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题型六 尺规作图与几何证明、计算题
类型1 以三角形为背景
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90? ，点D为AB中点，连接CD ．
?
（1）作∠BCD的平分线交AB于点E ；（要求：尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹，标明字母）
?
【参考答案】如图所示，CE 即为所求.
?
（2）若∠A=40? ，求∠AEC 的度数．
?
【答案】∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90? ，∠A=40? ，
∴∠B=90??40?=50?．
又∵D为AB 中点，
∴CD=BD （依据:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
?
∴∠B=∠DCB=50? .
∵CE平分∠BCD ，
∴∠BCE=12∠BCD=25? ，
∴∠AEC=∠B+∠BCE=75? ．
?
2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE//DC 交AC的延长线于点E .
?
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM?=∠A ,且射线CM交BE于
点F ;（保留作图痕迹,不写作法）
?
【参考答案】作图如图所示.
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形.
?
证明：由（1）,得∠ECF=∠A ，
∴CF//AB .
又∵BE//DC ,
∴ 四边形CDBF 是平行四边形.
∵CD是Rt△ABC斜边AB 上的中线,
∴CD=BD ,
∴?CDBF 是菱形.
?
（1）在斜边AC上求作线段AO，使AO=BC，连接OB ；（要求：尺规作
图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
?
3.如图，在△????????????中，∠????=_x001A_30_x001B_?_x001B_ ，∠????=_x001A_90_x001B_?_x001B_ ．
【参考答案】如图所示（作法不唯一，正确即可）.
（2）若OB=2，求AB 的长．
?
【答案】∵∠A=30? ，∠ABC=90? ，
∴AC=2BC .
∵AO=BC ，
∴AC=2AO ，
?
∴OC=AO，即点O为AC 的中点.
又∵∠ABC=90? ，
∴AC=2OB=4 （依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴AB=AC?cos?A=4×32=23 ．
?
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90? ,AC=12,AB=13 ．
?
（1）作△ABC的高CD ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
?
【参考答案】如图，线段CD 即为所求.
?
（2）在（1）的条件下，求CD 的长．
?
【答案】在Rt△ABC中，AC=12 ，
AB=13，∠ACB=90? ，
∴BC=AB2?AC2=5 .
?
∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CD ，
∴12×12×5=12×13×CD ，
∴CD=6013 .
?
5.如图，在△ABC中，点I是△ABC 的内心.
?
（1）求作过点I且平行于BC的直线，与AB,AC分别相交于点D,E
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;
?
【参考答案】如图(1)、图(2)、图(3)、图(4)所示，DE 是所求作的直线.
（作法不唯一，正确作出一种即可）
?
（2）若AB=6,AC=8,DE=143,求BC 的长.
?
图（5）
【答案】方法一：如图（5），连接BI,CI .
∵ 点I是△ABC 的内心，
∴BI平分∠ABC （点拨：三角形的内心是三角形
三条角平分线的交点）,
∴∠ABI=∠IBC .
∵DE//BC ,
∴∠DIB=∠IBC ,
?
∴∠ABI=∠DIB ,
?
∴DB=DI,同理可证EI=EC .
∵AB=6,AC=8 ,
∴C△ADE=AD+DI+EI+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=6+8=14 .
∵DE//BC ,
∴△ADE?△ABC ,
∴C△ADEC△ABC=DEBC ,
∴1414+BC=143BC,解得BC=7 .
?
图（5）
方法二：同方法一证得DB=DI,EI=EC .
?
设DB=DI=x,则EC=EI=143?x .
∵DE//BC ,
∴△ADE?△ABC ,
?
图（5）
∴ADAB=AEAC=DEBC ,
∴6?x6=8?(143?x)8,解得x=2 ,
∴DB=DI=2,∴AD=6?2=4 ,
∴46=143BC,解得BC=7 .
?
6.如图,在△ABC中,D是BC 上一点.
?
