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题型八 几何综合题
1.如图，在四边形ABCD中，点N，M分别在边BC，CD 上，∠MAN=45? ．
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（1）如图（1），四边形ABCD是正方形，连接MN ．
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①若CN=6，MN=10，求∠CMN 的余弦值；
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【参考答案】∵四边形?ABCD 是正方形，
∴∠?C=90? .
∵?CN=6,?MN=10 ，
∴在Rt△CMN中，?CM=MN2?CN2=8 ，
∴cos∠CMN=CMMN=810=45 ．
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②若tan∠BAN=13，求证：M是CD 的中点.
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证明：∵ 四边形?ABCD 是正方形，
∴?AB=?BC=?CD=?AD，∠?ABC=∠?BAD=∠?D=90? .
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图（1）
如图（1），将△?ADM绕点?A顺时针旋转90? ，得到△?ABE
（点拨：由“半角”模型联想到作旋转变换），
则∠?EAM=90? ，?BE=?DM，?AE=?AM ，
∠?ABE=∠?D=90? ，
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∵∠?MAN=45? ，
∴∠?EAN=90??45?=45? ，
∴∠?MAN=∠?EAN .
在△?AMN和△?AEN 中，
&AM=AE,&∠MAN=∠EAN,&AN=AN,
∴△AMN≌△AEN(SAS) ，
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∴?????，?????,????? 三点共线.
∴?MN=?EN .
∵?EN=?BE+?BN=?DM+?BN ，
∴?MN=?BN+?DM .
设?DM=?m,?BN=?n，则?MN=?m+?n .
∵ 在Rt△ABN中，tan∠BAN=13 ，
∴BNAB=13 ，
∴?AB=3?BN=3?n ，
∴?CN=?BC??BN=2?n,?CM=?CD??DM=3?n??m ，
?
∴ 在Rt△CMN中，由勾股定理得(2?n)2+(3n?m)2=(m+n)2 ，
整理得2?m=3?n ，
∴?CM=2?m??m=?m ，
∴?DM=?CM ，
即?M是?CD 的中点.
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（2）如图（2），四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠C=90? ，
CD=12，AD=16，CN=12，求DM 的长．
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【答案】∵?AD//?BC，∠?BCD=90? ，
∴∠?D=90? .
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图（2）
如图(2),将△?ADM绕点?A顺时针旋转90? ,得到△?APF,过点?P作?DC的垂线,
交?DC的延长线于点?G ，延长?AN交?FG于点?H，连接?HM ，
同理(1)②可证△?AMH≌△?AFH ，
∴?MH=?FH .
?
过点?B作?BK⊥?AP于点?K ，
易知四边形?AKCD，?APGD，?KPGC 都是矩形，
∴?AD=?KC=?PG=16，?AK=?CD=12,?KP=?CG ，
∴?KN=?KC??CN=16?12=4 .
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由旋转知?AP=?AD=16 ，
∴?KP=?AP??AK=16?12=4 ，
∴?CG=4 .
∵?PG//?KC ，
∴△?AKN?△?APH ，
∴KNPH=AKAP，即4PH=1216 ，
∴?PH=163 ，
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图（2）
∴?HG=?PG??PH=16?163=323 .
设?DM=?a，则?PF=?a，?MG=16??a ，
∴?FH=163+?a ，
∴?MH=?FH=163+?a ，
∴ 在Rt△?GHM 中，由勾股定理得
(323)2+(16??a)2=(163+?a)2 ，
解得?a=8 ，
即?DM 的长是8.
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2.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60? ，AB=4，点E为线段BC 上一个动点.
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（1）边AB关于AE对称的线段为AF ．
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①当AF平分∠DAE时，∠BAE 的度数为____;
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20?
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【解析】解法提示：∵?AB，?AF关于?AE 对称，
∴∠?BAE=∠?EAF .
∵?AF平分∠?DAE ，
∴∠?DAF=∠?EAF ，
∴∠?FAE=∠?DAF=∠?BAE .
