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5.5 数列与其他知识的综合应用（精讲）
考向一 斐波那契数列
【例1】（24-25 上海·单元测试）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】按照规律有，，，，，，，，故A、C错；，
则，
故B对；
，
故D错．故选:B．
【一隅三反】
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以，所以A错误，
对于B，当时，，，，
所以三式相加得，
所以，所以B正确，
对于C，因为数列满足：，，
所以，，，……，
，，，
以上2023个等式相加得,
因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，，
所以，,
,,
……,
,
所以，所以D正确，
故选：BCD
2.（23-24 河南南阳·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
3．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）斐波那契数列满足，（）．下列命题正确的有（ ）
A．
B．存在实数，使得成等比数列
C．若满足，（），则
D．
【答案】BC
【解析】对A，因为满足，
所以，，， ，
，，，
所以，，
所以，所以A选项错误；
对B，若为等比数列，则可设，
将代入可得，，
即，则有或，
所以存在实数，使得数列为等比数列，故B选项正确；
对C，根据数列的递推公式可计算出如下结果，
显然的分子为满足斐波那契数列，可以表示为，
同理，的分母为满足斐波那契数列，
可以表示为，所以，故C选项正确；
对D，根据斐波那契数列公式可得，，
又因为，
所以，故D选项错误.
故选：BC.
考向二 数列与三角函数综合
【例2-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列满足，，且，令，则数列的前项和为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，则，故，
由得，，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
故，则，
所以数列的前项和为．
故答案为：
【例2-2】（2024宁夏）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为内角、、成等差数列，，
所以，，
因为，所以，，
故数列是首项、公比均为的等比数列， .
（2），
，
，
则，
故数列的前项和.
【一隅三反】
1．（2025·甘肃金昌·二模）已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数
，
由题意得等差数列的公差，因此.
故选：A.
2．（2025·河北·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若a，b，c成等差数列，，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，又因为，所以，
所以，即，
所以，且，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，所以，所以为钝角，所以，
又因为成等差数列，所以，因为，所以，
所以由正弦定理得，所以，
所以，为锐角，所以，
所以，左右平方得，所以
由正弦定理得，所以，所以，
所以，
所以的面积为.
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列．
(1)求函数的周期和最大值；
(2)求数列的通项公式及前项和．
【答案】(1)周期2，最大值2
(2)，
【解析】（1）由题可得，
因此函数的周期，
当，即时，取最大值，最大值为．
（2）由得，
因此函数的所有正零点为，
，，因此是首项为，公差为1的等差数列；
，
考向三 数列与统计概率综合
【例3-1】（2025·全国·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为.
(1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计
满意 20 40 60
不满意 30 30 60
合计 50 70 120
根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？
(2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值；
(3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求.
参考数据：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系
(2)，或
(3)
【解析】（1）零假设：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关，
由已知数据计算，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受，
因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系.
（2）依题意，，令，
，当且仅当时取等号，
当时，，
当时，，即当时，数列单调递减，
于是，
所以的最大值为，此时或.
（3）由员工小李第n天选择B套餐的概率为，则员工小李第n天选择A套餐的概率为，
因此，而，
，又，
因此，所以.
【例3-2】（2025·安徽六安·模拟预测）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.
【答案】(1)分布列见解析，;
(2)；
【解析】（1）可能取值为2，3，4，
， ，.
的分布列为
2 3 4
数学期望.
（2）根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，
所以，
则，
则有，
两式相减，得，
所以.
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）甲、乙两位同学参加一场答题竞赛，甲同学每次答对问题的概率为0.8，乙同学每次答对的概率为0.6，答题规则是如果该同学此题答对，则继续答题，如果答错则由对方进行答题，已知两位同学答第一题的概率相等，则第n次答题的同学是甲的概率是 ．
【答案】
【解析】第n次答题的同学是甲的概率设为，由乙答题的概率为
则第此由甲答题的情况为：第次甲答题且答对或者第次乙答题且答错，
所以，且，代入化简得则递推关系为，
当答题次数无限多时，，所以，解得，构造，
递推关系为，又，所以，即.
故答案为：
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复.
(1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
(2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由.