（1）在AB上确定一点O,使得OA=OD （尺规作图,保留作图痕迹,不写作
法）.
?
【参考答案】如图（1），O 即为所求作的点．
?
图（1）
（2）在（1）的条件下,当∠AOD=90? 时,将△ABC绕点O旋转得到△DEF ,
其中,D,E分别是点A,B的对应点.若D是BC的中点,EF交AB于点G,求证:G 是
EF 的中点.
?
证明：∵D是BC 的中点，
∴BD=12BC ．
?
图（2）
如图（2），由旋转可知OB=OE ，
∠BOE=∠AOD=90? ，△ABC≌△DEF ，
?
∴∠BOD=90? ，BC=EF，∠ABC=∠DEF ．
在△ODB与△OGE 中，
&∠OBD=∠OEG,&OB=OE,&∠BOD=∠EOG,
∴△ODB≌△OGE ，
∴BD=EG ，
∴EG=12EF，即EG=FG ，
∴G是EF 的中点.
?
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90? ，AB=AC，点D在BC 边上，连接
AD．把线段AD绕点A逆时针旋转90? 得到线段AE，将△ABD沿直线AD 翻
折得到△AFD ．
?
（1）补全图形.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【参考答案】补全图形如图（1）所示.（作法不唯一）
图（1）
（2）连接EF，交BC交于点G .
?
①求证：CD=EF ；
?
图（2）
证明：如图（2），由旋转知∠DAE=90? ，
∴∠BAC=∠DAE=90? ，
∴∠BAD=∠EAC ．
由折叠知∠BAD=∠DAF ，
∴∠DAF=∠EAC ,
∴∠DAC=∠EAF .
又∵AF=AB=AC，AE=AD ，
∴△DAC≌△EAF(SAS) ,
∴CD=EF .
?
②若BDBC=13，求DGDC 的值．
?
【答案】如图（2），连接CE ．
∵∠BAC=90? ，AB=AC ，
∴∠B=∠ACB=45? .
由①得△DAC≌△EAF ，
∴∠AFE=∠ACD=45? .
?
图（2）
由折叠知∠AFD=∠B=45? ,
∴∠DFG=90? ．
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS) ,
∴BD=CE=FD，∠ACE=∠B=45? ,
∴∠GCE=∠DFG=90? ．
又∵∠DGF=∠EGC ，
∴△DFG≌△ECG(AAS) ,
?
图（2）
∴CG=FG .
设BD=DF=a，DG=x，则BC=3a，CG=FG=2a?x ．
在Rt△DFG中，DF2+FG2=DG2 ,
即a2+(2a?x)2=x2 ,
解得x=54a ,
∴DGDC=54a2a=58 .
?
图（2）
8.如图，△ABC是等边三角形，AB=6．
?
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ACD，点B 的对应点为
点C，点C的对应点为点D ；（保留作图痕迹，不写作法）
?
【参考答案】如图（1），△ACD 即为所求
（点拨：分别以点A，C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧的交点即为D ）.
（作法不唯一）
?
图（1）
（2）求证：四边形ABCD 是菱形；
?
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC .
由旋转可知AD=AC，DC=BC ，
∴AB=AD=BC=DC ，
∴ 四边形ABCD 是菱形.
?
（3）连接BD，交AC于点O，点E在线段BC上，当△OBE 是等腰三角形时，
求BE 的长．
?
【答案】当△OBE 是等腰三角形时，分以下三种情况讨论（关键：分类讨
论）.
?
图（2）
①当OE为底边时，如图（2），BO=BE .
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60? .
∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD=30? .
∵AB=6 ，
∴BO=ABcos?30?=6×32=33 ，
∴BE=BO=33 .
?
②当OB为底边时，如图（3），EO=EB ，
?
图（3）
∴∠EOB=∠EBO=30? ，
?
∴∠CEO=60? .
∵∠BCO=90??30?=60? ，
∴△OEC 是等边三角形，
∴EC=OC=OE .