∵∠?DAB=60? ，
∴3∠?BAE=60? ，
∴∠?BAE=20? ．
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②连接DF并延长，交射线AE于点G，当BE=2时，求AG 的长．
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【参考答案】第一步：构造直角三角形，求出?AE 的长.
如图（1），过点E作EH⊥AB交AB的延长线于点H .
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图（1）
∵ 在菱形ABCD中，∠DAB=60? ，
∴∠ABC=180??60?=120? ，
∴∠EBH=60? .
∵BE=2 ，
∴BH=BEcos?60?=2×12=1，EH=BEsin?60?=2×32=3 ，
∴AH=AB+BH=4+1=5 ，
∴AE=AH2+HE2=27 .
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图（1）
第二步：连接EF，证明△FGE?△ABE ，再由相似三角形的对应边成比
例求出EG的长，即可求出AG 的长.
连接EF，设∠BAE=α .
∵AB，AF关于AE 对称，
∴AF=AB=4，EF=BE=2，∠AEB=∠AEF，
∠BAE=∠EAF=α ，
∴∠DAG=60??α ，∠DAF=60??2α .
∵AD=AF=4 ，
∴∠ADF=180??∠DAF2=60?+α ，
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图（1）
∴∠FGE=∠DAG+∠ADG=120? ，
∴∠FGE=∠ABE .
又∵∠FEG=∠AEB ，
∴△FGE?△ABE ，
∴EFAE=EGEB，即227=EG2 ，
∴EG=277 ，
∴AG=AE?EG=27?277=1277 ．
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图（1）
（2）连接AC，点M为线段AC上一动点（不与点A，C 重合），且
BE=3CM，求DE+3DM 的最小值．
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【答案】第一步：构造相似三角形，将3DM 转化为某条线段的长.
如图（2），过点D作DP⊥AC于点P .
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图（2）
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，AP=CP=12AC .
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∵∠BAD=60? ，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCA=30? ，
∴CPCD=cos?30?=32 ，
∴AC=3CD .
过点B作AC的平行线，交DC的延长线于点N，连接EN ,
则∠CBN=∠ACB=30? ，
∴∠EBN=∠DCM .
∵DN//AB ，
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图（2）
∴ 四边形ABNC 是平行四边形，
∴AC=BN,CN=AB=4 ，
∴DN=8，BN=3CD .
∵BE=3CM ，
∴BNCD=BECM=3 ，
∴△BEN?△CMD ，
∴ENDM=BECM=3 ，
∴EN=3DM ,
∴DE+3DM=DE+EN .
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第二步：求DE+EN的最小值，即可得到DE+3DM 的最小值.
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∵DE+EN≥DN ，
∴ 当D，E,N三点共线，即点E与点C重合时，DE+EN 取最小值，最小值
即为DN 的长，
∴DE+3DM 的最小值为8．
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图（2）
3.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，点D为边BC的中点，点E为边AB
上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转60? 得到线段DF，射线DF与边AC
相交于点G（点G与点A不重合），连接CF，EG ．
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（1）求证:△BED?△CDG .
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【参考答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60? .
又由旋转知∠EDG=60? ，
∴∠EDB+∠BED=∠EDB+∠CDG=120? ，
∴∠BED=∠CDG ，
∴△BED?△CDG .
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（2）点E在边AB上运动的过程中，△AEG 的周长是否会发生变化?若不变，
求△AEG 的周长；若变化，请说明理由.
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图（1）
【答案】点E在边AB上运动的过程中，△AEG 的周长始终不变.
如图（1）,在EG上取点M使得EM=EB ,并连接DM,过点D作DN//AB交
AC于点N .
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由（1）知△BED?△CDG ,
∴EDDG=BECD .
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又点D为边BC 的中点，
∴BD=CD=3 ,
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∴EDDG=BEBD .
又∠EDG=∠B=60? ,
∴△EDG?△EBD ,
∴∠BED=∠DEG .
