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4.3 三角函数的性质（精练题组版）
题组一 周期
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，的最小正周期.故选：D
2．（24-25北京海淀）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是偶函数，但不是周期函数，故A错误；
是偶函数，最小正周期为，故B错误；
是偶函数，最小正周期为，故C正确；
是奇函数，最小正周期为，故D错误.
故选：C
3．（24-25山东聊城·期中）下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，是偶函数，故不成立，
对于B，是奇函数，且最小正周期，故成立，
对于C，是奇函数，且最小正周期为，故不成立，
对于D，是偶函数，故不成立.
故选：B
4．（24-25北京·阶段练习）最小正周期为的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A．是最小正周期为的偶函数，符合题意；
B．是最小正周期为的奇函数，不符合题意；
C．是偶函数，但不是周期函数，不符合题意；
D．是最小正周期为的偶函数，不符合题意；
故选：A．
5．（24-25辽宁沈阳·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是周期为的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，是奇函数，周期为，故A错误；
对于B，是奇函数，周期为，故B正确；
对于C， 是奇函数，周期为，故C错误；
对于D，是偶函数，周期为，故D错误；
故选：B．
6．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
，
又的最小正周期为10，所以，解得，
则，则.
故选：C.
7．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：的最小正周期为，对称中心为，故A错误；
对于B：的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴上方及轴部分不变，
所以的最小正周期为，没有对称中心，故B错误；
对于C：，则最小正周期，
且当时，所以函数图象关于点对称，故C正确；
对于D：，最小正周期，故D错误.
故选：C
8．（2025·四川成都）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
又，可得，
即，且、，故.
故选：C.
9．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以当时，函数取最小值，
函数的最小正周期为．
故选：C
10．（2025·贵州黔东南·一模）若是最小正周期为的偶函数，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，为常函数，故最小正周期为错误；
对于B，，奇函数，故错误；
对于C，由周期公式可知：的最小正周期为：，
所以，故周期为，故错误；
对于D，，偶函数，由周期公式可得最小正周期为，故正确；
故选：D
题组二 单调性
1．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，
时，，递减，则递增，
时，，递增，则递减，
故选：C．
2．（2025·浙江宁波·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由的最小正周期为，的最小正周期为，A、D不符；
由在上单调递增，C不符；
以为最小正周期，且在区间上单调递减，B符合.
故选：B
3．（2025·山东·二模）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数在上单调递增，得，
解得，由的图象关于点对称，得，
解得，于是，，
所以.
故选：C
4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】将代入，得，
所以，得．
因为函数在上为增函数，此时，
所以，解得，
所以当时，，
故选：A.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当时，，
当时，，
当时，，单调递增，
且函数不单调，结合,
，，
故选：D
6．（2025·湖南湘潭·三模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知，令，则，
因为，所以．
故原条件等价于已知函数在区间上单调，
而函数在区间上单调，所以，解得，
又因为，故，
故选：B．
7．（2025·江西赣州·二模）若函数在区间上单调，且，则正数的值为 ．
【答案】2
【解析】由函数在上单调，且，
所以函数的一条对称轴，一个对称点为，且，
所以，可得，故正数的值为2.
故答案为：2
题组三 奇偶性
1．（2025·四川德阳·三模）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，
因为是奇函数，则，所以，因为，所以.
故选：C
2．（24-25上海·阶段练习）的奇偶性是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】令，，
又，
所以函数是偶函数.
故选：A.
3．（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
存在，函数为奇函数，则或，
当时，为奇函数，则函数是偶函数，
于是，解得，当时，，C符合，ABD不符合；
当时，，此时
或，当且仅当时为奇函数，与矛盾，
所以实数的值可以是.
故选：C
4．（2025·天津南开·一模）已知是奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】是奇函数，
由得，
所以恒成立，则，解得.
故选：C
5．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为R，
且，
故为偶函数，A正确；
B选项，的定义域为R，，
，故不为偶函数，B错误；
C选项，的定义域为R，
，
故是奇函数，C错误；
D选项，的定义域为R，
且，
故为奇函数，D错误.
故选：A
6．（2025·广西·三模）已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 .
【答案】
【解析】由，则，
由函数为偶函数，则轴为该函数图象的对称轴，
即，，化简可得，，
当时，取得最大负值为.故答案为：
题组四 伸缩平移
1．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】由图可知，，得，
又，由解得；将点代入，得，
在函数单调减区间上，则，，解得，又，所以，.