∵OA=OC=ABsin?30?=6×12=3 ，
∴OE=3 ,
∴BE=3 .
?
图（3）
③当OB=OE时，易知点E不在线段BC 上，不符合题意.
?
综上所述，当△OBE是等腰三角形时，BE的长为33 或3．
?
类型2 以四边形为背景
9.如图，在?ABCD中，∠DAB=60? ．
?
（1）实践与操作：用尺规作图法过点B作∠ABC的平分线，交边CD于点E ；
（保留作图痕迹，不要求写作法）
?
【参考答案】如图（1），BE 即为所求作.
?
图（1）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD=6，求△BCE 的面积．
?
【答案】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC，∠C=∠DAB=60? ，BC=AD=6 ，
∴∠ABC=180??∠DAB=120? .
∵BE平分∠ABC ，
∴∠EBC=12∠ABC=60? ，
∴∠BEC=60? ，
∴△BCE 是等边三角形，
∴CE=BC=6 .
?
图（2）
如图（2），过点B作BF⊥EC于点F ，
?
图（2）
则CF=12EC=3 ，
∴BF=3CF=3?3 ，
∴S△BCE=12CE?BF=12×6×3?3=9?3 ．
?
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O ．
?
（1）尺规作图：在菱形ABCD的边AD上方找一点E，使得△AED≌△BOC ；
（不写作法，保留作图痕迹）
?
【参考答案】作图如图所示.（作法不唯一，正确即可）
（2）判断四边形AODE 的形状，并给出证明．
?
【答案】四边形AODE 是矩形.
证明：如图，∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，OB=OD .
∵△AED≌△BOC ，
∴AE=OB，ED=OC ，
?
∴AE=OD，ED=OA ,
∴ 四边形AODE 是平行四边形（依据：两组对边分别相等的四边形是平行
四边形）.
又∵∠AOD=90? ，
∴ 四边形AODE 是矩形（依据：有一个内角是直角的平行四边形是矩形）.
?
11.如图，四边形ABCD 是正方形．
?
（1）尺规作图：以BC为边，在正方形ABCD内部作等边三角形EBC．
（保留作图痕迹，不写作法）
?
图（1）
【参考答案】如图（1），△EBC 即为所求（点拨：分别以点B，C为圆心，
BC 的长为半径画弧，两弧在正方形ABCD内部交于点E，连接BE ，CE ）.
?
（2）连接BD，在第（1）问的基础上，若AB=4，求点E到BD 的距离．
?
图（2）
【答案】如图（2），过点E分别作EF⊥BD于点F ，
EH⊥BC于点H，交BD于点G .
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=4 ，
∴AB=BC=4，∠DBC=12∠ABC=45? .
∵△EBC是等边三角形，EH⊥BC ，
?
∴EB=BC=4，∠EBC=60? ，BH=12BC=2 .
?
在Rt△EBH和Rt△GBH中，tan∠EBH=EHBH ，
tan∠GBH=GHBH ，
∴EH=BH?tan?60?=23，GH=BH?tan?45?=2 ，
∴EG=23?2 .
∵∠GBH=45? ，∠GHB=90? ，
∴∠EGF=∠BGH=45? .
在Rt△EFG中，sin∠EGF=EFEG ，
∴EF=EG?sin?45?=22×(23?2)=6?2 ，
即点E到BD的距离为6?2 ．
?
图（2）
12.如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90? .
?
（1）在AB上求作一点E，连接CE，DE，使CE⊥DE ；（要求：尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）
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【参考答案】作图如图所示（点拨：作CD的垂直平分线l，记直线l与CD
的交点为点O，以点O为圆心，OD长为半径画弧，弧与AB的交点即为点E ，
再连接CE，DE ）.
?
（2）在（1）的条件下，若AD=2，BC=6，AE=3，求AB 的长.
?
【答案】由（1）知CE⊥DE ，
∴∠AED+∠BEC=90? .
