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1.2二次函数的图象培优训练浙教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．若点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点
C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大
4．对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当时，有最大值1
C．对称轴为直线
D．当时，随的增大而增大
5．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．抛物线的顶点坐标是 ．
7．已知，是抛物线上两点，则正数 ．
8．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ．
10．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ．
三、解答题
11．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3．
(1)求的值；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．
13．已知函数．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当取何值时，随的增大而增大？
(3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
14．已知抛物线 ．
(1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值；
(2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围.
15．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求点，，的坐标，
(2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积；
(4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围．
17．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
(1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①；②；③
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值；
(3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系．
18．利用抛物线图象图象解决下列问题：
(1)写出方程的根为_______；
(2)写出方程的根为_______；
(3)写出方程的根为________；
(4)写出不等式的解集为________；
(5)写出方程有两个不等实数根，则m的取值范围为____________；
(6)观察可得： _______．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．
先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答．
【详解】解：∵抛物线
∴对称轴为直线，
∴点A到对称轴的距离为：，点B到对称轴的距离为：，点C到对称轴的距离为：，
∵，
∴函数图象开口向上，
∵，
∴．
故选：A．
2．B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数、的图象都经过，
∴，，
解得，，
∴、，
∴，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性．
【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意；
B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意；
C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意；
D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
根据解析式，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，解答即可．
【详解】解：∵中，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
7．8
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；把点A的坐标代入中，求得的值；把点B的坐标代入中，求得的值，由此即可求解．
【详解】解：∵是抛物线上点，
∴，
∴，
∵是抛物线上点，
∴，
∴；
当时，则或，显然都不符合题意；
当时，则（不合题意）或；
综上，;
故答案为：8．
8．
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线．
根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y 的值．
【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线．
根据题意可知，，解得，
即二次函数的解析式为，
∴当时，．
故答案为：．
9．10
【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得．
【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A，
∴A点坐标为．
当时，，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
∴．
故答案为：10．
10．或
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为，
由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点；
故答案为：或．
三、解答题
11．(1)，
(2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答．
（2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，
∴，
则抛物线为，
∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上
∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且
∴；
（2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上，
解析式为
把代入，得
即顶点坐标．
12．(1)
(2)或
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可；
（2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：，则抛物线的对称轴为直线
∵，
∴在对称轴的左侧，
∴关于的对称点为，
∴，
∵，，
∴或，
解得：或．
13．(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为；
(2)当时，随的增大而增大；
(3)当时，有最小值为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（）依据题意，根据所给解析式可以得解；
（）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解；
（）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解．
【详解】（1）解：由抛物线的解析式为，
∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而增大；
（3）解：∵抛物线开口向上，
∴当时，有最小值为．
14．(1)
(2)
【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解；
（）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵此抛物线的顶点在直线 上，
∴，
解得；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于抛物线对称轴的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，．
15．(1)，，
(2)存在，或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）分别令，，利用解析式解答即可；
（2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
则，
令，得，
解得：，，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作所在直线于点，
设，则，
则，
则，
同理当点在抛物线上段时，，
当点在抛物线上点右侧时，，
综上，，
则，
∴，
即，
当时，解得，，
分别代入，
得，，
即点的坐标为或；
当时，由，无解；
综上所述，点的坐标为或．
16．(1)；
(2)；
(3)6
(4)．
【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
（1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可；
（1）运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出的长，根据“”求解即可；
（2）观察图象，利用数形结合法求解即可；
【详解】（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（3）解：对于直线：，
当时，，
∴，
∴；
（4）解：对于抛物线，
∵，
∴当时，有最小值为0，
∵，，
∴当时，y的取值范围为．
17．(1)①③
(2)；
(3)．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质．
（1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可；
（2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可；
（3）由（2）的结论，列式整理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同，
∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等；
故答案为：①③；
（2）解：设交轴于，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
设点坐标为，代入抛物线，
得，
∴，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等，
∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴，∴；
（3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
∵，
∴，
整理得．
18．(1)，
(2)，
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】此题考查二次函数与不等式、方程的解，解题关键在于结合函数图象进行解答．
（1）根据函数图象与x轴的交点写出即可；
（2）根据函数图象的对称轴和与y轴的交点即可求得；
（3）根据函数图象顶点坐标即可求得；
（4）根据函数图象与x轴的交点和图象开口方向即可求得；
（5）根据函数图象顶点坐标和图象开口方向即可求得；
（6）函数顶点坐标的纵坐标求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为，，
∴方程的根是，；
故答案为：，；
（2）解：∵由图象可知二次函数的对称轴为，当时，，
∴时，与二次函数的另一个交点为，
则方程的根为，；
故答案为：，；
（3）解：∵由图象可知二次函数的顶点，
∴方程的根为，
故答案为：；
（4）解：∵抛物线与x轴的交点为，，且开口向上，
∴不等式的解集为，
故答案为：；
（5）解：∵二次函数的顶点，且开口向上，
∴方程有两个不等实数根，只要，
故答案为：；
（6）解：∵二次函数的顶点，
∴当时，，
故答案为：．
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