∵EB=EM,∠BED=∠DEM,DE=DE ,
∴△EBD≌△EMD ,
∴∠EMD=∠B=60? ,DM=BD=DC ,
∴∠DMG=120? .
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图（1）
∵DN//AB ,
∴∠CDN=∠B=60? ,∠CND=∠A=60? .
又∠ACB=60? ,
∴△DCN 为等边三角形,
∴DC=DN=CN=3,∠DNG=120? ,
∴DM=BD=DN,∠DMG=∠DNG .
易得∠EGD=∠EDB=∠DGC ,
∴△GMD≌△GND ,
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图（1）
∴MG=GN ,
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+EM+MG+AG
=AE+EB+AG+GN=AB+AN=9 ,
∴△AEG 的周长始终不变,其值为9.
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图（1）
（3）设△CDF的面积为S1，△CGF的面积为S2，若S1=3S2，求△AEG 的
内切圆半径．
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图（2）
【答案】由题意分以下两种情况.
①如图（2）,当点F在△ABC内时,过点F 分别作
FH//BC交AC于点H，FK//AC交BC于点K .
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∵S1=3S2 ,
∴FD=3GF .
∵FH//BC,FK//AC ,
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∴ 四边形FHCK为平行四边形，GFFD=GHHC=13, ∠FKB=∠ACB=60? ,
∴HC=FK,FH=KC,∠FKB=∠B .
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∵∠BED=∠CDG,DE=DF ,
∴△BDE≌△KFD ,
∴FK=BD=HC=3 ,
∴GH=1 ,
∴GC=4 ,
∴AG=6?4=2 .
由△BED?△CDG,得BDCG=BECD,即34=BE3 ,
∴BE=94 ,
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图（2）
∴AE=154 .
由（2）得AE+EG+AG=9 ,
∴EG=134 .
易得点D到线段BE,EG,GC的距离均为332 ,
S△ABC=93 ,
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图（2）
∴S△AEG=S△ABC?S△BDE?S△CDG?S△EDG=93?12?BE?332?12?CG?332?12?EG?332=1538 .
设△AEG的内切圆的圆心为O,半径为r,过点O作OP⊥EG于点P,OQ⊥AG 于
点Q，OR⊥AE于点R .
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图（2）
连接OA，OE，OG ，则
S△AEG=S△AOE+S△EOG+S△AOG=12AE?OR+12EG?OP+12AG?OQ=12r(AE+EG+AG)=92r=1538 ,
∴r=5312 .
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图（2）
②如图（3）,当点F在△ABC外时,过点F作FH//BC交AC于点H .
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图（3）
∵S1=3S2,∴FGDF=13 .
同①得CH=3，从而CG=2,AG=6?2=4 .
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由△BDE?△CGD,得BDCG=BEDC,即32=BE3 ,
∴BE=92 ,
∴AE=32 ,
∴EG=9?AE?AG=72 .
同①得S△AEG=S△ABC?S△BDE?S△EDG?S△CDG=332=9r2 ,
∴r=33 .
综上所述，△AEG的内切圆的半径为33或5312 .
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图（3）
4.如图，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长
度的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA对称的△PAB′ ，设点
P的运动时间为t 秒．
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（1）若AB=23 ．
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①连接AC,当点B′落在AC上时，求t 的值；
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【参考答案】当点B′落在AC 上时，如图（1）.
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图（1）
∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90? ，
∴AC=AB2+BC2=(23)2+32=21 .
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由对称知∠AB′P=∠B=90? ，AB′=AB=23，B′P=BP ，
∴∠B=∠PB′C=90? ，?B′C=AC?AB′=21?23 .
又∵∠PCB′=∠ACB ，
∴△CB′P?△CBA ，
∴PB′AB=CB′CB，即PB′23=21?233 ，
∴PB′=27?4 ，
∴PB=27?4 ，
∴t=27?4 .
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图（1）
②是否存在t，使得∠PCB′=90? ？若存在，求t 的值；若不存在，请说明
理由.
