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5.2 等比数列（精讲）
考向一 等比数列基本量的计算
【例1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2025·广东·模拟预测）正项等比数列及其前项和满足：，，则的值为（ ）
A．416 B．468 C．520 D．607
【例1-3】（2025·重庆·三模）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（ ）
A．或1 B．2或 C．1 D．
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43 B．85 C．110 D．127
3．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
考向二 等比数列的证明或判断
【例2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设，证明数列为等比数列，并求的通项公式；
【例2-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【一隅三反】
1．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知
(1)证明:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
3．（2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
考向三 等比中项
【例3-1】（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）在等比数列中，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【例3-2】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【例3-3】（2025山东）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【例3-4】（2025·湖北黄冈·一模）已知实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
【一隅三反】
1．（2024·山东·一模）若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ）
A．5 B．或5 C．4 D．或4
2．（2025云南曲靖·阶段练习）在等比数列中，是函数的极值点，则
A． B． C． D．
3．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．（2025·河北）若等比数列的各项均为正数，且（为自然对数的底数），则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．（2024·江苏南通·二模）若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
考向四 等比数列的简单应用
【例4-1】（2025·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·宁夏银川·三模）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
考向五 等比数列片段和的性质
【例5-1】（2025·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．7 C．63 D．7或63
【例5-2】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
【例5-3】（2025四川绵阳·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
3．（2025河南）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
考向六 等比数列前n项和的特征
【例6-1】（2025湖北）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【一隅三反】
1．（2025·河北沧州·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．72 B． C．144 D．
2．（2024·甘肃金昌·期末）等比数列的前项和，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．（23-24 江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
考向七 等比数列奇数项（或偶数项）的和
【例7-1】（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【例7-2】（2025安徽）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
2．（2024浙江）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025江西抚州）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
考向八 等比数列前n项和的最值
【例8】（2025广东）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．
【一隅三反】
1．（2025重庆）（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
2．（23-24高三上·江西·期中）（多选）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
3．（2025辽宁）（多选）等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A． B．
C．是的最大值 D．使的的最大值是4040
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5.2 等比数列（精讲）
考向一 等比数列基本量的计算
【例1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，
因此，.故选：C.
【例1-2】（2025·广东·模拟预测）正项等比数列及其前项和满足：，，则的值为（ ）
A．416 B．468 C．520 D．607
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由，可得，
所以即，即，由，所以，由得，
即.故选：C.
【例1-3】（2025·重庆·三模）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（ ）
A．或1 B．2或 C．1 D．
【答案】D
【解析】已知成等差数列，有.那么.
因为，所以；又因为，所以得到.
由，移项可得.
因为数列是等比数列，根据等比数列的定义，公比.由，可得.
故该等比数列的公比为.故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，若，则，故，由可得，
化简得，解得，则.故选：D.
2．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43 B．85 C．110 D．127
【答案】A
【解析】根据题意，已知，且各项均为整数，得到，
解得．则．故．选：A．
3．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】C
【解析】因为，则，所以，
因为，所以，所以或舍，所以.故选：C.
考向二 等比数列的证明或判断
【例2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设，证明数列为等比数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】由，，得，则，
即，又，于是，而，
所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，.
【例2-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)10170.
【解析】（1）由，，得，
则，而，
所以数列是等比数列.
（2）由（1）得，，所以数列的通项公式.
（3）由（2）得，，
.
【一隅三反】
1．（2025·新疆喀什·三模）记数列的前n项和为，已知
(1)证明:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 ，所以当时， ;
当时， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以数列是首项为，公比为 的等比数列；
（2）由（1）得，所以.
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为数列中，，，
所以，且，所以是等比数列，公比为2，首项为2
（2）由(1)可得，即，
所以数列的前项和
3．（2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】（1）因为，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以当为偶数时，；
当为奇数且时，．
也符合上式．综上所述，
考向三 等比中项
【例3-1】（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）在等比数列中，，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】因为等比数列，故，解得.故选：C.
【例3-2】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【答案】A
【解析】根据等比中项知道，求得，则.又，则.故选：A.
【例3-3】（2025山东）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等比数列{an}中，由，得
则 故选A.
【例3-4】（2025·湖北黄冈·一模）已知实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】因为实数，，成等比数列，所以，则；
当时，圆锥曲线，即为椭圆，其离心率；
当时，圆锥曲线，即为双曲线，其离心率；
故选：D
【一隅三反】
1．（2024·山东·一模）若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ）
A．5 B．或5 C．4 D．或4
【答案】D
【解析】依题意，，所以.故选：D
2．（2025云南曲靖·阶段练习）在等比数列中，是函数的极值点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴由可知，
∵ 等比数列中且∴，故选B.
