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4.4 正余弦定理（精讲）
考向一 边角互换
【例1-1】（24-25广东东莞）在中，角的对边为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，因，由正弦定理可得，
因，所以，故，即，又因，所以，
故选：A
【例1-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据已知条件，得，，
，,故选：C.
【例1-3】（2025·湖南·三模）在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，得到，
又，，则，所以，
又，则，所以，得到，所以，即，
故选：B.
【例1-4】（2025·浙江·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由及正弦定理可得，
因为，所以，整理得，
所以，
因为，则，由题意知，，故，
因为，因此，.
故选：B.
【例1-5】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理可得，
又，所以，
又，由正弦定理可得，即，
由余弦定理，所以，所以为锐角，
所以，
所以，
又，所以.故选：C
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，，且，则
【答案】
【解析】解法一：因为为锐角，所以，
又在中，，所以，则
所以，解得，，所以．
故选：B．
解法二：又在中，，
因为，所以
所以，，所以，
又因为，，
所以．
2.（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ．
【答案】/
【解析】因为，由正弦定理得，
所以，即，
所以或（舍去），即，
又因为，则，解得．
故答案为：.
3．（2025·河南·模拟预测）在中，内角所对边分别为，若，则 .
【答案】
【解析】在中，由及正弦定理，
得，则，
整理得，于是，
则，因此，当且仅当时取等号，而，
解得，即，此时，所以.
故答案为：
4．（2024·四川攀枝花·二模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ．
【答案】
【解析】由，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
因为，
即，
即，
因为，则，
因为，故.
故答案为：
5．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
则角=
【答案】
【解析】因为，所以.
因为，所以.
所以.
化简得：
根据正弦定理得：.
因为，所以，
所以.解得，又，所以.
6．（2025·甘肃定西·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知，则B=
【答案】；
【解析】因为，
所以，
即.
由正弦定理得.
因为，所以，
所以，即，
所以，又，所以，
所以，故.
考向二 判断三角形的形状
【例2-1】（24-25江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】由，可得，
，，
所以，，
因为，所以，即，
所以是等腰三角形.
故选：C.
【例2-2】（24-25湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，因为，所以，
又，所以，
由，所以，，
所以为等腰直角三角形.
故选：D.
【例2-3】（24-25安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】因为，所以，
又根据余弦定理可知，所以，
因为，所以.又由，得，
所以，所以，
因为A和B是三角形的内角，所以，即，所以是等腰三角形，
又因为，所以，是等边三角形.故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
【答案】A
【解析】由余弦定理可得，则.
因为，所以，所以是等腰三角形.
故选：A
2．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形 B．为锐角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
【答案】A
【解析】由，可得，则，
，，即，
由，故只能为锐角，可得，因为，所以，.故选：A.
3．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】，即，故，
，
因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.
故选：D
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，所以，
因为.所以，
所以的形状为顶角为的等腰三角形.
故选：B.
5．（23-24浙江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由正弦定理可得，
又，因此可得，
又因为，所以可得，又，可得，
所以是以为直角的直角三角形，即A正确；
对于B，若，可得，可得为锐角，
但不能确定是否为锐角，所以不一定是锐角三角形，即B错误；
对于C，若，由正弦定理可得，
即，因此可得或，
可得或，所以是等腰三角形或直角三角形，即C错误；
对于D，由根据正弦定理可得，
由可得，即，所以；
同理由可得，因此，所以是等边三角形，即D正确；
故选：AD
考向三 三角形的外接圆
【例3-1】（2025河南）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】.
,
设该三角形外接圆的半径为
由正弦定理得
故选：A.
【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
得，所以．
又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径），
所以，解得，
则的外接圆的面积为．
故选：B
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理，得，所以舍负，
设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以．
故选：D．
2．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，所以，
设外接圆的半径为，则由正弦定理得，
所以，
故选：B.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，函数的最小值为，则的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使，取得最小值，
只需，即，又.
设的外接圆的半径为，
根据正弦定理，，解得.
所以的外接圆的周长为.
故选:B.
考向四 三角形的面积公式
【例4-1】（2025·山西·三模）在中，，，，则的面积是（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】C
【解析】由余弦定理，
得，解得，则．
所以的面积为．
故选：C.
【例4-2】（2024·贵州 ）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理可得
所以，
因为所以
因为，则，则，所以为等边三角形，故的面积
故答案为：
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（ ）
A．176 B．88 C．44 D．22
【答案】B
【解析】由，则，易知为锐角，
由正弦定理知，而，即，故，
所以，故，
由，
由正弦定理知，可得，故.
故选：B
2．（2025·广东广州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由，根据余弦定理，则，解得，
同理，由，则，
通分可得，
由，则，
化简可得，易知，则，
所以的面积.
故答案为：.
3．（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由及正弦定理，
得．
因为在中，，所以．
因为，所以．
因为为锐角，所以．
（2）由，且，解得．
由余弦定理，得，解得或（舍）．
所以的面积．
考向五 三角形个数的判断
【例5-1】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误；
B：，，，为锐角，，则无解，故B错误；
C：，，，为钝角且，则无解，故C错误；
D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确.
