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题型二 统计与概率题
类型1 统计
1.【广州特色】“二十四节气”入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产
代表作名录，是上古农耕文明的产物，与大自然的节律息息相关．清明节
前后广州气温起伏较大，易出现“回南天”现象．当温度
(T)：22?℃≤T≤28?℃和空气湿度(H)：55%≤H≤65% 时，人体感觉较
为舒适．研究性学习团队随机抽取2024年4月份10天的午间温度和湿度的
数据作为样本进行整理，并绘制成如下统计表.
?
午间温度/℃
23
29
30
22
19
24
18
22
21
22
湿度
65%
75%
77%
77%
79%
64%
73%
50%
75%
58%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）样本中，2024年4月份午间温度的中位数为____℃，众数为____℃ ；
?
22
22
2024年4月份10天的午间温度和湿度统计表
（2）综合考虑午间温度和湿度的数据，请估计2025年4月份午间人体感觉
较为舒适的天数，并说明理由．
【参考答案】∵ 当22?℃≤T≤28?℃，55%≤H≤65% 时，人体感觉较为
舒适，
∴ 结合统计表可知，随机抽取2024年4月份的10天中，有3天人体感觉较为
舒适，
∴ 估计2025年4月份午间人体感觉较为舒适的天数为310×30=9 （天）.
?
2.某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”
的调查,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
组别
运动时间t/min
频数
频率
A
20≤t<40
2
a
B
40≤t<60
4
b
C
60≤t<80
16
c
D
80≤t<100
d
0.35
E
100≤t<120
4
b
合计
n
1
扇形统计图
请根据图表中的信息解答下列问题:
（1）频数分布表中的a=_____,b= ____.
?
0.05
0.1
【解析】解法提示：根据频数分布表中A组的频数为2和扇形统计图中A组
的占比为5%,可得n=2÷5%=40,a=0.05,b=4÷40=0.1 .
?
组别
运动时间t/min
频数
频率
A
20≤t<40
2
a
B
40≤t<60
4
b
C
60≤t<80
16
c
D
80≤t<100
d
0.35
E
100≤t<120
4
b
合计
n
1
（2）教育部规定中小学生每天在校体育锻炼时间不少于1?h .若该校九年级
共有480名学生,试估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的
人数.
?
【参考答案】根据题意可知A组和B组的学生未达到教育部规定的体育锻
炼时间，由（1）知其频率为0.05+0.1=0.15 ，
∴ 达到教育部规定的体育锻炼时间的频率为1?0.15=0.85 ,
∴ 该校九年级的480名学生中,达到教育部规定的体育锻炼时间的人数大约
为480×0.85=408 .
?
3.【新趋势·开放型】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,学校开展
“科学小博士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛,规定满分为10分,9分及
以上为优秀.
数据整理:小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如图
所示的统计图.
请认真阅读上述信息,回答下列问题:
（1）填空:a=____,b=___,c= _____.
?
7.5
7
25%
?
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
37.5%
乙组
7.625
7
b
0.73
c
数据分析:小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析.
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等,因此两个组成绩一样好.小夏
认为小祺的观点比较片面,请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条
即可）.
【参考答案】答案不唯一,例如:
①甲组成绩的优秀率为37.5% ,高于乙组成绩的优秀率25% ,
所以从优秀率的角度看,甲组成绩比乙组好;
②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等,但甲组成绩的方差为4.48 ,高于乙组
成绩的方差0.73 ,
所以从方差的角度看,乙组成绩更稳定;
③甲组成绩的中位数为7.5分,高于乙组成绩的中位数7分,
所以从中位数的角度看,甲组成绩比乙组好等.
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好,可见,小祺的观点比较片面.
?
4.为提升学生体质健康水平,促进学生全面发展,学校开展了丰富多彩的课外
体育活动.在八年级组织的篮球联赛中,甲、乙两名队员表现优异,他们在近
六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3
根据以上信息,回答下列问题.
