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曲线运动
满分：46分 时量：40分钟
一．选择题（1-5为单选题，题每小题4分，6-7题为多选题，每小题5分，共30分）
1.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
2.潜艇从海水的高密度区驶入低密度区.浮力急剧减小的过程称为“掉深”.如图a所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy随时间变化的图像如图b所示，水平速度vx保持不变，若以水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则潜艇“掉深”后的0～30 s内.能大致表示其运动轨迹的图形是(　　)
3.如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出.球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上.已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　　)
A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
4.如图所示为某种水轮机的示意图，水平管出水口的水流速度恒定为v0，当水流冲击到水轮机上某挡板时，水流的速度方向刚好与该挡板垂直，该挡板的延长线过水轮机的转轴O，且与水平方向的夹角为30°.当水轮机圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击该挡板的水流速度的一半，忽略挡板的大小，不计空气阻力，若水轮机圆盘的半径为R，则水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为(　　)
A．　　　B． 　　　C．　　　D．
5.如图为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出.衣服(带水，可视为质点)质量为m，衣服和器壁间的动摩擦因数约为μ，甩衣桶的半径为r，洗衣机的外桶的半径为R，当角速度达到ω0时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．衣服(带水)做匀变速曲线运动
B．电动机的角速度至少为 2时，衣服才掉不下来
C．当ω＝ω0时，水滴下落高度打到外桶上
D．当ω＝ω0时，水滴下落高度打到外桶上
6.如图所示，游乐园中某海盗船在外力驱动下启动，某时刻撤去驱动力，此后船自由摆动，当悬臂OA水平时，船的速度恰好为零.若A、B、C处质量相等的乘客始终相对船静止，且以相同的半径随船摆动，摆动装置(含乘客)的重心位于圆弧AC的中点B，∠AOC＝60°，不计一切阻力，重力加速度大小为g，则海盗船在自由摆动过程中(　　)
A．OA水平时，船对C处乘客的作用力为零
B．OA水平时，B处乘客的加速度大小为aB＝g
C．A处乘客从图示位置运动至最低点的过程中，始终处于失重状态
D．A、B处乘客分别运动至最低点时，船对乘客竖直方向的作用力大小之比为＝
7.汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为ρ1，C处的曲率半径为ρ2，重力加速度为g.若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是(　　)
A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态
B．汽车经过B处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为μmg
二、非选择题（第8题6分，第9题10分，共16分）
8.在探究平抛运动规律的实验中，利用一管口直径略大于小球直径的直管来确定平抛小球的落点及速度方向(只有当小球速度方向沿直管方向才能飞入管中)，重力加速度为g.
实验一：如图(a)所示，一倾斜角度为θ的斜面AB，A点为斜面最低点，直管保持与斜面垂直，管口与斜面在同一平面内，平抛运动实验轨道抛出口位于A点正上方某处.为让小球能够落入直管，可以根据需要沿斜面移动直管.
(1)以下是实验中的一些做法，合理的是________.
A．斜槽轨道必须光滑
B．安装斜槽轨道，使其末端保持水平
C．调整轨道角度平衡摩擦力
D．选择密度更小的小球
(2)某次平抛运动中，直管移动至P点时小球恰好可以落入其中，测量出P点至A点距离为L，根据以上数据可以计算出此次平抛运动在空中飞行时间t＝________，初速度v0＝________(用L、g、θ表示).
实验二：如图(b)所示，一半径为R的四分之一圆弧面AB，圆心为O，OA竖直，直管保持沿圆弧面的半径方向，管口在圆弧面内，直管可以根据需要沿圆弧面移动.平抛运动实验轨道抛出口位于OA线上可以上下移动，抛出口至O点的距离为h.
(3)上下移动轨道，多次重复实验，记录每次实验抛出口至O点的距离，不断调节直管位置以及小球平抛初速度，让小球能够落入直管.为提高小球能够落入直管的成功率及实验的可操作性，可以按如下步骤进行：首先确定能够落入直管小球在圆弧面上的落点，当h确定时，理论上小球在圆弧面上的落点位置是________(选填“确定”或“不确定”)的，再调节小球释放位置，让小球获得合适的平抛初速度平抛至该位置即可落入直管.则满足上述条件的平抛运动初速度应满足v＝____________(用h、R、g表示).
9.如图所示，给出一段“S”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝40 m，弯道2比弯道1低h＝8 m，有一直道与两弯道圆弧相切.质量m为1 000 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车所受重力的1.0倍，行驶时要求汽车不打滑，已知重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1；
(2)汽车以速度大小v1进入直道，以P＝20 kW的恒定功率沿直线行驶了t＝10 s，进入弯道2，此时速度大小恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上阻力对汽车做的功；
(3)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道，设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点，计算结果保留2位有效数字).