3．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【解析】由各项为正数的等比数列，且，可得，所以.
故选：B.
4．（2025·河北）若等比数列的各项均为正数，且（为自然对数的底数），则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解析】在等比数列中，若，所以，由对数的运算可知
故选：B
5．（2024·江苏南通·二模）若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
即，
即，
，解得.
故选：B.
考向四 等比数列的简单应用
【例4-1】（2025·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
【例4-2】（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设原有树苗有包，第组领取包，
第组领取包，
第组领取包，
，
以此类推可知，第组领取包，
由题意可得，
即，解得.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·宁夏银川·三模）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对折一次得到的等腰直角三角形斜边长为1，对折2次得到的等腰直角三角形斜边长为，
对折3次得到的等腰直角三角形斜边长为，，
故对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为.
故选：A.
2．（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】设第天水塘中的荷花朵数为，则，
设第天池塘内开放荷花的数量为，则，，
，
当时，，
当时，，
所以荷花的数量在第8天达到最大.
故选：C.
3．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
【答案】C
【解析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度），
则，，
所以，
，
由，可得，
即，即，
解得或（舍去），
由则，因为，
即，又，所以的最小值为.故选：C
考向五 等比数列片段和的性质
【例5-1】（2025·江西赣州·二模）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．7 C．63 D．7或63
【答案】B
【解析】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列，
所以，则，
所以，则或，
等比数列的公比为，
若时，则，而，显然等式不成立；
若时，则，满足题设；
所以.
故选：B
【例5-2】（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
【答案】C
【解析】由题可知，，成等比数列，
所以，即，得，
则此等比数列的首项是1，公比是，那么，
，
所以.
故选：C
【例5-3】（2025四川绵阳·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【解析】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列.
且，，所以.所以.故选：A
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
【答案】A
【解析】因为，且，所以，，故，
所以，即，解得或（舍去），
由等比数列性质可知，成等比数列，公比为
所以，解得，故选：A
3．（2025河南）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.
考向六 等比数列前n项和的特征
【例6-1】（2025湖北）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】利用成等比数列列方程，化简求得的值.，
由于是等比数列，所以，即.故选：B
【一隅三反】
1．（2025·河北沧州·一模）已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．72 B． C．144 D．
【答案】D
【解析】依题意，，，
，由为等比数列，得，
即，解得或，由，得，
则，所以.
故选：D
2．（2024·甘肃金昌·期末）等比数列的前项和，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【解析】因为，当时，，
当时，，故，
当时，，从而，
由于是等比数列，故，显然且，解得，
所以．
故选：C．
3．（23-24 江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【解析】法一：设等比数列的公比为，
等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1，
则，令，则有，由题意，得.
法二：当时，，
当时，.，
为等比数列，当时，，化简得.故选：C.
考向七 等比数列奇数项（或偶数项）的和
【例7-1】（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
【例7-2】（2025安徽）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2025河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
2．（2024浙江）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.
3．（2025江西抚州）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【解析】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项，
由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得故选：A
考向八 等比数列前n项和的最值
【例8】（2025广东）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．
【答案】C
【解析】因为等比数列满足，
又，所以，A错误；
，即,B错误；
当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确；
由题意得，，则,D错误.故选：C
【一隅三反】
1．（2025重庆）（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】AB
【解析】，或，，，同号，
且，，即数列前项大于，从第项开始小于1，
对于A，，且易知，故，A正确，
对于B，易知，故，，B正确，
对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选:AB
2．（23-24高三上·江西·期中）（多选）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
【答案】BC
【解析】由，因此.
又因为则.
当时，，则，，则，与题意矛盾.
因此.则为单调递减数列，故选项A错误.
而，故，选项B正确.
又因为为单调递减数列，则，
由可知，，，
所以当时，，则.
当时，，则.
因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
3．（2025辽宁）（多选）等比数列的公比为，前项积，若 ，，，则
A． B．
C．是的最大值 D．使的的最大值是4040
【答案】AD
【解析】根据条件可得，则， ,又
选项A. ，所以
若，则，
所以与条件 矛盾.
所以，所以选项A正确.
选项B. 由, ，可得等比数列单调递减.
又，可得 ，
，所以选项B不正确.
选项C . 由，，可得等比数列单调递减.
可得，，即数列 的前项大于1，当时，
所以是的最大值，所以选项C不正确.
选项D.
，由上可知 ，可得，由此类推可得当时，
，
由，可得，由此类推可得可得当 时，
所以使的的最大值是4040，所以选项D正确故选：AD
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