∵∠A=90? ，
∴∠ADE+∠AED=90? ，
∴∠ADE=∠BEC .
又∵∠A=∠B=90? ，
∴△AED?△BCE ，
∴AEBC=ADBE，即36=2BE ，
∴BE=4 ，
∴AB=3+4=7 .
?
13.如图，四边形ABCD 是平行四边形.
?
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交CD于F ；
（不要求写作法，保留作图痕迹）
?
图（1）
【参考答案】作图如图(1)所示（点拨：分别以点A,B为圆心、大于12AB 的长
为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线即得AB 的垂直平分线）.
?
（2）在（1）的条件下，连接AF，BF.当AD=DF，∠DAB=60? 时，求
证：BF⊥BC .
?
图（2）
证明：如图（2），∵四边形ABCD 是平行四边形，∠DAB=60? ，
∴∠D=∠ABC=180??60?=120? .
∵AD=DF ，
∴∠DAF=∠DFA=180??120?2=30? ，
∴∠FAB=60??30?=30? .
?
∴FA=FB （点拨：线段垂直平分线上的点到线
段两端点的距离相等），
∴∠FBA=∠FAB=30? ，
∴∠FBC=120??30?=90? ，
∴BF⊥BC .
?
图（2）
由（1）知，EF垂直平分AB ，
?
14.如图，在矩形ABCD中,点E在AD边上,∠ABE=60? ,将△ABE绕点B 顺时
针旋转得到△FBG,使点A的对应点F在线段BE 上.
?
（1）请在图中作出△FBG ;（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
?
图（1）
【参考答案】如图（1），△FBG 即为所求.
作法提示：以B为圆心，在BE上截取BF=AB ，再以F为圆心，AE长为半径
画弧，再以B 为圆心，BE长为半径画弧，两弧交于点G，连接BG,FG ,则
△FBG 即为所求.
?
（2）FG与BC交于点Q,连接EQ,EC,若EC=BQ,请探究AE与DE 的数量关系.
?
图（2）
【答案】如图（2），在矩形ABCD中，AD=BC ,
∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90? ．
?
∵△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，点A 的对
应点F在线段BE 上，
∴△ABE≌△FBG ,
∴∠BFG=∠BAE=90? ,BF=BA .
∵∠ABE=60? ,
?
∴∠AEB=30? ，∴BE=2BA,∠EBC=30? ,
∴BE=2BF,即点F是BE 的中点.
?
又∵FG⊥BE,FG与BC交于点Q ，
∴BQ=EQ ,
∴∠QEB=∠QBE=30? ,
∴∠EQC=∠QBE+∠QEB=60? .
又∵EC=BQ ,
∴EC=EQ ,
∴△EQC 是等边三角形．
∴∠ECQ=60? ，EC=CQ .
?
图（2）
在Rt△EDC中，∠ECD=30? ,
∴CE=2DE ,
∴BQ=EQ=CQ=2DE ,
∴AD=BC=BQ+CQ=4DE ,
∴AE=AD?DE=3DE .
?
15.如图,点E是正方形ABCD的边BC上一个动点,连接AE，点G是AE 上一点，
且∠AGB=90? .
?
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出点G （保留作图痕迹,不写作法）.
?
【参考答案】作图如图（1）所示（作法不唯一）.
图（1）
（2）延长BG交CD于点F,求证:AE=BF .
?
证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90? .
由作图知AE⊥BF ，
∴∠BAE+∠ABG=90? .
又∵∠ABG+∠CBF=90? ，
∴∠BAE=∠CBF ，
∴△ABE≌△BCF(ASA) ，
∴AE=BF .
?
图（1）
（3）随着点E在边BC上运动,当BC=2时,求线段CG 长的最小值.
?
图（2）
【答案】∵∠AGB=90?，点E在线段BC 上，
∴点G在以AB 为直径的一段圆弧上运动，如图（2）.