（1）这六场比赛中,得分更稳定的队员是____
（填“甲”或“乙”）;甲队员得分的中位数为27.5分,乙队
员得分的中位数为____分.
甲
29
（2）请从得分方面分析:这六场比赛中,甲、乙两名队
员谁的表现更好.
【参考答案】因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分,且甲的得分更
稳定,所以甲队员的表现更好.（答案不唯一,合理即可）
（3）规定“综合得分”为:
平均每场得分×1+ 平均每场篮板×1.5+平均每场失误×(?1) ,
且“综合得分”越高表现越好.请利用这种评价方法,比较这六场比赛中甲、乙
两名队员谁的表现更好.
?
【答案】甲的“综合得分”:
26.5×1+8×1.5+2×(?1)=36.5 .
?
乙的“综合得分”:
26×1+10×1.5+3×(?1)=38 .
因为38>36.5 ,所以乙队员的表现更好.
?
类型2 概率
5.【新趋势·跨学科】人类的性别由一对性染色体
(X,Y)决定，当染色体为XX 时是女性，当染色体
为XY 时是男性，如图为一对夫妻的性染色体遗传
图谱．
?
（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是______事件（填“不可能”或“必然”或“随
机”）；“第一胎为女孩”的概率是__；
随机
12
?
（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小
孩恰好是一男一女的概率．
第一个小孩
第二个小孩
男
女
男
（男，男）
（女，男）
女
（男，女）
（女，女）
由表格可知，共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
∴P（两个小孩恰好是一男一女）=24=12 ．
?
【参考答案】方法一：根据题意，列表如下.
方法二：根据题意，画树状图如下.
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，
∴P（两个小孩恰好是一男一女）=24=12 ．
?
6.如图,小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘,A盘被等分
为四个扇形,上面分别标有数字1,2,4,5;B盘中圆心角为120? 的扇形上标有数
字3,其余部分上面标有数字4.（若指针停在分割线上，则重新转动转盘）
?
（1）小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是_ _.
14
?
（2）小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋
转两个转盘，A盘转出的数字为被减数，B盘转出的数字为减数.如果差为
负数,则小春胜；差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表
或画树状图的方法说明你的理由．
【参考答案】这个游戏对双方不公平，
理由：数字3所在扇形的圆心角为120?,
∴ 数字4所在扇形的圆心角为240?，
根据题意列表如下.
?
被减数
减数
1
2
4
5
3
?2
?1
1
2
4
?3
?2
0
1
4
?3
?2
0
1
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中差为负数的结果有6种，差为
正数的结果有4种（易错点：忽略B盘转出数字3和4的概率不同，从而列错
表格），
∴ 小春获胜的概率为612=12，小明获胜的概率为412=13 .
∵12≠13 ，
∴ 这个游戏对双方不公平．
?
7.在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：
在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有
任何其他区别.将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再
重复进行下一次试验.下表是整理得到的试验数据：
摸球的次数n
500
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
摸到红球的次数m
372
613
1 397
1 961
2 651
3 337
3 992
摸到红球的频率mn
0.74
0.61
0.70
0.65
0.66
0.67
0.67
（1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为___.
2
（2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个
球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的想法吗？请说明理由．
【参考答案】同意小明的想法，理由如下：
记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件A ，
画树状图如下：
?
由树状图可知共有6种等可能的结果，其中一次性摸出的两个球是相同颜
色的结果有2种，
所以P(A)=26=13 .
?
记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件B ，画
树状图如下：
?
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中一次性摸出的两个球是相同颜
色的结果有4种，
所以P(B)=412=13 .
所以P(A)=P(B) ，
所以增加一个白球后，一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色的概率不变．
?
8.【新考法·概率与整式结合】甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b ,
2a+b,a?b ，除正面的代数式不同外，其余均相同.
?
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a=1,b=?2
时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
?
【参考答案】当a=1,b=?2 时，
a+b=?1，2a+b=0，a?b=1?(?2)=3 ，
∴ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为13 .
