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第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
能准确运用勾股定理及逆定理。
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法。
1. 勾股定理的内容是什么？
A
B
C
直角三角形
a2 + b2 = c2
2. 勾股定理的逆定理是什么？
a2 + b2 = c2
直角三角形
知识回顾
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB。
（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
A
B
C
D
用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长，
若 AD2 + AB2＝DB2，
则 ∠A＝90°，即AD⊥ AB。
（2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm。边 AD 垂直于边 AB 吗？
A
B
C
D
∵ AD2 + AB2＝302 + 402 ＝ 2500，
DB2 ＝502 ＝ 2500，
∴∠A＝90°，即AD ⊥ AB。
所以边 AD 垂直于边 AB 。
A
B
C
D
（3）如果李叔叔随身只带了一把长度为 20 cm 的刻度尺，
那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？
能检验。
在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F。
E
F
因为 12? + 16? = 20?，
用刻度尺测 EF 长度，
若 EF = 20 cm，
根据勾股定理逆定理，AD⊥ AB；
若 EF ≠ 20 cm，则 AD 不垂直 AB。
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F。你能求出 DF 的长吗？
A
D
B
C
G
E
F
x
4
8－x
8－x
解：∵点 E 是边 AD 的中点，
∴ DE = ???????? AD = 4 cm。
?
设 DF = x cm，
则 CF = EF = (8－x) cm，
在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2，
则 42 + x2 = (8－x)2，解得 x = 3。
∴DF 的长为 3 cm。
尝试·思考
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)
B
O
C
A
题目大意：有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
典型例题
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺。
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺。
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2。
解得 x = 12。
12 + 1 = 13。
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺。
B
O
C
A
勾股定理的应用
求直角三角形的边长
勾股定理的实际应用问题
1. 五根小木棒的长度分别是 7 cm，15 cm，20 cm，24 cm，
25 cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个
图形中哪个是正确的？
15
15
20
25
24
20
7
7
7
24
25
20
24
25
15
（1）
（2）
（3）
72 + 242 = 252
152 + 202 = 252
（2）正确
2. 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile 和 16 n mile，1 h 后两船分别位于点 A，B 处，且相距 20 nmile，已知甲船沿北偏西 40°方向航行，则乙船沿___________方向航行。
北偏东 50°
3. 如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图。在△ABC 中，
AB 边上的垂直平分线 DE 与 AB，AC 分别交于点 D，E，
CB2 ＝AE2 －CE2，根据安全标准，该零件需满足 AC ⊥ BC。
（1）判断该零件是否符合标准，并说明理由；
（2）若量出 AC ＝4 cm，BC ＝3 cm，求 CE 的长。
解:（1）该零件符合安全标准，理由如下:
如图，连接 BE。因为 DE 是线段 AB 的垂直
平分线，所以 AE ＝ BE。
因为 CB2 ＝ AE2 －CE2，
所以 CB2 ＝ BE2 －CE2，
所以 CB2 ＋ CE2 ＝BE2，
所以△BCE 是直角三角形，且∠C ＝90°，
所以 AC ⊥ BC，所以该零件符合安全标准。
（2）设 CE ＝ x cm。
在Rt△BCE 中，BE ＝AE ＝AC－CE ＝(4－x) cm，
BC ＝3 cm，
由勾股定理，得 BE2 ＝CE2 ＋ BC2，
即(4－x)2 ＝x2 ＋32，解得 x ＝ ，
所以 CE 的长为 cm。
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