【答案】(1)1.44；0.4824
(2)分布列见解析，
(3)不合理的，理由见解析
【解析】（1）由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为：
；
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为：
；
（2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，则抽取3名男员工，2名女员工.
从这5名员工随机选择3人，记抽到男员工的人数为，可得的取值为1，2，3.
可得的分布列为：
1 2 3
所以期望；
（3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为，
则可得：.
∴，
∴且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
∴，
∴，即一年以后，员工选择A餐厅的概率约为.
设400名员工选择A餐厅的人数为X，，
所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为（人），
，A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的.
3．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.
(1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为.
①求；
②求证数列为等比数列.
(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元）
【答案】(1)①；②证明见解析；
(2)1499元.
【解析】（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为；
累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为；
②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为.
所以，
则，又
故为首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，
将所有等式相加得，
所以，
所以，
设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元，
由题意知元，
解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元.
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为. 甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为; 乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为. 在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；
(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.
（i）设事件“甲在第轮活动中答对”，求；
（ii）设停止游戏时进行了轮游戏，求.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）4.
【解析】（1）设事件“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，“甲乙在第轮活动中都答对”，，
则
，
，，
所以两人第一轮也都答对的概率为.
（2）（i）依题意，，而，
则，而，因此为常数列，
所以.
（ii）由（i）得，则每一轮游戏可进行下去的概率为，
，，
令，则，
于是，
两式相减得，
因此，所以.
考向四 数列中的存在性问题
【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式及数列的前项和．
(2)是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【解析】（1）是各项均不为0的等差数列，
，
.
，
.
（2）若存在正整数，使得成等比数列，
则，即，
化简得：，解得：，
又且，所以，
故存在正整数，使得成等比数列．
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）由已知，
，
所以数列为首项，公差的等差数列．
（2）由（1），且时，，
，也符合，所以
所以，
所以，
因为，
所以，
，所以，
记数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
（3）不存在，显然数列为递增数列，
若存在正整数，使得成等差数列，不妨设，
则，
即，
因为，所以，显然不成立，
所以数列中不存在不同的三项构成等差数列．
2.（2024江西）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，证明见解析
【解析】（1）由已知，所以，相除得；
又，所以，所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，由得，由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，所以，所以存在正数使得数列是等比数列.
考向五 数列函数、导数的综合
【例5】（2025·上海浦东新·三模）已知.
(1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式；
(2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，，
当时，，
当时，，
则.
（2），
设，当时，，
恒成立，
则，
因为，所以
【一隅三反】
1.（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
【答案】(1)，，(2)4或5
【解析】（1）∵，∴
当时，，
即，
当时，也满足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，∴
令，
，当时，，单调递增;
当时，,单调递减;
∵,
∴当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0
(1)求实数的值：
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：
(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，当时，，不成立
当时，，
当时，
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取最小值，此时，解得.
（2），
设
当时，，所以在上单调递增，
所以，即.
（3）要证，只需证
又
所以只需证，即证，
由于，只需证,
，
即证，由（2）可知，，
即需证，
设，
所以单调递减，因为,所以，
即，所以，
即，累加后得证.
考向六 数列与解析几何的综合
【例6】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知椭圆经过点．
(1)求的离心率．
(2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．
①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；
②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明：
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】（1）因为椭圆C经过点，所以，故，
所以C的离心率；
（2）①由（1）知C的方程为，，.
由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为．
由，可得，
所以，即，
且，．所以
则
，
解得，则的方程为，
即直线过x轴上的定点.
②由①可知，，又，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
.
【一隅三反】
1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设的方程为，，
将直线方程代入抛物线方程得，所以，
，所以，
因为，所以．所以．所以．
故直线的斜率为．
故选：A.
2．（2025·江西新余·模拟预测）若点在曲线上，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C．9 D．65
【答案】D
【解析】依题意，，则，故数列是公比为4的等比数列，
则.故选：D.
3（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）过作斜率为的直线方程为，
联立其与双曲线方程可得，
设,
由于在抛物线上，所以
则，
所以，
故
（3）设，
由于在双曲线上，所以，
则，化简可得，，故，
所以，
,
所以，
故是等比数列.
考向七 插项数列
【例7】（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）为数列的前项和，，
时，，则，
时，由，得，
两式相减可得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，则；
（2）由题设，可得，
记的前项和为，因为，为正整数，
则.