得.将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，得的图象.故选：A
2．（24-25广东佛山·阶段练习）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到，
再向右平移个单位长度，得到.
故选：D
3．（2025·甘肃白银·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】，
又的图象关于点对称
，即，
，即，
，
的最小值为4．
故选：B.
4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，
由的图象与的图象关于轴对称，得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因此，解得，而，
则.
故选：B
5．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
所以，
因为的图象与的图象关于 轴对称，
所以，即，
所以或（不合题意），
解得：，又因为，所以的最小值为.
故选：B
题组五 最值
1．（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
其中，
而，
等号成立当且仅当，此时.
故选：B.
2．（2025·福建宁德·三模）若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】AB选项，时，，
其中，
显然的最小值为-2，只需内有即可，
当时，取得最大值，最大值为，
故，A错误，B正确；
CD选项，同理的最大值为2，只需内有即可，
当时，取得最小值，最小值为，
故，CD错误；
故选：B
3．（2025·重庆·三模）函数在上的值域为 .
【答案】
【解析】由题意可得：，
因为，则，
可得，即，
所以所求函数的值域为.
故答案为：.
4．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 .
【答案】
【解析】，
其中，则其值域为故答案为：.
5．（23-24 上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 .
【答案】
【解析】，
因为函数的最大值为3，
所以，（舍去），
所以实数的值为.
故答案为：.
6．（24-25 上海长宁·期中）函数，的值域是 ．
【答案】
【解析】因为，
设，则，
且，所以，
则，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取最大值，即，
当时，；当时，，所以.
因此，函数的值域为.
故答案为：.
7．（24-25 四川成都·期中）函数的值域为 .
【答案】
【解析】
，
令，则，
故，，
当时，，当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
8．（24-25江苏苏州·期中）已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
函数的单调区间为，
由，
所以函数在上单调，
因为在区间内没有最值，则函数在上单调，
所以，则，
取时，且，所以，
取时，且，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
题组六 函数性质的综合应用
1．（2025·海南海口·模拟预测）（多选）已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上单调递减
【答案】BC
【解析】选项A，的最小正周期，故A错误；
选项B，由，知，所以，所以的最大值为，而得，故B正确；
选项C，令，则，所以图象的对称中心为，所以点是图象的一个对称中心，故C正确;
选项D，由得，所以在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）（多选）若，则（ ）
A．初相为 B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．为奇函数
【答案】ABD
【解析】对于函数，初相为，A正确；
最小正周期为，B正确；
时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，C错误；
，该函数为奇函数，D正确，
故选：ABD.
3．（2025·江苏常州·模拟预测）（多选）函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数图像的一条对称轴为直线
C．函数在区间上是增函数
D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
【答案】ACD
【解析】对于A，由题得，又图象关于点对称，
所以，即，
由得，，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，
因为在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，故C正确；
对于D，函数的图像向左平移个单位得，，故D正确，
故选：ACD．
4．（2025·山东潍坊·二模）（多选）已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A．与在上有相同的单调性
B．的图象关于直线对称
C．设，则的一个对称中心为
D．当时，与的图象有6个交点
【答案】ACD
【解析】易知的图象向左平移个单位可以得到，
对于A，当时，，
由正弦函数和余弦函数图像性质可知，与在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可得A正确；
对于B，由可知，令，解得，
因此可得的图象关于直线对称，即B错误；
对于C，易知，
令，解得，
即则的对称中心为，
当时，可知的一个对称中心为，即C正确；
对于D，当时，，又；
画出函数的图象如下图所示：
结合图像可知，与的图象有6个交点，即D正确.
故选：ACD
5．（2025·江西宜春·二模）已知函数，则（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称
C．的最小值为 D．在上单调递减
【答案】BD
【解析】，
不是偶函数，故A错误；
令，则，当时，，
所以是函数的对称轴，故B正确；
，故C错误；
令，则，
当时，，故在上单调递减，故D正确.
故选：BD.
6．（2025·四川雅安·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A，在函数中， 的最小正周期，故选项A正确.
对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为.
令，解得.令，解得，故选项B错误.
对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为.
令，解不等式得：
当时，，所以在上单调递增，故选项C正确.
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.化简.
根据诱导公式，可得，故选项D正确.
