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第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
1. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，
发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯.
2. 能灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.
回顾前面学过的内容，回答问题：
1.勾股定理的内容是什么？
直角三角形 → a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2 → 直角三角形
2.勾股定理的逆定理是什么？
A
C
B
a
b
c
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否
分别垂直于底边 AB.
（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
A
B
C
D
用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长，
若 AD2 + AB2＝DB2，
则 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
探究点：勾股定理与其他几何知识的综合运用
（2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗
A
B
C
D
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，
DB2＝502＝2500，
∴∠A＝90°，即AD⊥AB.
所以边 AD 垂直于边 AB
A
B
C
D
能检验.
在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F.
因为 12 + 16 = 20 ，
用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm，
根据勾股定理逆定理，AD⊥AB；
若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB.
(3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗
E
F
设 DF = x cm，则 CF = EF = (8 - x) cm，
在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2，
则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3.
∴DF 的长为 3 cm.
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗
解：∵点 E 是边 AD 的中点，∴ DE = AD = 4 cm.
尝试·思考
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm
B
练一练
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.
这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
B
O
C
A
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
B
O
C
A
例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离.
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.
北
C
B
A
D
东
解：如图，过点 B 作 BE∥AD.
∴∠DAB = ∠ABE = 53°.
∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°，
∴∠CBA = 90°.
∴AC = BC + AB = 300 + 400 = 500 .
∴AC = 500 m，
即 A、C 两点间的距离为 500 m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在
数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题.
北
C
B
E
A
D
东
勾股定理的应用
解决其他的实际问题
解决折纸问题、古文化问题
判断两直线是否垂直
勾股定理
勾股定理的逆定理
1. 小明家新买了一个长方体形状的鱼缸，如图所示，小明想要检测鱼缸的边DA是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，量得DA长60 cm，AB长80 cm，点B，D之间的距离是100 cm，边DA垂直于边AB吗 为什么
解：边DA垂直于边AB.理由：连接BD，如图.
因为DA +AB =60 +80 =10 000，BD =10 =10 000，
所以DA +AB =BD ，
所以△ABD是直角三角形，且∠DAB=90°，
所以边DA垂直于边AB.
2. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？
解：设这个梯子能够到达的墙的最大高度是h m，
根据勾股定理得h2＝152-92＝144.
所以h=12＞11.7.
所以15 m长的云梯能达到墙的顶端.
3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
解：设滑道AC=x m，则AB=x m，AE=(x-1)m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理，得AE2+CE2=AC2，
即(x-1)2+32=x2，解得x=5.
故滑道AC的长度为5 m.
A
E
B
C
D

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