当时，.
故选：B
【例5-2】（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，
根据倍角公式可得，
令，因为，则，可得，
故选：A.
【例5-3】（2025·云南）若函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由已知，，
由函数在区间上单调递增，知，所以的最大值为1.故选：A.
【例5-4】（2025·宁夏吴忠·一模）函数的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
，
当时，有最小值.
故选：B
【例5-5】（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
令，，此时函数变为.
对于二次函数，其对称轴为.
当时，.
当时，.
所以在上的值域是.
故选：A.
【例5-6】（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知函数的最小正周期为．
当时，，
又，所以，
当时，，
又，所以，
所以函数的最小值为．
故选：B
【例5-7】（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故选：D
【一隅三反】
1．（23-24 上海奉贤·期中）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】，设，
则，
故答案为：．
2．（24-25湖北）设当时，函数取得最大值，则 .
【答案】
【解析】因为，
令，，
则，
当，，即，时，取最大值，
此时，，所以.
故答案为：.
3．（2025·湖南·三模）若函数是奇函数，则函数在上的最大值是 .
【答案】
【解析】根据辅助角公式,对于，得到.
因为是奇函数，所以，即，那么.
当为偶数时，；当为奇数时，，所以.
则，对于任意，有，所以是偶函数.
根据正弦函数图象性质，在上，的值从增大到，取绝对值后函数值从减小到，所以在上单调递减；
在上，的值从增大到，所以在上单调递增.
分别计算区间端点处的函数值：
；
.
比较与大小，因为，所以在上的最大值是.
故答案为：.
4．（24-25 山东烟台·期中）若函数在上的最小值为，则t的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
因为，
要使得上的最小值为，则满足，
解得，所以，所以的最大值为.
故选：D.
5．（24-25高三下·广东茂名·阶段练习）已知函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，
令，整理得，
则，即，当且仅当时取等号，
则，所以所求最大值为.
故选：B
6．（2025·河南·二模）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则且，
所以在上没有最小值，
若，可得，
若且，可得，，
所以，
综上，.
故选：D
考向六 函数性质的综合应用
【例6-1】（2025·河南郑州·三模）（多选）函数，则下列关于的说法中正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是2
C．是区间上的增函数 D．图象关于点中心对称
【答案】AC
【解析】，
所以的最小正周期，A正确；
最大值是，B错误；
当时，，是的单调递增区间，C正确；
因为，，
，所以图象不关于中心对称，D错误.
故选：AC.
【例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】由函数的图象可知解得
设函数的最小正周期为，由函数的图象可知，，
所以，所以.
由，得，又，所以，
所以.故选项A正确，选项B错误.
令，解得，当时，，
所以函数的图象关于点对称.故C正确.
令 ，得，
所以的单调递增区间为.
因为，所以函数在区间上不单调.故选项D错误.
故选：AC.
【例6-3】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域为R，
，因此为偶函数，A正确；
对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，
因此的值域为，B正确；
对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，
且，因此存在，使得，C错误；
对于D，函数在上单调递增，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.
故选：ABD
【例6-4】（2025·广东佛山·二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．最大值为1
【答案】BD
【解析】由，显然不是的周期，A错；
由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对；
由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错；
由，
令，则，且，
若，则，又在、上都单调递减，
在上，，在上，，
所以的最大值为1，D对.
故选：BD
【一隅三反】
1．（2025·河南安阳·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的值域是 B．
C．在区间上单调递增 D．是奇函数
【答案】ABD
【解析】对于A，因为的值域为，所以的值域为，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上不单调，故C错误；
对于D，，为奇函数，故D正确.
故选：ABD.
2．（2025·河南·二模）（多选）已知如图是函数，（，）的部分图象，则（ ）
A．的图象关于中心对称
B．在单调递增
C．在点处的切线方程为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
【答案】BCD
【解析】由图可得，即，
而，可得，
又，即，
可得，，
可得，，
又，且，即，即，可得，
，
对于选项A，，，
不是函数的对称中心，故A不正确；
对于选项B，，可得，
函数在上是单调递增，故B正确；
对于选项C中，，，
则在点处的切线方程为，故C正确；
对于选项D中，将向左平移个单位后，
可得，则为偶函数，故D正确.
故选：BCD
3．（2025·山东日照·二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是π
C．的值域为 D．在上单调递增
【答案】AC
【解析】函数的定义域为R，且，
所以是偶函数，A对；
在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
函数部分图象如下(注意偶函数的对称性)，

由图知，所以的最小正周期为，值域为，B错、C对；
由且，结合图知在上不单调，D错.
故选：AC.
考向七 零点或交点
【例7-1】（2025·甘肃金昌·二模）函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【解析】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有9个交点，
故选：D．
【例7-2】．（2025·山东·模拟预测）某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若方程在上有3个根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程在上有3个根，即在上有3个根，也即是与的图象在上有3个交点，
令，因为，所以.
