资源简介

1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
1.了解直角三角形的判定条件．（重点）
2.能够运用勾股数解决简单实际问题． （难点）
学习目标



问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处.
导入新课

下面的每组数分别是一个三角形的三边长a, b, c，而且都满足 a2+b2=c2：
①3,4,5；②5,12,13; ③8,15,17；④7,24,25.
分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流。
讲授新课
思考·交流
可以构成直角三角形
从上述问题中，能发现什么结论吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
有同学认为测量结果可能有误差,不同意
这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给
出一个更有说服力的理由吗?
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证明结论
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 .
所以 A1B1=AB ，所以 △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS）
所以 ∠C=∠C1=90°，
所以 △ABC是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
A
C
B
a
b
c

　 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
【提示】勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
归纳总结
练习：下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(3) a:b: c=3:4:5;
解：设a=3k,b=4k,c=5k,
因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角.
【归纳】根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
归纳总结
练习.下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
【方法点拨】根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
例.一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
练习：如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝12，CD＝13，DA＝4，且∠DAB＝90°，求这个四边形的面积．
分析：四边形ABCD是不规则的四边形，连接BD把四边形ABCD转化成两个三角形，△ABD是直角三角形，其面积可求出，若△BCD也是直角三角形的话，四边形ABCD的面积便可求得．
解：连接BD.
在△ABD中，∠DAB＝90°，
∴BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝25，
∴BD＝5.
在△BDC中，BD2＋BC2＝52＋122＝25＋144＝169，CD2＝132＝169，
∴BD2＋BC2＝CD2，
∴△BDC是直角三角形．
∴∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△DAB＋S△BDC＝ ×3×4＋ ×5×12＝36.
回顾·反思
回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法?
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )
A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
当堂检测
4. 已知?ABC中，BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
5. 以?ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144, 169, 则这个三角形是______三角形.
直角
直角
∠A
3. 已知x、y为正数，且│x-4│+（y-3 )2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A.5 B.25 C.7 D.15
B
6.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.
4
1
2
2
4
3
解:3个：△ABE，△DEF，△FCB.
由勾股定理知
BE2=22+42=20，
EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25,
所以BE2+EF2=BF2,
所以 △BEF是直角三角形.
7.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理,
得BD2=AB2+AD2，所以BD=5cm，
又因为 CD=12cm，BC=13cm,
所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.
S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD = 12BD?CD－ 12 AB?AD
= 12(5×12－3×4)=24 cm2．
?
C
B
A
D
变式.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积.
解: 因为 S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
所以 AC=5 cm,
又因为
所以△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
所以
D
C
B
A
一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
课堂小结

展开更多......

收起↑