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第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力；
2.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用.
在一个以直角为尊的平民国内，有一天，国内所有的量角器都不翼而飞了，国民都争相承认自己是直角三角形以混淆视听，可在没有量角器的情况，国王该如何正确的判断出谁是直角三角形，
如何快速的结束这场骚乱呢？
问题1：下面的每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.
回答下列问题：
（1）这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
实验结果：
① 5，12，13满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形；
② 7，24，25满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形；
③ 8，15，17满足a2+b2=c2 ，可以构成直角三角形.
13
12
5
25
24
7
17
15
8
问题2：从上述问题中，你能发现什么结论吗？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？
下面我们一起来讨论一下：
思考
在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断△ABC是直角三角形？请说明理由.
简要说明：
作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB，在C1N上截取C1A1=b=CA，连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得A1B12=a2+b2=AB2 .
所以A1B1=AB ，所以△ABC ≌△A1B1C1 （SSS）.
所以∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.
c
b
a
M
N
C1
B1
A1
C
A
B
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
这个结论称为“勾股定理的逆定理”。
A
B
C
c
a
b
符号语言：
在△ABC 中，
若 a2 + b2 = c2
则△ABC 是直角三角形。
归纳小结
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数。
A
B
C
c
a
b
常见的勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等。
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k（k 为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数。
到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
判定三角形是否是直角三角形的两种方法：
边
角
（1）找三角形的最长边；
（2）计算较短两边的平方和与最长边的平方；
（3）若两者相等，则是直角三角形，若不相等，则不是直角三角形
若三角形中有一个角为直角，则是直角三角形，否则不是直角三角形
方法总结
一个零件的形状如图所示，
按规定这个零件中∠A和∠DBC
都应为直角。工人师傅量得这个
零件各边尺寸如图所示，这个
零件符合要求吗？
典型例题
解：在△ABD中，AB2 + AD2 = 9 + 16 = 25 = BD2，
所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角。
在△BCD 中，BD2 + BC2 = 25 + 144 = 169 = CD2，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角。
因此，这个零件符合要求。
勾股定理的逆定理
内容
如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形。
注意
最长边不一定是 c，∠C 也不一定是直角。
勾股数一定是正整数。
1.下列各组数是勾股数的是（ ）
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
A
2.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.
解：△ABE，△DEF，△FCB均为
直角三角形.
由勾股定理，得
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25，
则BE2+EF2=BF2，所以△BEF是直角三角形，
所以共有4个直角三角形.
A
B
C
D
E
F

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