故选：D
【例5-2】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误；
对于选项B：因为，可知，
所以满足条件的有2个，故B错误；
对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确；
对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边，
所以不存在，故D错误；
故选：C.
【例5-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，由有两解，得，即，解得，
所以的取值范围为.故选：D
【一隅三反】
1．（2025河南）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
2．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，
由题意可知：关于A的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，

因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
故选：C.
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，要使满足条件的三角形不唯一，则，即.
故选：A.
考向六 正余弦定理在几何中的应用
【例6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)如图所示，为外一点，，，，求．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），
在中，由正弦定理得，，
由，
，
即，
，，，
即，
又，
，即.
（2）因为，令，，
在中，由正弦定理得，
，，
在中，由正弦定理得，，
因为，，
，
，
解得，即．
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）已知的角A，B，C所对的边为a，b，c，且，，延长到点D.
(1)若，求的长；
(2)若，，求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由及正弦定理，得
，整理得，
而，则，又，因此，
在中，由余弦定理得.
（2）由（1）得：，，
由，得，
在中，由正弦定理得：，则，
在中，由正弦定理得：，而，
则，，
因此，，
即，而，解得，
所以
【一隅三反】
1．（2025·河南许昌·三模）（多选）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则中边上高的长度为
【答案】ACD
【解析】在中，由余弦定理得，
即，即，
或（舍去），，故A正确；
在中，由正弦定理得，
即，解得，故B不正确；
，为锐角，，
又，.故C正确；
由，
在中，由余弦定理得：
，
解得，
又的面积为，
设中边上高的长度为，可得，可得，
的边上高的大小为.故D正确.
故选：ACD.
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，，，，求：
(1)四边形的面积；
(2)的值；
(3)的面积.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）因为，在中，，
在中，，，则，所以，
所以.
（2）以为原点，分别以、的方向为、轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，
所以、、、，
所以，，
所以.
（3）因为，解得，
故.
3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【答案】(1)
(2)，
【解析】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
，
由正弦定理可知，，
.
考向七 正余弦定理在实际生活中的应用
【例7】（24-25湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
在中，，，则，
在中，，
则，
由正弦定理得，，得，
在中，，则，
所以.
故选：C
【一隅三反】
1．（24-25重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68m B．70m C．72m D．74m
【答案】C
【解析】令直线的延长线交于点，则.
依题意，，，
而,
所以，解得，
又，
所有，
而，
所以.
故选：C.
2．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，
且最大，又，
又设所以
当且仅当时取等号，
此时
解得：
故选：A.
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
考向八 三角形中周长与面积的最值
【例8-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）在中，令内角所对边分别为，
由，
得，由正弦定理得，
由余弦定理，得，而，所以.
（2）由已知及（1）得，，
解得，当且仅当时取等号，
所以求的周长的最大值为6.
【例8-2】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在锐角三角形中，因为，
所以由正弦定理得，
故，即，即，即，
所以，即，
由余弦定理得，因为，所以．
（2）因为，由正弦定理，
所以，，
设的周长为，
则
，
因为在锐角三角形中，所以，，
所以，解得，
所以，所以，
故，则，即，
故周长的取值范围为．
【例8-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，则，又，
所以，则，
又，所以，
因为，解得．
（2）因为是锐角三角形，又，
所以，
所以
，
因为，所以，则，
从而，
故面积的取值范围是.
【一隅三反】
1．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，
即，解得，
又，所以 .
（2）由余弦定理，
即，
故，当且仅当时取等号，
又，故，即周长的取值范围是.
2．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列.
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由成等差数列知，故；
由余弦定理：，
故（当且仅当时等号成立），
故（当且仅当时等号成立），
故面积的最大值是．
（2）由正弦定理：，，
则
；
由为锐角三角形，，则，解得，则；
由在上单调递增，故，
故，
即周长的取值范围为．
3．（23-24辽宁·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为
(2)
【解析】（1）函数，
所以函数的最小正周期为，
由，可得，
即有函数的单调递增区间为.
（2）若为锐角的内角，且，
可得，由，可得，
则，即.
由正弦定理得，，
所以，
所以面积
又因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，所以，所以.
故面积的取值范围是.
考向九 三角形的中线、角平分线与高
【例9-1】（2025·江西·二模）在中，内角所对的边分别是，已知.
(1)求角；
(2)已知角的平分线与边相交于点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
由正弦定理知，即，
由余弦定理知，
所以.
（2）由已知，
则，所以.
在中，由余弦定理，
即，
所以，解得，
.
【例9-2】（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，由及正弦定理得
，
即，
因为、，则，即，可得，故.
（2）由正弦定理可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
因为为边上的中线，所以，
所以
，故，
因此，边上的中线的长为.
【例4-3】（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，
，，
而A为三角形内角，
，
，
整理得，得，
又，且，
（2）由正弦定理得，
得，
由（1）得，，，
，
设边上的高为h，则，
边上的高为
【一隅三反】
1.（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，．
(1)求的长；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
所以，又，所以.
因为为中点，所以，
所以.
所以，即.
（2）因为平分，所以.
设，
由.
所以.
故.