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【答案】存在.
由题意可知当∠PCB′=90? 时，点B′在CD上或CD 的延长线上.
在矩形ABCD中，CD=AB=23，BC=AD=3，∠ADC=90? .
由对称知AB′=AB=23，B′P=BP=t .
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当点B′在CD上时，如图（2），CP=BC?BP=3?t .
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图（2）
∵ 在Rt△AB′D中，B′D=AB′2?AD2=3 ，
∴B′C=CD?B′D=3 .
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∵ 在Rt△PCB′中，B′C2+CP2=B′P2 ，
∴(3)2+(3?t)2=t2 ，
解得t=2 .
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当点B′在CD的延长线上时，如图（3），CP=t?3 .
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图（3）
∵ 在Rt△AB′D中，B′D=AB′2?AD2=3 ，
∴B′C=CD+B′D=33 .
∵ 在Rt△PCB′中，B′C2+CP2=B′P2 ，
∴(33)2+(t?3)2=t2 ，
解得t=6 .
综上所述，t 的值为2或6.
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（2）当点P不与点C重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t<3
时存在“∠PAM=45?”成立,试探究：对于t>3 的任意时刻,“∠PAM=45? ”
是否总是成立？请说明理由．
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【答案】成立.
理由：当t<3，∠PAM=45? 时，如图（4），
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图（4）
则∠2+∠3=45? ，
∴∠1+∠4=90??45?=45? .
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由对称知∠1=∠2，AB=AB′，∠B=∠AB′P=90? ,
∴∠3=∠4，∠AB′M=∠D=90? .
又∵AM=AM ，
∴△AMD≌△AMB′(AAS) ，
∴AD=AB′=AB ，
∴ 四边形ABCD 是正方形.
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图（4）
图（5）
设∠APB=x，则∠PAB=90??x ，
∴∠DAP=x，∠PAB′=90??x ,
∴∠DAB′=90??2x .
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当t>3 时，如图（5）.
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∵AD=AB′，AM=AM，∠ADM=∠AB′M=90? ，
∴Rt△MDA≌Rt△MB′A(HL) ，
∴∠B′AM=∠DAM ，
∴∠DAM=12∠DAB′=45??x ，
∴∠PAM=∠DAM+∠DAP=45? ．
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图（5）
5.如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，点D为AB的中点，点E，F 分
别为边BC，AC上的动点（点E不与B，C重合），且AF=2BE ．
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（1）求BE 的取值范围；
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【参考答案】∵△ABC是等边三角形,AB=4 ,
∴BC=AC=4 .
∵ 点E,F分别为边BC,AC上的动点，点E不与B,C 重合，
∴0又∵AF=2BE ，
∴0?
（2）若∠DEF=90? ，求BE 的长；
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【答案】如图（1），分别过点D，F作BC的垂线，垂足分别为点G，H .
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图（1）
∵△ABC为等边三角形，AB=4 ，
∴∠B=∠C=60? ，AB=BC=AC=4 .
∵D为AB 的中点，
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∴BD=2 .
设BE=x，则AF=2x ，
∴CF=4?2x .
在Rt△BDG中，DG=BDsin?60?=3，BG=BDcos?60?=1 ，
∴GE=x?1 .
在Rt△CFH中，FH=CFsin?60?=3(2?x)，CH=CFcos?60?=2?x ，
∴EH=BC?BE?CH=4?x?(2?x)=2 .
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∵∠DEF=90? ，
∴∠DEG+∠FEH=90? .
∵∠GDE+∠DEG=90? ,
∴∠GDE=∠FEH .
又∵∠DGE=∠EHF=90? ,
∴△DGE?△EHF ，
∴DGEH=EGFH，即32=x?13(2?x) ，
∴x=85 ，∴BE的长是85 .
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图（1）
（3）求3DE+EF 的最小值．
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图（2）
【答案】如图（2），连接BF，过点F作FH⊥BC于点H ，
过点C作CK⊥AC且CK=43，连接FK，BK .