故选：ACD.
7．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．点是图象的一个对称中心
C．方程在区间上有2026个实数解
D．若，则的单调递增区间为
【答案】AB
【解析】由函数图象可知，最小正周期满足，即，所以，
又因为函数图象过点，将其代入函数可得，
即，解得，
又因为，所以，，
所以，故A正确；
对于B，因为函数的对称中心是，
所以令，可得，当时，，
所以，点是图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，令，得.
当时，即，则在区间上，共有1013个实数解；
当时，即，则在区间上，共有1012个实数解.
综上，方程在区间上有个实数解，故C错误；
对于D，由函数定义域可知，，
又因为函数在上单调递减，所以要使函数单调递增，即函数单调递减，且，
所以，解得.
所以，的单调递增区间为，故D错误.
故选：AB.
8．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间的最小值是
D．将的图象上各点先向右平移个单位（纵坐标不变），再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】因为关于点中心对称，
所以，解得，
又因为，所以，即，
对于A，当时，，
此时单调递减，故A正确；
对于B，时，，
所以直线是曲线的一条对称轴，故B正确；
对于C，当时，，
当时，取最小值-1，故C错误；
将的图象上各点先向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
故D正确；故选：ABD.
9．（2025·福建·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，可得，所以，
根据得图象过点，可得，解得，
令，可得，所以，
由，为奇函数，所以A正确；
由，是偶函数，所以B正确；
由，周期为2，，
，
因为函数单调递减，所以，所以，所以C不正确；
由，所以D正确.
故选：ABD .
10．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
B．的图象关于对称
C．在上单调递增
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，将的图象向左平移个单位长度，得
的图象，故A正确；
对于B，因，所以B不正确：
对于C，由，可得，
因在上单调递增，故在上单调递增，故C正确；
对于D，当时，，则，
因在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，故D正确.
故选：ACD．
题组七 零点或交点
1．（2025·甘肃白银·二模）设函数，则的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，易知定义域为，
显然当时，，所以时，无零点，
故只需考虑的情况，由，得，
即，且，
由，得到，即，
又，得，
令，，
如图，在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，

由图知，两个函数的图象在上有三个公共点，所以有三个零点，
故选：B.
2．（2025·河北·三模）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
令得：，
因为，所以，
则在轴右侧方程的相邻三根依次为，解得，
由题意可知，即，
故得，即的取值范围是.
故选：B.
3．（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
通过五点法作出周期函数的图象，
再通过两点法作出单调函数的图象，
因为，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】由题意得，其关于原点对称，
因为，所以为奇函数，则，
因为，所以由二倍角公式得，
化简得，
令，则，易得，
当时，得到在上单调递减，
则，故，
则令，可得，得到，
解得，或，故在上有两个零点，
由奇函数的性质可得在上也有两个零点，
综上，共有5个零点，故C正确.
故选：C
5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）当时，方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得，，得，
又在内无解，
故，且在题设给定范围内有唯一解.
故选：B
6．（2025·浙江·三模）若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题，得，
又，，得，，
因为，所以，
令得，，即，，
当，，0，1时，，，，，
得在上有4个零点．
故选：D.
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】曲线与的图像如下，
所以交点个数为3，
故选：B.
8．（2025·四川凉山·三模）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，显然，故，，
若，解得，
若，解得，
若，解得，
综上，.
故选：C
9．（24-25高三下·江西赣州·期中）不等式在区间上的整数解的个数是（ ）
A．674 B．676 C．1352 D．1348
【答案】A
【解析】因为，
由题意可得，可得，
因为的最小正周期为，
且，
可知满足在内的整数解为4，5，即一个最小正周期内有2个整数解，
则不等式在内无整数解，在有个整数解.
所以不等式在有个整数解.
故选：A.
10．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】令，则，解得，
而，故，
此时，
即曲线在对称中心处的切线的斜率的绝对值最大①，
考虑正弦函数，，若时，
则由①可得当且仅当时，最小且最小值为即为周期的，
而当时，的最小值为，
类比可得的周期为，故，
故，而由可得为对称轴，
故，而，故，故，
当时，，
因在的零点为，
故在区间内的零点个数为4个，
故选：A.
题组八 ω的求法
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】函数的图象向左平移个单位，
得到函数,
由为奇函数，则，
因为，所以的最小值是，
故选：B.