参考答案
1.解析：C 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向上向下落的运动和水平方向上随风飘的运动，两个分运动同时发生、相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误.
2.解析：B 根据题意可知，潜艇在x轴方向上做匀速直线运动，y轴方向上先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，则x -y运动轨迹的图形在x轴上取相邻的距离相等的几段距离，时间相等，y轴上对应时间下降的距离先增大后减小.故选B.
3.解析：C 由题意可得，对球1，有tan α＝＝，对球2，有tan β＝，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确.
4.解析：B 由几何关系可知，水流冲击挡板时，水流的速度方向与水平方向成60°角，则有 ＝tan 60°，所以水流速度为v＝ ＝2v0，根据题意知被冲击后的挡板的线速度为v′＝v＝v0，所以水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为ω＝ ＝ ，故B正确.
5.解析：D 衣服(带水)做非匀变速曲线运动，因为其向心加速度是变化的，故A错误；在竖直方向，根据平衡条件有mg＝μFN，由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有FN＝mω2r，联立解得ω＝，B错误；当ω＝ω0时，水滴打到外桶上，设水滴下落高度为h，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝vt，r2＋x2＝R2，v＝ω0r，联立解得h＝，C错误，D正确.
6.解析：BD 设乘客质量为m，根据力的分解可知，OA水平时，船对C处乘客的作用力为F＝mgcos 30°，故A错误；OA水平时，B处乘客的加速度大小aB＝＝g，故B正确； A处乘客从题图示位置运动至最低点的过程中，当向心加速度在竖直方向的分量大于切向加速度在竖直方向的分量时，合加速度方向向上，A处乘客处于超重状态，故C错误；设整体质量为M，A处乘客运动至最低点时，根据动能定理得MgL(cos 30°－cos 60°)＝Mv，在最低点，对A处乘客，有FA－mg＝m，解得FA＝mg，B处乘客运动至最低点时，根据动能定理得MgL(1－cos 60°)＝Mv，在最低点，对B处乘客，有FB－mg＝m，联立解得FB＝2mg，可得＝，故D正确.
7.解析：AC 小车经过A处时具有向下指向圆心的向心加速度，处于失重状态，经过C处时具有向上指向圆心的向心加速度，处于超重状态，A正确；在B、C处受向下的重力mg、向上的弹力FN ，由圆周运动有FN－mg＝，得车对轨道的压力FN′＝FN＝mg＋＞mg，故在B、C处处于超重，以同样的速度行驶时，R越小，压力越大，越容易爆胎，故在半径较小的C处更容易爆胎，B错误；在C处所受的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ，D错误；要使车安全行驶，不脱离地面，故经过A处时恰不离开地面，有mg＝，即安全行驶的速度不得超过 ，C正确.故选AC.
8.答案：(1) B　(2) 　　(3)确定　g
解析：(1)斜槽轨道不需要光滑也不需要平衡摩擦力，只要抛出时每次速度相同即可，故A、C错误；为保证小球做的是平抛运动，抛出时速度要水平，则安装斜槽轨道，使其末端保持水平，故B正确；为减小空气阻力的影响，应选择密度更大的小球，故D错误.故选B.
(2)由抛出到P点的过程，根据平抛运动规律有
tan θ＝＝，Lcos θ＝v0t
解得t＝，v0＝ .
(3)h一定时，设落点与O点连线与水平方向夹角为α，根据位移规律tan α＝
落点处速度方向的反向延长线过O点，则tan α＝
联立解得h＝gt2，h一定，则用时一定，竖直方向下落高度一定，则落点位置是确定的.
由以上分析可知，竖直方向下落高度为gt2＝h
用时t＝
根据几何关系(h＋h)2＋(v0t)2＝R2
解得v＝g.
9.解析：(1)汽车沿弯道1中心线行驶的最大速度为v1，有kmg＝m
解得v1＝10 m/s.
(2)汽车沿弯道2中心线行驶的最大速度为v2，有kmg＝m
解得v2＝20 m/s
在直道上由动能定理有
Pt＋mgh＋Wf＝mv22－mv12
代入数据可得Wf＝－1.3×105 J.
(3)由kmg＝m得v＝
可知r增大v增大，若r最大，弧长最小时，则对应时间最短，所以轨迹设计应如图所示
由图可以得到
r2＝2＋r12
代入数据可得r＝12.5 m
由sin θ＝＝＝0.8可知，对应的圆心角为2θ＝106°，线路长度s＝×2πr
最短时间t′＝≈2.1 s.

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