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在△BDE与△ABF 中，
AB=2BD，AF=2BE，∠DBE=∠A=60? ，
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∴△BDE?△ABF ，
∴BF=2DE .
由（2）知EH=2，CFFH=23 ，
∴CKEH=CFFH=23 .
?
又∵∠EHF=∠FCK=90? ，
∴△EFH?△KFC ，
∴FKEF=CKEH=23 ，
∴FK=23EF ，
∴3DE+EF=32(2DE+23EF)=32(BF+FK)≥32BK ，
∴ 当且仅当B，F，K三点共线时，3DE+EF 取得最小值，最小值为32BK .
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图（2）
过点K作KM⊥BC交BC的延长线于点M ，
则∠KCM=30? ,
∴CM=32CK=2，KM=12CK=23 ，
∴BM=BC+CM=6 ，
∴ 在Rt△KBM 中，
BK=BM2+KM2=62+(23)2=473 ，
∴3DE+EF的最小值为32×473=27 .
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图（2）
6.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG
与CD的延长线交于点F，连接AC，AD，CG，DG， tan∠DGF=m
(m为常数，且m>1) ．
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（1）求证：∠AGC=∠DGF .
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【参考答案】证明：∵直径AB⊥ 弦CD ，
∴AC?=AD? （依据：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧），
∴∠AGC=∠ACD .
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∵四边形ACDG内接于⊙O ，
∴∠ACD+∠AGD=180? .
∵∠DGF+∠AGD=180? ，
∴∠ACD=∠DGF ,
∴∠AGC=∠DGF .
?
（2）求AG?AFCE2的值（用含m 的式子表示）.
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【答案】∵∠AGC=∠ACD，∠CAG=∠FAC ，
∴△ACG?△AFC ，
∴ACAF=AGAC ，
∴AC2=AG?AF .
∵∠DGF=∠ACD，tan∠DGF=m ，
∴tan∠ACD=m ，
∴ 在Rt△ACE中，AECE=m ，
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∴AE=mCE ，
∴AC2=CE2+AE2=(1+m2)CE2 ，
∴AG?AFCE2=(1+m2)CE2CE2=1+m2 .
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（3）设∠GDC?∠GCD=α ，∠F=β ．
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①求α与β 的数量关系；
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【答案】如图（1），记AB,CG的交点为H，连接DH .
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图（1）
∵ 直径AB⊥ 弦CD ，
∴CE=DE （依据：垂直于弦的直径平分弦），
∴AB垂直平分CD ，
?
∴AC=AD,HC=HD （依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离
相等），
∴∠GCD=∠1 .
∵AH=AH ，
∴△AHC≌△AHD(SSS) ，
∴∠2=∠3 .
∵∠2=∠4 ，
∴∠2=∠3=∠4 .
?
图（1）
由（2）知△ACG?△AFC ，
∴∠2=∠F=β ，
∴∠3=∠4=β .
∵∠GDC?∠GCD=α ，
∴∠GDC?∠1=α ，
∴α=2β .
?
图（1）
②当α=90? ，且S△CAG=S△CAD时，求m 的值．
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【答案】如图（2），连接OC .
?
图（2）
∵S△CAG=S△CAD ，
∴ 点G，D到AC 的距离相等，
?
∴GD//AC .
∵α=90? ，
∴ 由①可知∠ADG=β=12×90?=45? ，
∴∠CAD=∠ADG=45? .
∵AC=AD，AE⊥CD ，
∴∠CAE=12×45?=22.5? ，
∴∠COE=2∠CAE=45? .
设CE=x ，
?
图（2）
则OE=CE=x，OC=2x ，
∴OA=2x ，
∴AE=x+2x ，
∴ 在Rt△AEC中，tan∠ACE=AECE=x+2xx=1+2 .
∵∠ACE=∠DGF，tan∠DGF=m ,
∴m=1+2 ．
?
图（2）

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