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章末复习
第一章 勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着怎样的关系
2、举例说明如何判断一个三角形是否为直角三角形。
3、请你列举一个生活中的实际问题，并运用勾股定理解决它4、你了解勾股定理的历史吗 请查阅资料，并与同伴进行交流。
5、梳理探索勾股定理的方法，你积累了哪些经验
回顾与思考
勾股
定理
探索勾股定理
拼图验证法
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果用a，b分别表示直角三角形的两直角边，用c表示斜边，那么a2+b2=c2.
勾股定理的内容
直角三角形的判别条件
勾股定理的应用
判断直角三角形看三边长是否满足a2+b2=c2（c为最大边长）
勾股数：满足a2+b2=c2
在直角三角形中，已知两边长高求第三边长
求立体图形表面上两点间的最短距离
复习回顾
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
A
C
B
b
a
c
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
a2+b2=c2.
知识点1.勾股定理
知识梳理
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
高频考点一 勾股定理及其验证
（1）在△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 3，CD⊥AB 于点 D，则 CD = _______.
解析：由勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52-32 = 16，
所以 AC = 4.
因为 S△ABC = AC·BC = AB·CD，
1
2
1
2
所以 CD = = .
12
5
AC·BC
AB
12
5
（2）若有理数 m，n 满足 |m－3| ＋(n－4)2 ＝ 0，且 m，n 恰好是直角三角形的两边长，则该直角三角形的斜边长为___________.
解析：因为 |m－3| ＋(n－4)2 ＝0，所以 m ＝3，n ＝ 4.
分两种情况讨论：①当 m，n 都是直角边长时，易求得直角三角形的斜边长为 5；
②当 n 是斜边长时，斜边长为 4.
5 或 4
（3）在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，BC，AC，AB
的长分别为 a，b，c，若 a + b = 14，c = 10，则 △ABC 的面积为________.
解析：由勾股定理，得 a2 ＋b2 ＝ c2 ＝100.
因为 a＋b ＝ 14，所以 (a＋b)2 ＝ 196，
即 a2＋b2 ＋2ab ＝196，所以 100＋2ab ＝196，
所以 ab ＝48，所以 S△ABC = ab = ×48 = 24 .
24
知识点2.勾股定理的证明
赵爽弦图
S大正方形=c2
=(b-a)2+4× ab
化简结果，得c2=a2+b2.
数学思想：
数形结合思想
特殊到一般的思想
转化思想
分类讨论思想
毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法
重新组合
S左=a2+b2+4× ab
S右=c2+4× ab
因为S左=S右
所以a2+b2=c2
加菲尔德：梯形面积法
题设：Rt△ABC≌Rt△CDE
易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形
S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE
即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2
化简得：a2+b2=c2
达芬奇证明方法：
如何判定一个三角形是直角三角形呢？
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
勾股定理的逆定理
几何语言：
因为a2+b2=c2，
所以△ABC是直角三角形.
想一想
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
高频考点二 勾股定理的逆定理及其应用
如图，A，B，C，D 四点都在由边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上.
（1）你能判断 AD 与 CD 的位置关系吗？请说明理由.
（2）AD 与 BC 平行吗？请说明理由.
解：如图，连接 AC，BD. 根据网格可知：
AD2 = 22 + 12 = 5，CD2 = 42 + 22 =20，
AC2 = 52 = 25，BC2 = 32 + 22 = 13，
BD2 = 22 + 52 =29.
（1）AD⊥CD. 理由如下：
因为 AD2 + CD2 = 5 + 20 = 25 = AC2，
所以△ACD 是直角三角形，∠ADC = 90°，所以 AD⊥CD.
（1）你能判断 AD 与 CD 的位置关系吗？请说明理由.
（2）AD 与 BC 平行吗？请说明理由.
（2）AD 与 BC 不平行. 理由如下：
因为 CD2 + BC2 = 20 + 13 = 33 ≠ BD2，
所以∠BCD ≠ 90°.
由（1）知∠ADC = 90°，
所以∠ADC + ∠BCD ≠ 180°，
所以 AD 与 BC 不平行.
知识3.勾股定理的应用
实际问题
转化
建模
数学问题
高频考点三 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10 m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处往上爬到树顶 A 处，又沿滑绳 AC 到达 C 处，另一只猴子从 D 处下滑到 B 处，再由 B 处跑到 C 处.已知两只猴子所经过的路程都为 15 m，求树高 AB.
解：设 AD = x m，则 AC = (15-x) m，
AB = (x+10) m，BC = 15-BD = 5 m.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
AB2 + BC2 = AC2，
即 (x+10)2 + 52 = (15-x)2，
解得 x = 2，所以 AB = 12 m.
答：树高 AB 为 12 m.
如图 ① 是一底面周长为 24 m，高为 6 m 的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面 1 m 的 A 处沿侧面爬行到对角 B 处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程.
高频考点四 利用勾股定理解决立体图形中的问题
【分析】画出圆柱的部分展开图，将所求问题转化为平面内的距离问题求解即可.
解：如图②，将圆柱侧面沿 AC 和 BD 剪开，
将曲面平铺在平面上，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，
连接 AB.
因为油罐的底面周长为 24 m，高为 6 m，
所以 AE ＝ ×24＝12 (m)，BE＝6－1＝5 (m).
在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得
AB2 ＝AE2＋BE2 ＝122 ＋52 ＝169，
所以 AB ＝ 13 m.
所以老鼠爬行的最短路程为 13 m.
高频考点五 “勾股树” 中的面积问题
如图是一株美丽的“勾股树”，其作法为：从正方形 ① 开始，以它的一边为斜边，
向外作等腰直角三角形，然后再以等腰直角三角形的直角边为边，分别向外作两个正方形，记其中一个为 ②. 依此类推，若正方形 ① 的面积为 16，则正方形 ③ 的面积为__________.
4
解析: 正方形 ① 的面积为 16，由三角形为等腰直角三角形及勾股定理，可得正方形 ② 的面积是正方形 ① 面积的一半，即为 8. 同理可得正方形 ③ 的面积为 4.
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A.a=1.5，b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25
C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5
D
A
当堂检测
（1）8，15，17； （2）7，12，15；
（3）12，15，20； （4）7，24，25.
能
不能
不能
能
82 + 152 = 172
72 + 122 ≠ 152
122 + 152 ≠ 202
72 + 242 = 252
3. 判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.
4．如果直角三角形的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1）， 那么它的斜边长是（　　）
A.2n B.n+1 C.n2－1 D.n2+1
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
D
A
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________.
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7. B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）,
乙船航行的距离为BP= 30（n mile）．
∵162+302=1156，342=1156,
∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° ,
∴乙船是沿着南偏东300 方向航行的．
回顾本节课的内容，你获得哪些知识？
课堂小结

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