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5.3 利用递推公式求通项公式（精讲）
考向一 公式法求通项
【例1-1】（24-25四川）已知数列的前项和为，且，则 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，不满足上式，则.故答案为：.
【例1-2】（24-25上海）数列的前n项和，则其通项公式 .
【答案】
【解析】当时，.
当时，，显然，所以数列的通项公式为.故答案为：.
【例1-3】（2025·宁夏银川）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由题意，
当时，，两式相减得，
，解得，
在中，令，可得，故也满足，
综上所述，所求即为.故答案为：.
【例1-4】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】
【解析】数列中，，则，解得，
，即，于是，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以（）.故答案为：
【例1-5】（24-25 云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，即，
所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
所以，，
当时，，所以，
当时，也成立，所以，故答案为：
【一隅三反】
1．（24-25辽宁）已知数列中，前n项和，求的通项公式为 .
【答案】
【解析】①，当时，，
当时，，
显然不满足，综上，.故答案为：
2．（2025广东中山）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 .
【答案】
【解析】∵，∴时，，∴两式相减得：，即，
又∵，即，，即，符合上式，
∴数列是以3为首项、为公比的等比数列，∴．
故答案为：.
3．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则
【答案】
【解析】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列，
则，所以，
当，则，显然满足上式，
所以.
故答案为：
4．（24-25甘肃）在数列中，，则的通项公式为 .
【答案】
【解析】数列中，，
时，有，
时，由，得，
两式相减得，即，
时，也满足.
所以.
故答案为：
5．（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则
【答案】
【解析】因为，所以，即，所以，所以，显然，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，即，所以．
考向二 累加法求通项
【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则 ．
【答案】
【解析】由已知得，
再由累加法得：．
故答案为：
【例2-2】（2025·四川）已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】由题，，
所以.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则通项公式 .
【答案】
【解析】因为，即，
故，，，，，
以上各式相加得.
又，所以，而也适合上式，故.
故答案为：.
2.（24-25河北）在数列中，，，则的通项公式为
【答案】
【解析】由已知得，
将上述个等式相加，整理得又因为，所以
3.（23-24四川绵阳）已知数列满足，，则其通项公式为 .
【答案】
【解析】不妨设，则，
由，
经检验当时满足，故，解得，即数列的通项公式为.故答案为：.
4．（24-25河南）记数列的前项和为，已知且，则 .
【答案】
【解析】当时，由得，即，
因为，所以，
所以， ，
则，
又满足上式，故，故答案为：．
考向三 累乘法求通项
【例3-1】（24-25广东）在数列中，，，则数列的通项公式为
【答案】
【解析】因，则，
当时，符合题意，故数列的通项公式为.
【例3-2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】当时，有，故，
则有，．
上述个式子累乘得．
因为，所以，而当时，，也满足上式，
故数列的通项公式为．故答案为：.
【例3-3】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为
【答案】
【解析】由于数列中，，前项和，所以当时，，
两式相减可得：，所以，
，所以，所以，
所以，符合上式，
因此.故答案为：
【一隅三反】
1．（24-25江苏连云港）已知数列中，，则 .
【答案】
【解析】，，，即，
.故答案为：.
2．（24-25黑龙江）已知数列的各项为正数，且，，则
【答案】
【解析】因为数列的各项为正数，且，，
故当时，，
由题意可知，对任意的，，则，所以，，
则有，所以，数列为常数列，
故，所以.
3．（2025·黑龙江）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】因为，，
所以，，，…，，
累乘得，，
所以，，
由于，所以，，
显然当时，满足，
所以，
故答案为：.
4（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
【答案】
【解析】当时，，即，，
则，即，
则有，，，，
则，
当时，，符合上式，故.
故答案为：.
考向四 构造等比数列（待定系数法）
【例4-1】（24-25山西）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为
【答案】
【解析】∵，∴，即，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴.
【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】法一：因为，所以.
设，则，所以.
设，则.
因为，，所以，，
所以，即，即，所以.
因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，.
法二：因为，所以，
由，，得，，
所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，
当为奇数时，，即；
当为偶数时，，即.
综上，.
故答案为：
【例4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
【一隅三反】
1.（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则an=
【答案】
【解析】 因为，又，令，可得，解得，
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得
2.（23-24上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】数列中，由，得，即，
而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，
因此，即，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
3.（2024广东）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，设，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，，解得.
