资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
5.1 等差数列（精讲）
考向一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2025·山东德州·三模）已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
【例1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【一隅三反】
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
2.（2025·福建·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2025·浙江·三模）设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．17 B．21 C．23 D．27
5．（2025·山西·二模）已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
考向二 等差中项及应用
【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）若是1和3的等差中项，是1和4的等比中项，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【例2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
【例2-3】（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（2025·山东·一模）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．60 C．68 D．52
2．（23-24浙江）在中，三个内角成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·安徽淮北·二模）若实数和的等差中项为1，则的最小值为 .
考向三 等差数列前n项和最值
【例3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
【例3-3】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）许多已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项 B．数列中有最小项
C．若，则 D．若，，则取最小值时
考向四 等差数列片段和的性质
【例4-1】（24-25 广西）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【例4-2】（24-25河南）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．56 B．105 C．112 D．189
【例4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【一隅三反】
1．（24-25江西）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．36 B．48 C．60 D．120
2．（24-25四川）已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．75 B．65 C．50 D．55
3．（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
5．（2025·四川）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
6．（24-25河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
考向五 等差数列和与n的比值
【例5-1】（2025·江西）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（24-25四川）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】（23-24湖北武汉）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
【例5-6】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25高三上·河南·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（2025湖北）已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州）等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例6-1】（2025河南）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【例6-2】（2025陕西）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（ ）
A．10 B．13 C．11 D．22
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025河南）已知等差数列的公差，，那么（ ）
A．80 B．120 C．135 D．160
3．（2025上海）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
考向七 等差数列的证明与判断
【例6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足，，证明：为等差数列；
【例6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且，证明：数列为等差数列；
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
2．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记为正项数列的前项和，且.
(1)求的值；
(2)判断是否为等差数列，并求的通项公式；
4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和；
考向八 含绝对值的等差数列的前n项和
【例7-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【例7-2】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
2（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
考向九 等差数列的简单应用
【例8-1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【例8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
2．（2025江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.1 等差数列（精讲）
考向一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2025·山东德州·三模）已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以.
故选：C
【例1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，
又，所以，所以公差为.故选：A．
【例1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】方法一：由题意得：，，
则等差数列的公差，则，，所以.
方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，则，得，解得.
故选：C
【一隅三反】
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故选：C.
2.（2025·福建·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，因为，，故两式作差可得：
，即，，又，故.
故选：C.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由，则，即，所以，则，
由，则.故选：C
4．（2025·浙江·三模）设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．17 B．21 C．23 D．27
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以.故选：D.
5．（2025·山西·二模）已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，由，得，解得，
，，，
因此，整理得，解得.故选：B
考向二 等差中项及应用
【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）若是1和3的等差中项，是1和4的等比中项，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由题知，所以，由得，所以．故选：D.
【例2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【解析】因为所以又因为故选：C.
【例2-3】（2025·广西·三模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，所以，所以，
所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.故选：.
【例2-4】（2025·山东·一模）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，
依题意成等差数列，故，得到：，
化简得，即：，解得：或（舍去）故选：C
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．60 C．68 D．52
【答案】D
【解析】，∴，∴，故选：D.
2．（23-24浙江）在中，三个内角成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以；
又，所以，即，所以，所以.故选：C.
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，得到，所以，
当且仅当，即时，取等号.故选：D.
4（2025·安徽淮北·二模）若实数和的等差中项为1，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】若实数和的等差中项为1，则，，即，
即，当且仅当取等号.故 的最小值为2.故答案为：2.
考向三 等差数列前n项和最值
【例3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】假设等差数列的公差为，由得,
所以，所以，故，
则则．故选：C．
【例3-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
【答案】C
【解析】由可得，由等差数列的性质可得：，
因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列，
故，即取最小值时，的值为14.故选：C.
【例3-3】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，因为，所以，
所以公差，故当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即中最小的项是，故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】B
【解析】由已知可得，的公差为，故，故，
令，又，所以，故n的最大值为41，
验证，，所以n的最大值为41.故选：B.
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列为等差数列，由；
由.所以.
所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数.所以最大.故选：B
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设数列的公差为，
因为，成等比数列，所以， 解得，
所以，故.
由，得，解得. ∵，∴的最大值为.故选：D.
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（）许多已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项 B．数列中有最小项
C．若，则 D．若，，则取最小值时
【答案】BC
【解析】对于A，因为，且，故中无最大项，A错误；
对于B，，，故，，，则为中的最小项（当时，，均为中的最小项），B正确；
对于C，若，则可知，，即，则可知，故，C正确；
对于D，，则可知，则，又，则可知，则，即，故，故最小，D错误.故选：BC.
考向四 等差数列片段和的性质
【例4-1】（24-25 广西）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】因为是等差数列，所以也是等差数列，
所以，即，解得．故选：C．
【例4-2】（24-25河南）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．56 B．105 C．112 D．189
【答案】B
【解析】因为成等比数列，
即成等比数列，所以，解得，
又，所以，解得.
故选:B.
【例4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等差数列中，成等差数列，则，
设，则，故，解得，所以.故选：A.