设AB的中点为O,连接OC,交圆弧于点G,
此时CG 的长度最小（提示：点圆最值模型）.
在Rt△OBC中，OC=22+12=5 ，
∴CG=5?1 .
?
16.已知矩形纸片ABCD .
第1步:先将矩形纸片ABCD对折,使点A和点B重合,然后展开铺平,确定AB 的
中点E ；
第2步:将BC边沿CE翻折到CF的位置,点B的对应点为F ;
第3步:连接EF并延长,交AD于点G .
?
（1）当四边形ABCD 为正方形时,如图（1）.
?
①用尺规作出点F,G （不写作法,保留作图痕迹）;
?
【参考答案】作图如图（1）或图（2）所示，点F，G 即为所求作的点.
（作法不唯一，正确作出一种即可）
?
②求证：DG=13DA .
?
图（3）
证明：如图（3），连接CG .
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90?,AB=BC=CD=DA .
?
由折叠可得△CBE≌△CFE ，
∴CF=BC,∠EFC=∠B=90? ,EB=EF ，
∴∠GFC=90? ,CF=CD .
又∵CG=CG ，
∴Rt△GDC≌Rt△GFC(HL) ，
∴DG=GF .
设AB=DA=2a，DG=GF=b ,
∴AG=2a?b .
?
图（3）
∵E为AB 的中点，
∴AE=EB=a ，
∴GE=a+b .
在Rt△AGE中，根据勾股定理,得a2+(2a?b)2=(a+b)2 ，
解得a=32b .
∴AG=2a?b=3b?b=2b ，
∴AD=AG+DG=3b ，
∴DG=13DA .
?
图（3）
（2）如图（2）,延长CF,交AD于点H,当H恰为AD的中点时,求ABAD 的值.
?
【答案】∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=∠B=∠BAD=90? ,AB=CD ,
BC=DA .
由折叠可得△CBE≌△CFE ，
?
∴BC=CF,BE=EF,∠EFC=∠B=90? ，
∴∠EFH=90? ,
∴∠EFA+∠AFH=∠EAF+∠FAH=90? .
?
∵E为AB的中点,H为AD 的中点，
∴AE=BE=EF,AH=HD ，
∴∠EFA=∠EAF （依据：等边对等角），
∴∠AFH=∠FAH ，
∴AH=HF=HD .
设AE=BE=EF=m，HF=HD=AH=n ，
则AB=2m,AD=2n ,
∴CF=BC=AD=2n ,
∴HC=HF+CF=3n,DC=AB=2m .
?
在Rt△HDC 中，由勾股定理，得
n2+(2m)2=(3n)2 ，
解得m=2n ，
∴ABAD=2m2n=2 .
?
17.如图,点A,B为⊙O上的两点,连接AO,BO,AB(∠AOB<90?) .
?
类型3 以圆为背景
（1）请用无刻度的直尺和圆规,过点B作OA 的平行线（保留作图痕迹,不写
作法）.
?
【参考答案】如图（1）.
图（1）
（2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C,连接AC,则∠CAO与∠O 有怎
样的数量关系?请说明理由.
?
【答案】∠CAO=12∠O .
理由如下:
?
图（2）
如图（2）所示，∵OA//BC ,
∴∠CAO=∠ACB .
∵∠ACB=12∠O ,
∴∠CAO=12∠O .
?
18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB 是直径．
?
（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交⊙O于点D ；（不写作法，保留作图
痕迹）
?
【参考答案】如图所示，CD 为所求.
?
（2）在（1）的条件下，当⊙O的半径为2时，求AD? 的长．
?
【答案】方法一：连接OD .
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90? .
∵CD平分∠ACB ，
∴∠ACD=12∠ACB=45? ，
∴∠AOD=2∠ACD=90? （点拨:圆周角定理），
∴AD?的长为90×π×2180=π ．
?
方法二：连接OD .
?