故答案为：
考向五 构造等差数列（倒数法）
【例5-1】（24-25河南）已知数列中，，且，则 ．
【答案】
【解析】由，可得，即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，所以．故答案为：
【例5-2】（2025云南临沧）已知数列中，数列的通项公式
【答案】
【解析】因为，可得，
因为，则，即，可得，
对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
所以，故
【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】将两边同时除以，得，
∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，∴．故答案为：
【一隅三反】
1．（2025湖北）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【解析】由，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故答案为：
2（2025·山西）已知数列{an} 满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
【答案】
【解析】由题可知，将，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得；
3．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ．
【答案】
【解析】由代入已知可得：，
可得是公差为2的等差数列，因为，所以，即，
所以，故答案为：.
考向六 其他方法求通项
【例6-1】（2025山西）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，当时，，故A错误；
对于B选项，当时，，当时，，
当时，，当时，，故B正确；
对于C选项，当时，，故C错误；
对于D选项，当时，，故D错误.
故选：B.
【例6-2】（2025湖北）已知，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】等式两侧同除，得，
所以，
令，所以，
则，，，……，，
累加得：，而，故，
即，整理得.故答案为：
【一隅三反】
1．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；
故选：D.
2．（2025海南）已知数列中，且，则数列的通项公式为____.
【答案】
【解析】∵，等式两侧同除，可得，
令，则，
∴，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴，即.
故答案为：.
3．（2025·云南）设数列的前项和为，且.求=
【答案】
【解析】由，
当时，，解得，
当时，，
所以，
整理得：，①所以有，②
①-②可得，所以为等差数列，
因为，所以公差为，所以.
4（2025·北京）已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】∵，则
当时，则，解得；
当时，等式两侧同除，可得，
则，
令，则，，
利用叠加法可得：，，，
叠加得，即，
所以，
即，可得；
综上所述：.
故答案为：.
5．（2024黑龙江）已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项.
【答案】
【解析】∵ ……①
∴……②
②-①得：……③
∵{a}的特征函数为：，
由x=1.设，……④
将④代入③得：，
∴，∵，
∴，∴.
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5.3 利用递推公式求通项公式（精讲）
考向一 公式法求通项
【例1-1】（24-25四川）已知数列的前项和为，且，则 .
【例1-2】（24-25上海）数列的前n项和，则其通项公式 .
【例1-3】（2025·宁夏银川）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【例1-4】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ．
【例1-5】（24-25 云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．
【一隅三反】
1．（24-25辽宁）已知数列中，前n项和，求的通项公式为 .
2．（2025广东中山）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 .
3．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 4．（24-25甘肃）在数列中，，则的通项公式为 .
5．（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则
考向二 累加法求通项
【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则 ．
【例2-2】（2025·四川）已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 .
【一隅三反】
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则通项公式 .
2.（24-25河北）在数列中，，，则的通项公式为
3.（23-24四川绵阳）已知数列满足，，则其通项公式为 .
4．（24-25河南）记数列的前项和为，已知且，则 .
考向三 累乘法求通项
【例3-1】（24-25广东）在数列中，，，则数列的通项公式为
【例3-2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【例3-3】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为
【一隅三反】
1．（24-25江苏连云港）已知数列中，，则 .
2．（24-25黑龙江）已知数列的各项为正数，且，，则
3．（2025·黑龙江）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 .
4（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
考向四 构造等比数列（待定系数法）
【例4-1】（24-25山西）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为
【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
【例4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【一隅三反】
1.（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则an=
2.（23-24上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
3.（2024广东）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
考向五 构造等差数列（倒数法）
【例5-1】（24-25河南）已知数列中，，且，则 ．
【例5-2】（2025云南临沧）已知数列中，数列的通项公式
【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ．
【一隅三反】
1．（2025湖北）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
2（2025·山西）已知数列{an} 满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
3．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ．
考向六 其他方法求通项
【例6-1】（2025山西）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【例6-2】（2025湖北）已知，且，则数列的通项公式为___________.
【一隅三反】
1．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025海南）已知数列中，且，则数列的通项公式为____.
3．（2025·云南）设数列的前项和为，且.求=
4（2025·北京）已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________.
5．（2024黑龙江）已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项.
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