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5.4 求和常用方法（精讲）
考向一 公式法求和
【例1】（2024嘉兴）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【一隅三反】
1.（2025·安徽滁州）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
2．（2025·陕西）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
考向二 裂项相消求和
【例2-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，数列的前n项和，证明：．
【例2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【例2-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
【例2-4】（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
【一隅三反】
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
2．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
3．（24-25黑龙江）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
考向三 错位相加法求和
【例3-1】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前项和，数列是首项为的等比数列，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列的前项和为，其中，．
(1)求的值以及数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
考向四 分组转化求和
【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【例4-2】（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【例4-3】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【一隅三反】
1．（2025河北沧州·阶段练习）已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
考向五 奇偶并项求和
【例5】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
【一隅三反】
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（ ）
A．1012 B． C．1013 D．
2．（2025·江苏）已知数列的前项和，其中，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
考向六 其他方法求和
【例6-1】（2028河南）已知， ．
【例6-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【例6-3】（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【一隅三反】
1．（2025江苏常州·期中）已知函数，仿照等差数列求和公式的推导方法，化简： ．
2．（2025·河南·二模）记为正项数列的前项积，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
3．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
4．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，．
(1)求、通项公式；
(2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和；
(3)若（其中），证明：．
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5.4 求和常用方法（精讲）
考向一 公式法求和
【例1】（2024嘉兴）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，
解得，
（2）解：，且，故数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
因为
【一隅三反】
1.（2025·安徽滁州）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设的公差为，由题知，，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1），得．所以，，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
所以数列的前项和．
2．（2025·陕西）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得.
故.
（2）由（1）可得，则，从而.
因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列.
由等比数列的前项和公式可得.
考向二 裂项相消求和
【例2-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由得，，，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
所以，
．
【例2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知递增等比数列中，，设．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设递增等比数列的公比为，则．
因为，所以，解得．所以，解得，
所以．
（2）因为，所以，
．
【例2-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，
所以，又数列是各项都是正数的数列，，所以，，
当时，有，所以，
所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
裂项得，证毕.
【例2-4】（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）数列是等差数列，设公差为，由根与系数关系得，
于是有，则，故，则；
（2）由（1）知，故，由根与系数关系知；
（3）由（2）得，
所以
【一隅三反】
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，
即，则，，，，
等式左右分别相加可得
，
则；
（2）依题意得，
，
则，
又，所以，所以，
即．
2．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由，
当时，，
两式相减得，即，①
则，②
由①②整理得，，
所以；
又，则当时，，
当时，，则，
所以，满足，
所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为.
（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
则，
所以.
3．（24-25黑龙江）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，可得时，，解得，
时，，又，
两式相减可得，即有，
数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
（2）数列满足，
所以．
4．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由，，得，又，
数列是首项为，公差的等差数列，
，即，
当时，，且也满足，
，则数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
.
考向三 错位相加法求和
【例3-1】（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，数列为等比数列，首项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，当时，，
相减得，
已知数列各项均为正数，即，可化简得，即数列的公差满足，解得，
当时，，解得，则数列通项公式为，
可得，则，
由数列为等比数列可得，由，求得，
则数列通项公式为.
（2）由（1）知，则，
所以，
则，
作差的，
化简得，
解得.
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前项和，数列是首项为的等比数列，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
【答案】(1)，或
(2)
【解析】（1）时，，
时，
时符合上式，∴．
∴，∴，∴，∴或．
（2），
设，设其前项和为，则
，①
，②
①②得
，
∴，
时，，
时，，
综上．
2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列的前项和为，其中，．
(1)求的值以及数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）依题意，，解得，所以．
当时，，
当时，，满足上式，
综上所述，．
（2）依题意，，
故，
故，
两式相减可得，
，
则．
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由数列的前项和为，可知，
，
经检验当时，也满足上式，所以．
在等差数列中，因为，，
所以，解得，
所以．
（2）由（1）知，，
所以．
则，
两式相减，得
化简得：．
考向四 分组转化求和
【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）数列的前项和，
当时，，
而，不满足上式，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，；
当时，
，而也满足上式，
所以.
【例4-2】（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则，
因为，，
所以，解得或（舍去）
所以，；
（2），
.
【例4-3】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列的公差为，由，则，
即，解得，所以．
（2）由可知，
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
综上所述，．
【一隅三反】
1．（2025河北沧州·阶段练习）已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，
得，∵是由正数组成的等比数列，则，，
则，解得或（舍），又，所以，
解得，所以
（2），
所以
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，，
可得，解得：（负的舍去），
则，
（2）
∴
.
3．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）时，，解得或，因为，所以，
时，，得，
因为，所以，又，
故数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解法一：由，所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以，
因为对任意的，成立，
所以，当为奇数时，即，所以，
不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，
因为为奇数，所以时，，则
当为偶数时，，所以，
同理可得，因为为偶数，所以时，，则，
综上，.
解法二：由，
当为偶数时，
.
当为奇数时，
，
所以（下同解法一）
解法三：因为对任意的，成立，
则，即求的最小值，令，
当为奇数时，
则，所以最小值一定在为奇数时取到，
当为奇数时，
，
当时，，当时，，
所以当为奇数时，，
则的最小值为，
所以.
考向五 奇偶并项求和
【例5】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，
数列的前项和为.
（3）因为，
设数列的前n项和为，
当n为偶数时，，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数.
，
所以.
【一隅三反】
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（ ）
A．1012 B． C．1013 D．
【答案】C
【解析】设数列的前项和为，则.
可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025.
每一组的值都为，例如，，，以此类推.
因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为.
等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即.
故选：C.
2．（2025·江苏）已知数列的前项和，其中，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，则，由，可得，
当时，则，整理得，即；
当时，则，可得，
整理得，
因为，则，
可得，即，
故数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得：，
当为偶数时，则，
所以
，
即.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
考向六 其他方法求和
【例6-1】（2028河南）已知， ．
【答案】
【解析】因为，所以，
故
故答案为：
【例6-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【答案】(1)
(2)681
【解析】（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
【例6-3】（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【答案】(1)；
(2)3，9，81，243；
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
【一隅三反】
1．（2025江苏常州·期中）已知函数，仿照等差数列求和公式的推导方法，化简： ．
【答案】/
【解析】∵，∴，
∴.
∴.
故答案为:.
2．（2025·河南·二模）记为正项数列的前项积，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由可得，，即，
又∵，∴是首项为2，公比为2的等比数列，
∴；
（2）由（1）可知，.
∵
，
可得，
当为奇数时，则，即；
当为偶数时，则，即.
设为数列的前项和，
可得
.
∴数列的前项和为.
3．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）为数列的前项和，，
时，，则，
时，由，得，
两式相减可得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，则；
（2）由题设，可得，
记的前项和为，因为，为正整数，
则.
4．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，．
(1)求、通项公式；
(2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和；
(3)若（其中），证明：．
【答案】(1)；
(2)209
(3)证明见解析
【解析】（1）因为，，
所以，
解得，所以；
因为，，所以，
又因为，所以，；
（2）设，
在数列中，从项开始到项（不含）之前，
共有项数为，
所以，
，
当时，；当时，，
所以数列前100项是项之后还有32项为2，
所以；
（3）当时，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
因为，，
所以，
即.
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