由（1）得，∠ACD=∠BCD ,
∴∠AOD=∠BOD ,
∴AD?=BD? ,
∴AD? 的长为半圆的一半,
∴AD?的长为12×2×π×22=π ．
?
19.如图，在△ABC中，∠ABC=90?+∠A，以AB 为直径的⊙O交AC于点D .
?
（1）尺规作图：过点B作EB⊥AB，交AC于点E
（不写作法，请保留作图痕迹）；
?
【参考答案】作图如图（1）所示．
图（1）
（2）在（1）的条件下，当BE=OA，BC=10时，求DE 的长度.
?
【答案】如图（2），连接BD .
?
图（2）
∵AB为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90? .
∵EB⊥AB ，
?
∴∠ABD+∠DBE=∠ABD+∠A=90? ，
∴∠DBE=∠A .
∵∠ABC=90?+∠A ，
∴∠A=∠CBE .
又∵∠C=∠C ，
∴△ABC?△BEC ，
∴ACBC=ABBE=BCEC .
∵BE=OA,BC=10 ，
?
图（2）
∴AC10=10EC=ABBE=2OAOA=2 ,
∴AC=20,EC=5 ,
∴AE=15 .
∵tan∠DBE=tan∠A ，
∴DEDB=BDAD=BEAB=12 .
设DE=x,则AD=15?x，BD=2x ,
∴BDAD=2x15?x=12 ，
∴x=3，即DE=3 .
?
图（2）
20.如图，P为⊙O外一点，M为线段OP 的中点．
?
（1）过点P作⊙O的一条切线PQ，Q 为切点；（尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法）
?
【参考答案】如图，PQ为所求作的⊙O的切线，Q 为切点．
?
（2）在（1）的条件下，若PQ=3PM，求证：点M在⊙O 上．
?
证明：由（1）得，PQ与⊙O相切于点Q ．
连接OQ ，
∴OQ⊥PQ ，
∴∠OQP=90? ．
设PM=x，则PQ=3x ．
∵M是OP 的中点，
∴OM=PM=x，OP=2PM=2x ，
在Rt△OPQ中，OQ=OP2?PQ2=x ，
?
即⊙O的半径r=x ，
∵OM=x=r ，
∴点M在⊙O 上．
?
21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC 的延长线
上，过点C的切线与OD相交于点E .
?
（1）如图（1），当∠OEC=3∠A时，求证：DO=DB ；
?
【参考答案】证明：如图（1），连接OC .
?
图（1）
∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O 的半径，
?
∴CE⊥OC ，
∴∠OCE=90? ，
∴∠COE=90??∠OEC .
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA ,
∴∠COB=∠A+∠OCA=2∠A .
∵∠OEC=3∠A ，
∴∠DOB=∠COE+∠COB=90??∠OEC+2∠A=90??3∠A+2∠A=90??∠A .
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图（1）
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90? ，
∴∠B=90??∠A ，
∴∠B=∠DOB ，
∴DO=DB .
?
（2）如图（2），尺规作图：作弧AmC关于弦AC 所在直线的对称图形弧
AnC （保留作图痕迹，不写作法）.
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【答案】作图如图（2）所示，弧AnC 即为所求.
?
图（2）
22.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,D是BC?的中点,连接AD .
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（1）请用无刻度的直尺和圆规,过点D作直线l垂直于直线AC （保留作图痕
迹,不写作法）.
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【参考答案】作图如图（1）所示.
图（1）
（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E,与AB 的延长线交于点F .
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①判断直线EF与⊙O 的位置关系,并说明理由.
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【答案】直线EF与⊙O 相切.
理由：如图（2），连接OD .
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图（2）
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA .
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∵D是BC? 的中点,
∴BD?=CD? ,
∴∠OAD=∠EAD ,
∴∠ODA=∠EAD ,
∴OD//AE .
∵DE⊥AE,∴DE⊥OD .
∵OD是⊙O 的半径，
∴ 直线EF与⊙O 相切.
?