【例4-4】（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【答案】D
【解析】因为差数列中，成等差数列，
令，即成等差数列，
则，
即，解得，故选：D．
【一隅三反】
1．（24-25江西）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．36 B．48 C．60 D．120
【答案】B
【解析】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列，
故，则.故选：B
2．（24-25四川）已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．75 B．65 C．50 D．55
【答案】A
【解析】由等差数列前项和的性质得：成等差数列，
，即，解得.故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，
由，得该数列首项为4，公差为2，所以.故选：B
4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】因为是等差数列，所以成等差数列，
又，所以成等差数列，则，则.故选：A.
5．（2025·四川）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，
即，解得.故选：C
6．（24-25河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由题意设，则，由是等差数列，所以也成等差数列，
所以，解得；，解得，所以，
故选：C.
考向五 等差数列和与n的比值
【例5-1】（2025·江西）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于等差数列的前n项和满足，知道，故.故选：B.
【例5-2】（24-25四川）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列，的前项和分别为，，
所以我们对进行变形，得到，
因为，所以，即，故D正确.
故选：D
【例5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是等差数列，
所以，又，
所以，
故选：C.
【例5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以，
因为，所以可设，，则，，所以.
故选：D.
【例5-5】（23-24湖北武汉）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，
则，则，又因为，所以，所以，所以.
故选：B.
【例5-6】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
则，
数列是公差为的等差数列，，解得：，.故选：D.
【一隅三反】
1．（24-25高三上·河南·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知，
所以故选：C
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【解析】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．因此.
故选：A．
3．（2025湖北）已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D
4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为数列和均为等差数列，所以.
故选：D.
5．（2025·江苏）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为=，所以可设，，，
所以，，所以，故选：A.
6．（23-24河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，数列是以为公差的等差数列，
，
数列是以为公差的等差数列，.
故选：B.
7．（2025·贵州）等差数列的前项和为，若且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A﹒
8．（2024高三·全国·专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，
∴S2020＝2020．故选：C．
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例6-1】（2025河南）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知：
数列的奇数项之和为，①
偶数项之和为，②
由②-①，得，所以，即该数列的公差为.
故选：D.
【例6-2】（2025陕西）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（ ）
A．10 B．13 C．11 D．22
【答案】A
【解析】等差数列 共2n+1个项，其中奇数项有个，偶数项有个，
设等差数列的公差为，奇数项和①，
偶数项和②，
①-②得，则.故选：A
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
2．（2025河南）已知等差数列的公差，，那么（ ）
A．80 B．120 C．135 D．160
【答案】C
【解析】在等差数列中，公差，，
所以,
所以，
故选：C
3．（2025上海）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项，
奇数项之和为，
偶数项之和为，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为，
故选：D
考向七 等差数列的证明与判断
【例6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足，，证明：为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】由题意证明如下，，
在数列中，，，∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
【例6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且，证明：数列为等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】由，，则，
所以，故是首项、公差均为1的等差数列；
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)3.
【解析】（1）因为，所以，故，
又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
当时，，
而时，不满足题意，
所以.
（3）由（2）知，当时，，
又，所以，的最大值为.
2．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记为正项数列的前项和，且.
(1)求的值；
(2)判断是否为等差数列，并求的通项公式；
【答案】(1)
(2)是常数列，也是等差数列，.
【解析】（1）令可得， 又，故.
（2），①，②
由②-①，得，即故，故是常数列，也是等差数列
故，故.
3．（2025·河南许昌·三模）在数列中，，且，证明：是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】在数列中，，且，
，
是首项为，公差为2的等差数列．
4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和；
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【解析】（1），
所以数列为等差数列，首项为，公差为1.
（2），.
考向八 含绝对值的等差数列的前n项和
【例7-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【答案】(1)(2)8872
【解析】（1）由则
设的公差为则则
所以数列的通项公式为.
（2）由题可知
，.
【例7-2】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)，.
【解析】（1）由，则当时
两式相减得，所以.将代入得，，
所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2）.，
因为当时，当时，所以当时，，
当时，.故.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为，且．
选择①：（1）因为，所以，解得．
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
选择②：因为，可得，
因为，所以，此时，所以，
因为，所以单调递增，且当时，．
所以当或11时，最小，此时.
选择③：因为，所以，即，所以，
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
（2）解：若选择①或③：由（1）知，当时，，
所以
.
若选择②：由（1）知，且当时，，且，
所以
.
2（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
考向九 等差数列的简单应用
【例8-1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列，由题意可知为等差数列，
则数列首项，公差，所以，
由求和公式有，解得，故选：C．
【例8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
【答案】C
【解析】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，，
因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，，
而，则数列是等差数列，
于是，，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取得最小值38.故选：C
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【解析】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，
则，，
所以这根竹子的装米量为（升）.
故选：B
2．（2025江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
【答案】C
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故选项A正确；
春分的晷长为,
秋分的晷长为，所以正确；
立冬的晷长为，即立冬的晷长为一丈五寸，正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为，
，，故错误.
故选：C.
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【答案】B
【解析】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为，公差为的等差数列，
则，
所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为.
故选：B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