由题意得，函数的图象与直线有三个交点，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·河北·二模）已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为恒成立，所以为的一条对称轴，
那么，所以，
解得，，
与的图象如图所示：
由图可知，曲线与的交点个数为4．
故选：B
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】令得，，
当或或时，，但，故不是函数零点，
当且且时，，
同一坐标系内画出与在上的图象，如下：
可以看出上，与在上共有3个交点，
故零点个数为3个，分别为.
故选：D
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
则，即，
即
∵，∴
令，则,
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
所以：
其中，
即，，
解得，
所以.
故选：C
4．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由函数，
可得，
则，
所以函数是上的偶函数，
若有且仅有一个零点，则必有，即，解得．
故选：D．
考向八 ω的求法
【例8-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】或，
因为对恒成立，所以，
①；
②；
故选：B．
【例8-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为
C．若在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为
【答案】D
【解析】对于选项A，若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，故选项A错误；
对于选项B，，则，解得，
又因为，故当时，取得最小值，最小值为，故选项B错误；
对于选项C，若在区间上单调递增，则有，
解得，又，
所以，所以的取值范围为，故选项C错误；
对于选项D，若在区间上只有一个零点，则有，
解得，故选项D正确.
故选：D
【一隅三反】
1．（24-25四川南充·期中）已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以当时，取到最大值，
解得，所以.
令，
在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，
，解得.
故选：D
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，由，得，
函数在上恰好有一个零点，等价于函数在上只有一个零点，
所以结合余弦函数的部分图象得，解得.
故选：C
法二：令，得，则，
由，得，得.
因为满足题意的零点只有一个，即满足的整数只有一个，必为，
所以，解得.
故选：C.
3．（2025·山西吕梁·一模）（多选）已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】ABC
【解析】依题意，，其中锐角由确定，，
函数在上单调递增，，
由，使得成立，得，
而在区间上的值域为，则存在，使得，因此，解得，
函数，当时，，
又在区间上的值域为，，则，解得，
所以实数的取值范围是，ABC可能，D不可能.
故选：ABC
4．（2025·辽宁·模拟预测）设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，得，，所以，，
又，所以，所以，，
所以，，
由题可得方程有2025个根，
即曲线与直线，在区间内共有2025个交点.
当时，，
当时，，
当时，，…，
由题意及曲线在区间内的图象可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需，所以.
故选：D.
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4.3 三角函数的性质（精讲）
考向一 周期
【例1-1】（2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为
【例1-2】（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ．
【例1-3】（24-2 云南 ）（多选）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2025·河南·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西渭南·二模）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
4．（2025·贵州毕节·二模）已知函数，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考向二 单调性
【例2-1】（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2025·重庆·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
3 ．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向三 奇偶性
【例3-1】（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025·山东聊城·模拟预测）若是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．或
【一隅三反】
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则实数（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
考向四 伸缩平移
【例4-1】（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2025·山西太原·一模）将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位后，所得的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．.
2．（2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南·模拟预测）函数的图象可以由（ ）
A．的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
B．的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到
C．的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到
D．的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到
4 ．（24-25 辽宁大连·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．1 D．0
5．（2025·辽宁·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考向五 最值
【例5-1】（2025·贵州·二模）函数的最大值为（ ）
A．4 B．7 C． D．15
【例5-2】（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2025·云南）若函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5-4】（2025·宁夏吴忠·一模）函数的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【例5-5】（2024·江西上饶·一模）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【例5-6】（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【例5-7】（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24 上海奉贤·期中）函数的值域为 ．
2．（24-25湖北）设当时，函数取得最大值，则 .
3．（2025·湖南·三模）若函数是奇函数，则函数在上的最大值是 .
4．（24-25 山东烟台·期中）若函数在上的最小值为，则t的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·广东茂名·阶段练习）已知函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河南·二模）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考向六 函数性质的综合应用
【例6-1】（2025·河南郑州·三模）（多选）函数，则下列关于的说法中正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是2
C．是区间上的增函数 D．图象关于点中心对称
【例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递增
【例6-3】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
【例6-4】（2025·广东佛山·二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递增 D．最大值为1
【一隅三反】
1．（2025·河南安阳·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的值域是 B．
C．在区间上单调递增 D．是奇函数
2．（2025·河南·二模）（多选）已知如图是函数，（，）的部分图象，则（ ）
A．的图象关于中心对称
B．在单调递增
C．在点处的切线方程为
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
3．（2025·山东日照·二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是π
C．的值域为 D．在上单调递增
考向七 零点或交点
【例7-1】（2025·甘肃金昌·二模）函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【例7-2】．（2025·山东·模拟预测）某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若方程在上有3个根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2025·河北·二模）已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
考向八 ω的求法
【例8-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【例8-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则实数的最小值为
C．若在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围为
【一隅三反】
1．（24-25四川南充·期中）已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西吕梁·一模）（多选）已知，若对，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2025·辽宁·模拟预测）设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ）
A． B． C． D．
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