2．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为，
，解得，
由，解得，又，则或，
所以或，的取值不可能是.
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的方程在（0，π）内恰有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以，由，可得，
因为方程有2个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得，
解得，所以ω的取值范围．
故选：C．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，得：，
则或
解得①或②，
①②中，分别取，因为，从小到大排列得，
因为集合恰有3个元素，
所以需满足：，解得：，
故选： .
5．（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则．
由，得．
因为在上单调，所以，得．
故选：A.
6．（2025·河南·模拟预测）已知函数的图象经过，两点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】因为图象经过，两点，故，
故，故，
若，则，而，
故，故，其中，而，此时无解；
若，则，而，
故，故，其中，而，
此时，故，此时，
，，
故符合，故正数的最小值为.
故选：
7．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，
所以，则，解得，
当时，，
且，，
所以，解得，结合，得的取值范围为．
故选：D．
8．（2025·河北唐山·三模）已知函数在区间上恰好存在5个零点，则正整数 .
【答案】5
【解析】令，即，当时，，
因为，故或，其中，
从小到大，设函数零点分别为，
则有，，，
，，
由题意知，解得，故正整数.
故答案为：5
9．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 .
【答案】
【解析】由题意可设，，则，
，，，
则、中点与、中点均为，，
由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，，
则，，
即有，则，又，则.
故答案为：.
10．（24-25山东日照·期中）已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对进行化简，可得：
令，则.
根据正弦函数的性质，可得，，解关于的方程：
即，.
当时，；当时，.
因为方程在区间内无实数解，所以或（不成立，舍去）.
解不等式，得，因为，解得.
故答案为：.
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4.3 三角函数的性质（精练题组版）
题组一 周期
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25北京海淀）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25山东聊城·期中）下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25北京·阶段练习）最小正周期为的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25辽宁沈阳·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是周期为的函数为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川成都）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·贵州黔东南·一模）若是最小正周期为的偶函数，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
题组二 单调性
1．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江宁波·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东·二模）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2025高三·全国·专题练习）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南湘潭·三模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江西赣州·二模）若函数在区间上单调，且，则正数的值为 ．
题组三 奇偶性
1．（2025·四川德阳·三模）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25上海·阶段练习）的奇偶性是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3．（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天津南开·一模）已知是奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广西·三模）已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 .
题组四 伸缩平移
1．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
2．（24-25广东佛山·阶段练习）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·甘肃白银·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题组五 最值
1．（2024·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建宁德·三模）若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·重庆·三模）函数在上的值域为 .
4．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 .
5．（23-24 上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 .
6．（24-25 上海长宁·期中）函数，的值域是 ．
7．（24-25 四川成都·期中）函数的值域为 .
8．（24-25江苏苏州·期中）已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是 .
题组六 函数性质的综合应用
1．（2025·海南海口·模拟预测）（多选）已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上单调递减
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）（多选）若，则（ ）
A．初相为 B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．为奇函数
3．（2025·江苏常州·模拟预测）（多选）函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数图像的一条对称轴为直线
C．函数在区间上是增函数
D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
4．（2025·山东潍坊·二模）（多选）已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A．与在上有相同的单调性
B．的图象关于直线对称
C．设，则的一个对称中心为
D．当时，与的图象有6个交点
5．（2025·江西宜春·二模）已知函数，则（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称
C．的最小值为 D．在上单调递减
6．（2025·四川雅安·二模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
7．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．点是图象的一个对称中心
C．方程在区间上有2026个实数解
D．若，则的单调递增区间为
8．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．直线是曲线的一条对称轴
C．在区间的最小值是
D．将的图象上各点先向右平移个单位（纵坐标不变），再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象
9．（2025·福建·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
10．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
B．的图象关于对称
C．在上单调递增
D．
题组七 零点或交点
1．（2025·甘肃白银·二模）设函数，则的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北·三模）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）当时，方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2025·浙江·三模）若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025·四川凉山·三模）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三下·江西赣州·期中）不等式在区间上的整数解的个数是（ ）
A．674 B．676 C．1352 D．1348
10．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题组八 ω的求法
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的方程在（0，π）内恰有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河南·模拟预测）已知函数的图象经过，两点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河北唐山·三模）已知函数在区间上恰好存在5个零点，则正整数 .
9．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 .
10．（24-25山东日照·期中）已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是 ．
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