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1），
，又，，
则，，故.
（2）因为，所以，则，
，
，
所以
所以.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【答案】(1)；
(2)3，9，81，243；
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
3（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)2170.
【解析】（1）在等差数列中，，而，解得，
公差，则；
设等比数列的公比为，，由，得，
即，解得，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，当为奇数时，，
则；
当为偶数时，，，
，
则，
两式相减得
，因此，
所以.
（3）依题意，数列：
项为前的总项数为，
数列是递增的，当时，，
当时，，
因此数列的前项中，有数列的前项，有个，
所以.
考向八 数列与集合的综合
【例8】（2025·湖南长沙·三模）（多选）已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】设等比数列的公比为，由，得，
两式相减得，即，所以，
又，解得，则，故A正确；
，故B不正确；
设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以，故C正确；
由，得，则集合中元素的个数为，即，故D正确．故选：ACD．
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·二模）已知等差数列，公差为，，前项和为，记集合，若中有2个元素，则，的关系可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则，
由中有2个元素，得关于的方程有不小于2的整数解，
而，则，方程中系数为2，的系数是正整数，
选项A符合要求，选项BCD不符合要求.
故选：A
2．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且
(1)证明:;
(2)若集合，求集合中所有元素的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)1023
【解析】（1）设数列的公差为，则，
即，所以原命题得证.
（2）由（1）得，
所以，
因为，所以，
对应的，
所以集合中所有元素的和为.
3．（24-25高三下·河南·阶段练习）在前项和为的等比数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2025项的和；
(3)从集合中随机取出四个元素（其中），记，求的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，因为，
所以①.
因为，所以，化简得②.
联立①②解得：.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以.
所以前2025项和为：.
（3）由题意知，.
.
要使得，即.
要使不等式成立，则任何一个都不能大于等于11，
所以需要从1-10中选4个数才能满足，
此时，共有种，
所以概率为.
考向九 数列与取整
【例9-1】（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．101 B．100
C．99 D．98
【答案】A
【解析】因为数列是等差数列，所以由可得解得，
故．根据设问所求，可知，
故当时，，当时，，所以．：A.
【例9-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【答案】(1)
(2)681
【解析】（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
【一隅三反】
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是关于的二次函数，其对称轴为，
因为，且在区间上单调递增，
所以正零点一定在区间上，
又因为，
所以，所以，
则，故.
故选：A．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
【答案】C
【解析】因为，
所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，因为数列的各项均为正数，
所以，因为，当时，，当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，，当时，，
当时，，当时，，，
则.故选：C.
3．（2024·湖南·模拟预测）已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则 ．
【答案】573
【解析】由数列是等差数列，设其公差为，因为成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以，则．
当时，，
即，共有个，
因为，所以
，
令，则，
两式相减得，则，所以，故答案为：573.
考向十 数列新定义
【例10-1】（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【解析】（1）因，则，
故，
是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”.
（2）由题意是“一阶等差数列”，
又首项为1，公差为3，故，
则
，
又满足上式，故.
则 “二阶等差数列”的通项公式为.
【一隅三反】
1．（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；
(2)若数列为和积交替数列，且，.
（i）若3是数列中的项，求实数的值；
（ii）若，证明：.
【答案】(1)或
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【解析】（1）由题知，，
解得，或；
（2）（i）由题知，则，，
由，则；，
由，则；，但，，
所以；而，…
以此类推，当，时，.
所以若3是数列中的项，
则或或，解得或.
（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且，
所以，同取以2为底的对数，得，
即.又，所以，
则，
累乘整理，得，
所以时，.
当时，符合上述不等式，
所以，结论得证.
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）若数列满足，则称为“阶跃数列”.
(1)若，判断是否为“阶跃数列”；
(2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围；
(3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”.
【答案】(1)为“阶跃数列”；
(2).
(3)证明见解析
【解析】（1）令，则，
所以，即，所以为“阶跃数列”；
（2）令，
则，
又为“阶跃数列”，所以，
所以，即，
令，则，所以为递减数列，
所以当时，取到最大值1，所以.
（3）因为为“阶跃数列”，所以，即，
所以
所以.
当时，，
整理得，
所以，即；
当时，
所以对，即数列是“阶跃数列”.