2.（24-25贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，得，
因为中，，所以或，
又因为，所以，所以.
（2）选择①：设的平分线交BC于点，则，，
，，
，即，
在中，由余弦定理，
，，，
，，.
选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形，
则有，两式平方相加得：，
即
又结合已知：，，
可解得，即，
在中，由余弦定理得：，
将，，代入解得：，
.
3.（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由及正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，所以，
所以
（2）因为，所以，
则，
所以，
又由余弦定理得，可得，
联立方程解得，
由角平线定理得
4．（2025·四川·模拟预测）在中，内角的对边分别为的面积满足：
(1)求；
(2)若平分，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）已知，根据三角形面积公式，将其代入已知条件可得：
由正弦定理得：
因为，所以，，等式两边同时除以得
因为，所以，等式两边同时除以得：
即，所以.又因为，所以.
（2）因为，所以.
又因为CD平分，所以.
根据三角形面积公式，可得，即.
在中，根据余弦定理，将，代入可得：，化简得
在中，根据余弦定理，将，代入可得：，即，
在中，根据余弦定理，将代入可得：，即，
因为，所以，即，则有：
，即，即，
解得.将代入可得，所以.
考向十 三角形的取值范围
【例10-1】（2025·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的周长；
(2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），，由余弦定理得，，
，解得，或（舍去）
，
的周长为.
（2）由余弦定理得，，整理得，，
，
，即，
由正弦定理得，，，
，，
，
令，，，
函数在上单调递增，
，即的取值范围是.
【例10-2】（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，
则有，故.
（2）因为为锐角三角形，则，所以，，
所以，，则，
由正弦定理可得，
所以，，
即的取值范围是.
【例10-3】（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，，则，
由正弦定理得，
，所以，，
因为、，则，
所以，，即．
（2）在锐角中，由，可得，
则，
又，则，
所以，的取值范围为，
又，设，设，其中，
，
由可得，由可得，
所以，在上递减，在上递增，
所以，，
又因为，，故的取值范围为，
即的取值范围为.
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江·二模）记中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，
所以，即，
所以，
因为为三角形的内角，所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
所以，即，
又因为，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以.
所以的最大值为.
2．（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)证明：．
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）由题设，
所以，
则，即，
又，则，且，
所以，得证.
（2）由题设，即，得，
由，而，故.
3（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1），，
两边同时乘以得，，
由正弦定理得，；
在中，，，
，，
又，，，
或，
若，且，则，，不合题意，舍去.
.
（2）由(1)可知，又，，
，，
又由已知可得，，，
，
，
，，
，，
的取值范围是.
4．（2025山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
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4.4 正余弦定理（精讲）
考向一 边角互换
【例1-1】（24-25广东东莞）在中，角的对边为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2025·湖南·三模）在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2025·浙江·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-5】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，，且，则
2.（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ．
3．（2025·河南·模拟预测）在中，内角所对边分别为，若，则 .
4．（2024·四川攀枝花·二模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ．
5．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
则角=
6．（2025·甘肃定西·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知，则B=
考向二 判断三角形的形状
【例2-1】（24-25江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【例2-2】（24-25湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【例2-3】（24-25安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
2．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形 B．为锐角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
3．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．（23-24浙江·期中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
考向三 三角形的外接圆
【例3-1】（2025河南）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若，函数的最小值为，则的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
考向四 三角形的面积公式
【例4-1】（2025·山西·三模）在中，，，，则的面积是（ ）
A． B． C．3 D．12
【例4-2】（2024·贵州 ）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（ ）
A．176 B．88 C．44 D．22
2．（2025·广东广州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ．
3．（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
考向五 三角形个数的判断
【例5-1】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例5-2】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例5-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025河南）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向六 正余弦定理在几何中的应用
【例6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)如图所示，为外一点，，，，求．
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）已知的角A，B，C所对的边为a，b，c，且，，延长到点D.
(1)若，求的长；
(2)若，，求的长.
【一隅三反】
1．（2025·河南许昌·三模）（多选）如图，在平面四边形中，，，，.则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则中边上高的长度为
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，，，，求：
(1)四边形的面积；
(2)的值；
(3)的面积.
3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
考向七 正余弦定理在实际生活中的应用
【例7】（24-25湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68m B．70m C．72m D．74m
2．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
考向八 三角形中周长与面积的最值
【例8-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的周长的最大值.
【例8-2】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【例8-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
2．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列.
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
3．（23-24辽宁·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．
考向九 三角形的中线、角平分线与高
【例9-1】（2025·江西·二模）在中，内角所对的边分别是，已知.
(1)求角；
(2)已知角的平分线与边相交于点，且，求的面积.
【例9-2】（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求边上中线的长．
【例4-3】（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【一隅三反】
1.（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，．
(1)求的长；
(2)求的长.
2.（24-25贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
3.（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值．
4．（2025·四川·模拟预测）在中，内角的对边分别为的面积满足：
(1)求；
(2)若平分，且，求．
考向十 三角形的取值范围
【例10-1】（2025·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的周长；
(2)若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围.
【例10-2】（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
【例10-3】（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江·二模）记中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
2．（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)证明：．
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
3（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
4．（2025山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
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