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第一章 勾股定理
1.1 课时2 勾股定理的验证和简单应用
1.进一步了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程.
2.学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.
3.能够利用勾股定理解决简单的实际问题.
上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？
直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2。
A
C
B
a
b
c
知识回顾
你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。
b
a
c
如何计算大正方形的面积呢？
为了计算大正方形的面积，小明进行了适当的割补，如图所示.
a
c
b
割
补
a
c
b
毕达哥拉斯证法
a
c
b
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，即
a2 +b2 =c2.
证明：
S正方形ABCD =4S直角三角形+ S大正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab
A
B
C
D
∵S正方形ABCD=(a+b)2=a2+b2+2ab，
赵爽弦图
a
c
b
a
b
c
a-b
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(a-b)2，
又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
赵爽弦图证法
a-b
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
总统证法
b
a
a
b
c
c
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入图
勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多.其中一种方法尤为独特，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们欣赏几个！
勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图①称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要
图案（如图②）就取材于此图。
①
②
在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这 10 s 的平均速度吗？
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
典型例题
400 m
500 m
C
B
公路
A
分析：根据题意，可以画出右图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题。
解：由勾股定理，可以得到
AB2 = BC2 + AC2，
也就是 5002 = BC2 + 4002，
所以 BC = 300 m。
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，
那么它平均每秒行驶
300÷10 = 30 (m)，
因此，蓝方汽车这 10 s 的平均速度为 30 m/s。
400 m
500 m
C
B
公路
A
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。
b
a
c
b
a
c
思考·交流
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2。
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
1.如图是某沿江地区交通平面图的一部分（单位：km），为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是 5000 万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
解：可以计算出 MO、OQ
长度分别为 50 km，130 km，
合计长度为 180 km，建设成本预计为 90 亿元。
30
40
50
120
2.如图，笔直的公路上 A，B 两点相距 25 km，C，D 为两村庄，
DA ⊥ AB 于点 A，CB⊥ AB 于点 B，已知 DA ＝ 15 km，
CB ＝ 10 km，现在要在公路的 AB 段上建一个土特产品收购
站 E，使得 C，D 两村到收购站 E 的距离相等，则收购站 E 应建在离 A 点多远处？
解：因为DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，所以∠A=∠B=90°，所以 AE2+AD2=DE2 ，BE2+BC2=EC2 。
由题意可知 DE=EC，所以 AE2 +AD2=BE2+BC2 。
设 AE=x km，则 BE=AB－AE=(25－x) km。
因为 DA=15 km，CB=10 km，
所以 x2 +152=(25－x)2+102 ，
解得 x=10，所以 AE=10 km。
所以收购站 E 应建在离 A 点 10 km 处。
勾股定理的验证和简单应用
拼图验证
应用
1.拼出图形
2.写出图形面积的表达式
3.找出相等关系
4.得出勾股定理

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