?
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，
再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能
结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
a+b
2a+b
a?b
a+b
2a+2b
2a
2a+b
a?b
2a
【答案】补全表格如下：
a+b
2a+b
a?b
a+b
2a+2b
3a+2b
2a
2a+b
3a+2b
4a+2b
3a
a?b
2a
3a
2a?2b
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有4种，
故所求概率为49 ．
?
9.对墙垫球是某地初中学生体育素养测试项目之一，为了解该地某校八年级
男生该项目的水平，该地教育部门在该校八年级男生中随机抽取了30名进行
测试,并绘制了这30名男生40秒对墙垫球个数n 的频数分布直方图,如图所示．
（各组是20≤n<24, 24≤n<28,28≤n<32,32≤n<36, 36≤n<40 ）
?
（1）估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数.
类型3 统计与概率结合
【参考答案】根据频数分布直方图，
可估计这30名男生40秒对墙垫球的平均个数为
22×6+26×9+30×11+34×2+38×230=28 ．
?
（2）男生该项目“较高水平”的标准是“40秒对墙垫球的个数不少于32”．在
该校八年级男生中随机抽取一名，记事件A 为：该男生该项目达到较高水
平．请估计事件A 的概率．
?
【答案】P(A)=2+230=430=215 .
所以估计事件A的概率为215 ．
?
10.《国家学生体质健康标准》规定,七年级男生、女生50米短跑时间分别
不超过8.0秒、8.3秒为优秀等级.某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人
进行集训,经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位:秒）记录如下.
男生成绩:7.61,7.38,7.65,7.38,7.38 .
女生成绩:8.23,8.27,8.16，8.26,8.32 .
根据以上信息,解答下列问题:
?
（1）男生成绩的众数为_____,女生成绩的中位数为_____;
7.38
8.26
（2）教练从成绩最好的3名男生（设为甲、乙、丙）中,随机抽取2名学生
代表学校参加比赛,请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率.
【参考答案】根据题意，列表如下：
甲
乙
丙
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
由表格可知共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有4种，
故甲被抽中的概率为46=23 ．
?
11.某活动举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部
分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm ）分为A，B，C，D，
E 五组，制成了如下的统计图表（不完整）．
?
组别
身高x
人数
A
155≤x<160
3
B
160≤x<165
2
C
165≤x<170
m
D
170≤x<175
5
E
175≤x<180
4
根据以上信息回答下列问题：
（1）这次被调查身高的志愿者有____人，表中的m= ___，
扇形统计图中α 的度数是____.
?
20
6
54?
?
【解析】解法提示：由统计表和扇形统计图可知m3+2+m+5+4=30100 ，
?
∴m=6,∴3+2+m+5+4=14+6=20 （人）,
∴α=360?×320=54? .
?
组别
身高x
人数
A
155≤x<160
3
B
160≤x<165
2
C
165≤x<170
m
D
170≤x<175
5
E
175≤x<180
4
（2）若E 组的4人中，男、女志愿者各有2人，以抽签的方式从中随机抽取
两人担任组长．请用列表或画树状图的方法，求刚好抽中两名女志愿者的
概率．
?
【参考答案】根据题意画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2
种，
∴P（抽中两名女志愿者）=212=16 ．
?
12.某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，
B：衣物清洗，C： 手工制作，D：简单烹饪，E： 绿植栽培.课程开设一段
时间后，李老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳
动实践课程”为主题的问卷调查.根据调查所收集的数据进行整理,绘制了如
下两幅不完整的统计图.
?
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心
角度数；
【参考答案】将条形统计图补充完整如图（1）所示.
图（1）
“手工制作”对应的扇形圆心角的度数为72? .
?
（2）若该校共有1 800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
【答案】1?800×30%=540 （人）.
答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生有540人.
?
（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮
同学从C，D，E 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择
相同课程的概率.
?
【答案】画树状图如图（2）所示.
图（2）
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结
果有2种，
故所求概率为29 ．

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