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1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
第一章 勾股定理
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三 边之间的数量关系．（重点）
2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）
学习目标
如图 1-1，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索?
在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关为系。事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧!
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思考·交流
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系。与同伴进行交流。
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-2
（2）如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流。
思考：
在这幅图中，边长的平方如何刻画？
用正方形A，B，C的面积刻画，就是证SA+SB=SC.
我们的猜想如何验证？
你用什么办法计算面积呢？
测量、数格子
可以用什么办法计算C的面积呢？
方法一：割
方法二：补
C
B
A
可把正方形C分成两个全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面积
C
B
A
可把正方形C分成四个全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面积
C
B
A
可在正方形C外边圈一个大正方形用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求得正方形C的面积
方法三：拼
（2）对于图1-3中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？
16
16
9
9
25
25
正方形A中含有 个小方格，
即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，
即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，
即C的面积是 个单位面积；
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-3
由以上计算A，B ， C三个图形的面积，我们能得到什么结论？
SA+SB=SC
（3）如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。
【结论】以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
双击图标
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
总结归纳
定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
勾股定理
求下列直角三角形中未知边的长:
8
x
17
12
5
x
解：由勾股定理可得：
82+ x2=172
即:x2=172-82
x=15
解:由勾股定理可得：
52+ 122= x2
即：x2=52+122
x=13
练一练
例1. 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得，
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
所以 12AC×BC= 12 AB×CD
所以 CD= 125 .
?
A
D
B
C
3
4

解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
所以BD＝16；
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
所以CD＝9.
所以BC＝BD＋CD＝25，
所以△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
例2. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
【方法点拨】题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
所以BC＝BD－CD＝7，
所以△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
尝试·思考
在情境导入的问题中，需要多长的钢索？
从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索?
解：由勾股定理可得：
82+ 62=x2
即:x2=100
x=10
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm?
当堂检测
2. 求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得：
81+ 144=x2
即:x2=225
x=15
解：由勾股定理可得：
y2+ 144=169
即:y2=25
y=5
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=6，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
10
5
D
5.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
B
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
答：梯脚与墙的距离是0.7米.
6.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得:
152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64，
所以 x=±8（负值舍去），
所以另一直角边长为8 cm，
所以直角三角形的面积是:
(cm2).
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
所以：售货员没搞错。
荧屏对角线大约为74厘米
想一想
因为?：582+462=5480????742=5476
?
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：
A
B
C
穿越毕达哥拉斯做客现场
正方形A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
+
=
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
知识链接
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
课堂小结

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