3．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”.
(1)分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项；
(2)若数列满足，且的“生成数列”为，求；
(3)若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【解析】（1）由生成数列的定义可知：数列1，0，3，4的“生成数列”的前4项是1，2，2，3；
数列，，2，的“生成数列”的前4项是0，2，4，4；
（2）为2，4，6，8，，
则中小于1的项的个数，小于2的项的个数，
小于3的项的个数，小于4的项的个数，
小于5的项的个数，小于6的项的个数，，
在中，当n为奇数时，设，，
则小于的偶数有个，所以
在中，当n为偶数时，设，，
则小于2k的偶数有个，所以，
所以；
（3）因为为等比数列，且，公比，所以
下面我们来证明：
因为表示中小于k的项的个数，表示中小于的项的个数，
所以易得，即，
设，由，，可得，，
又因为，所以，所以
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5.5 数列与其他知识的综合应用（精讲）
考向一 斐波那契数列
【例1】（24-25 上海·单元测试）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（23-24 河南南阳·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）斐波那契数列满足，（）．下列命题正确的有（ ）
A．
B．存在实数，使得成等比数列
C．若满足，（），则
D．
考向二 数列与三角函数综合
【例2-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列满足，，且，令，则数列的前项和为 ．
【例2-2】（2024宁夏）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【一隅三反】
1．（2025·甘肃金昌·二模）已知等差数列中，，公差为函数的最小正周期，则之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若a，b，c成等差数列，，求的面积．
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列．
(1)求函数的周期和最大值；
(2)求数列的通项公式及前项和．
考向三 数列与统计概率综合
【例3-1】（2025·全国·二模）某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为.
(1)食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计
满意 20 40 60
不满意 30 30 60
合计 50 70 120
根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？
(2)若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值；
(3)设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求.
参考数据：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【例3-2】（2025·安徽六安·模拟预测）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.
【一隅三反】
1．（2025·海南·模拟预测）甲、乙两位同学参加一场答题竞赛，甲同学每次答对问题的概率为0.8，乙同学每次答对的概率为0.6，答题规则是如果该同学此题答对，则继续答题，如果答错则由对方进行答题，已知两位同学答第一题的概率相等，则第n次答题的同学是甲的概率是 ．
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复.
(1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
(2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由.
3．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.
(1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为.
①求；
②求证数列为等比数列.
(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元）
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为. 甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为; 乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为. 在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；
(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.
（i）设事件“甲在第轮活动中答对”，求；
（ii）设停止游戏时进行了轮游戏，求.
考向四 数列中的存在性问题
【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式及数列的前项和．
(2)是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由．
2.（2024江西）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
考向五 数列函数、导数的综合
【例5】（2025·上海浦东新·三模）已知.
(1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式；
(2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【一隅三反】
1.（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0
(1)求实数的值：
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：
(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：
考向六 数列与解析几何的综合
【例6】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知椭圆经过点．
(1)求的离心率．
(2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．
①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；
②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明：
【一隅三反】
1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2025·江西新余·模拟预测）若点在曲线上，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C．9 D．65
3（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
考向七 插项数列
【例7】（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
3（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
考向八 数列与集合的综合
【例8】（2025·湖南长沙·三模）（多选）已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2025·云南昆明·二模）已知等差数列，公差为，，前项和为，记集合，若中有2个元素，则，的关系可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且
(1)证明:;
(2)若集合，求集合中所有元素的和.
3．（24-25高三下·河南·阶段练习）在前项和为的等比数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2025项的和；
(3)从集合中随机取出四个元素（其中），记，求的概率.
考向九 数列与取整
【例9-1】（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．101 B．100
C．99 D．98
【例9-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【一隅三反】
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
3．（2024·湖南·模拟预测）已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则 ．
考向十 数列新定义
【例10-1】（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；
(2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求；
【一隅三反】
1．（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；
(2)若数列为和积交替数列，且，.
（i）若3是数列中的项，求实数的值；
（ii）若，证明：.
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）若数列满足，则称为“阶跃数列”.
(1)若，判断是否为“阶跃数列”；
(2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围；
(3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”.
3．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”.
(1)分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项；
(2)若数列满足，且的“生成数列”为，求；
(3)若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求.
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