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1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
学习目标
1.应用“勾股定理”解决实际问题。体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径”的问题。树立转化思想。
2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。
3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗
导入新课
解:连接对角线BD，只要分别量出AD、AB、BD的长度即可.
AD2+AB2=BD2
△ABD为直角三角形
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
由勾股定理的逆定理，得∠DAB=90°
所以AD边垂直于AB边.
A
B
C
D
A
B
C
D
（3）如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN的长度是否是15，若是，则AD边垂直于AB边；若不是，则不垂直.
M
N
尝试·思考
如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落在点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？
解：设DF的长为xcm.由折叠可知CF=EF
∵CD=8cm
∴CF=EF=（8-x）cm
∵AD=8cm,点E为边AD的中点
∴DE=4cm
在直角三角形DEF中,由勾股定理得：
DE2+DF2=EF2 即 42+x2=（8-x）2
解得：x=3
∴DF的长为3cm。
例：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意:如图1-18，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
解：设水池的水深OA为x尺，
则这根芦苇长OB=OC=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，AC=5尺
由勾股定理得，AC2+OA2=OC2
即 52+ x2= (x+1)2
解得 x=12
12+1=13.
答：水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
练习：在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
8 米
6米
8 米
6米
A
C
B
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
所以这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
【方法点拨】此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．
1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
B
当堂检测
2. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
A
B
D
C
O
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
所以OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
3. 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
4. 如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．
解：如图，过点B作BE∥AD.
所以∠DAB＝∠ABE＝53°.
因为37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
所以∠CBA＝90°，
所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，
所以AC＝500m，
即A、C两点间的距离为500m.
E
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
课堂小结

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