图（2）
②若DF=DA,DE=3,求AD? 的长.
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【答案】∵DA=DF ，
∴∠OAD=∠AFE .
又∠OAD=∠DAE，∠AEF=90? ，
∴∠AFE=∠DAE=30? ，
∴DF=DA=2DE=23，∠AOD=120? ，
∴OD=33DF=2 ，
∴lAD=120π×2180=4π3 .
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图（2）
23.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=6，BC=8 ，
∠ABC=90? ，AD?=DC? ．
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（1）求CD 的长.
?
【参考答案】∵AB=6，BC=8，∠ABC=90? ，
∴AC=62+82=10，AC是⊙O 的直径，
∴∠ADC=90? .
∵AD?=DC? ，
∴AD=CD ，
∴2CD2=AC2=100 ，
∴CD=52 .
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（2）已知△ABE与△ABD关于直线AB 对称．
?
①尺规作图:作△ABE ；（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】如图（1），△ABE 即为所求.（作法不唯一）
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图（1）
②连接DE，求线段DE 的长．
?
【答案】如图（2），过点A作AH⊥BD于点H .
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图（2）
∵AD?=DC? ，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45? ，
∴△ABH 是等腰直角三角形.
∵AB=6 ，
∴AH=BH=32 .
∵AD=CD=52 ，
∴ 在Rt△ADH中，DH=AD2?AH2=42 ，
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图（2）
∴BD=BH+DH=72 .
∵△ABE与△ABD关于直线AB 对称，
∴∠EBD=2∠ABD=90? ，BE=BD=72 ，
∴DE=BE2+BD2=14 ．
?
图（2）
24.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60? ，BC=6，点D为BC? 的中
点，连接AD，作∠ABC的平分线交AD于点E ．
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（1）尺规作图：作出线段BE .（保留作图痕迹，不写作法）
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【参考答案】如图（1），线段BE 即为所求.
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图（1）
（2）连接DB，求证：DB=DE .
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证明：∵ 点D为BC? 的中点，
∴BD?=CD? ，
∴∠BAD=∠CAD .
∵BE平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE .
∵∠CAD=∠CBD ，
∴∠BAD=∠CBD .
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠BED=∠ABE+∠BAE ，
∴∠DBE=∠BED ，
∴DB=DE .
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图（1）
（3）若AE=433，求△ABC 的周长．
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【答案】方法一：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC ，
∴ 点E为△ABC 的内切圆的圆心.
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图（2）
如图（2）,作△ABC的内切圆☉E,与AC,BC,AB 分别相切于点F,G,H,
则∠HAE=30? ，∠AHE=90? ，
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∴AH=AEcos?30?=433×32=2 .
在Rt△AEF和Rt△AEH中，
∵AE=AE，EF=EH ，
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∴Rt△AEF≌Rt△AEH ，
∴AF=AH=2 .
同理BG=BH，CG=CF .
∵BG+CG=BC=6 ，
∴BH+CF=6 ，
∴△ABC 的周长为
AB+AC+BC=AH+BH+AF+CF+BG+CG=2AH+2BC=16 .
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图（2）
图（3）
∵BD?=CD? ，
∴BD=CD .
∵∠BAC=60? ，
∴∠BDC=180??60?=120? .
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方法二：如图（3），连接BD，CD ，
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又∵BC=6，
∴BD=23 .
由（2）知，DB=DE ，
∴DE=23 ，
∴AD=AE+DE=433+23=1033 .
将△ABD绕点D 顺时针旋转120?得到△FCD ，
则CF=AB，DF=AD ，∠DCF=∠ABD .
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图（3）
∵∠ABD+∠ACD=180? ，
∴∠DCF+∠ACD=180? ，
∴A，C，F 三点共线，
∴AF=AC+CF=AC+AB .
在△ADF中，DA=DF ，∠ADF=120? ，AD=1033 ，
∴AF=10 ，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=AF+BC=10+6=16 .
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图（3）

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