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题型七 二次函数综合题
1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1:y=ax2?2ax?2，点A 的坐
标为(4,2) ．
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（1）若抛物线C1过点A，求抛物线C1 的解析式；
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【参考答案】∵ 抛物线C1:y=ax2?2ax?2过点A(4,2) ，
∴2=16a?8a?2 ，
解得a=12 ，
∴ 抛物线C1的解析式为y=12x2?x?2 ．
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（2）若抛物线C1与直线OA只有一个交点，求a 的值；
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【答案】设直线OA的解析式为y=kx ，
将A(4,2)代入，得2=4k ，
解得k=12 ，
∴直线OA的解析式为y=12x .
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∵ 抛物线C1与直线OA 只有一个交点，
∴ 关于x的一元二次方程ax2?2ax?2=12x，即ax2?(2a+12)x?2=0
有两个相等的实数根，
∴Δ=[?(2a+12)]2?4a×(?2)=0 ，
解得a=26?54或a=?26?54 .
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（3）把抛物线C1沿射线OA方向平移t(t>0)个单位长度得到抛物线C2 ，若
对于抛物线C2，当?2≤x<3时，y随x的增大而增大，求t 的取值范围．
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【答案】由A(4,2)，可得抛物线C1沿射线OA方向平移t(t>0) 个单位长度
相当于水平向右平移了255t个单位长度、竖直向上平移了55t 个单位长度.
∵抛物线C1:y=ax2?2ax?2的对称轴为直线x=??2a2a=1 ，
∴抛物线C2的对称轴为直线x=1+255t .
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当?2≤x<3时，y随x 的增大而增大，故分以下两种情况：
①若a>0，则抛物线C2的对称轴为直线x=?2或在直线x=?2 左侧，
∴1+255t≤?2 ，
解得t≤?352<0 ，不符合题意.
②若a<0，则抛物线C2的对称轴为直线x=3或在直线x=3 右侧，
∴1+255t≥3 ，
解得t≥5 .
综上，t≥5 ．
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2.已知二次函数y=x2?2mx+m2?1的图象为抛物线C ，一次函数
y=kx+6k(k≠0)的图象为直线l ．
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（1）求抛物线C的顶点坐标（用含m 的式子表示）；
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【参考答案】∵y=x2?2mx+m2?1=(x?m)2?1 ，
∴ 抛物线C的顶点坐标为(m,?1) .
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（2）若直线????与抛物线????有唯一交点，且该交点在????轴上，求???? 的值；
【答案】在y=kx+6k 中，
令y=0，得0=kx+6k ，
解得x=?6 ，
∴ 直线l与x轴的交点为(?6,0) .
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∵ 直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x 轴上，
∴ 抛物线C过点(?6,0)，且关于x 的一元二次方程
x2?2mx+m2?1=kx+6k，即x2?(2m+k)x+m2?1?6k=0 有
两个相等的实数根，
∴0=36+12m+m2?1 ，
Δ=[?(2m+k)]2?4(m2?1?6k)=0 ，
解得m=?5或m=?7 .
当m=?5 时，
Δ=[?(?10+k)]2?100+4+24k=0 ，
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即k2+4k+4=0 ，
∴k1=k2=?2 .
当m=?7 时，
Δ=[?(?14+k)]2?196+4+24k=0 ，
即k2?4k+4=0 ，
∴k3=k4=2 .
综上，k的值为2或?2 .
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（3）当k=12时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B且垂直于y
轴的直线与抛物线C 有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点
P，当△OAP为钝角三角形时，求m 的取值范围．
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【答案】当k=12时，直线l的解析式为y=12x+3 .
令x=0，得y=12×0+3=3 ，
∴B(0,3) .
令x2?2mx+m2?1=3 ，
解得x=?2+m或x=2+m ，
∴P(?2+m,3) .
当△OAP 为钝角三角形时，分以下三种情况：
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①点A 为钝角顶点，如图（1）.
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图（1）
由（2）知A(?6,0) ，
∴ 若PA⊥AO，则P(?6,3) ，
∴ 当?2+m解得m?
②点O 为钝角顶点,如图（2）.
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图（2）
若PO⊥AO，则P(0,3) ，
∴当?2+m>0时，△OAP 为钝角三角形，
解得m>2 .
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③点P 为钝角顶点，如图（3）.
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图（3）
∵AO=6，点P(?2+m,3)到x 轴的距离为3，
∴ 点P不可能在以AO 为直径的圆内部，
∴∠APO≤90? ，
∴ 此种情况不存在.
综上所述，当m2时，△OAP 为钝角三角形．
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3.已知直线l:y=kx+b(k>0)经过点P(?1,2)，与y轴交于点B ．
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（1）用含有k的式子表示b .
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【参考答案】将P(?1,2)代入y=kx+b ，
得2=?k+b ，
∴b=k+2 .
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（2）若直线l与x轴交于点A，△AOB的面积为S，求S 的取值范围.
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【答案】由（1）可知y=kx+k+2 ，
当x=0时，y=k+2 ，
∴B(0,k+2) ，
∴OB=k+2 .
当y=0时，0=kx+k+2 ，
解得x=?k+2k ，
∴A(?k+2k,0) ，
?
∴OA=k+2k ，
∴S=12OA?OB=12×k+2k×(k+2)=12(4+k+4k) .
∵(k?2k)2≥0 ，
∴k?4+4k≥0，即k+4k≥4 ，
∴4+k+4k≥8 ，
∴S≥4 .
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（3）过点P的抛物线y=(x?k)2+t与y轴交于点E，顶点为C ，该抛物线
上是否存在点F，使四边形BPEF为平行四边形？若存在，求此时顶点C 的
坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】存在.
∵ 抛物线y=(x?k)2+t过点P(?1,2) ，
∴2=(?1?k)2+t ，
∴t=?k2?2k+1 ，
∴y=(x?k)2?k2?2k+1 ，
∴C(k,?k2?2k+1) .
当x=0时，y=?2k+1 ，
∴E(0,?2k+1) .
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∵B(0,k+2),连接BE ，
∴BE的中点坐标为(0,3?k2) .
设F(m,n)，连接FP ，
则PF的中点坐标为(m?12，n+22) .
∵四边形BPEF 为平行四边形，
∴&m?12=0,&n+22=3?k2,
?
解得&m=1,&n=1?k,
∴F(1,1?k) .
将F(1,1?k)代入y=(x?k)2?k2?2k+1 ，
得1?k=(1?k)2?k2?2k+1 ，
解得k=13 ，满足题意，
∴C(13，29) .
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4.已知抛物线C1:y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为P,与x轴相交于A,B 两点
（点A在点B 左侧）.
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（1）若点P的坐标为(1,?3),求证:a?c=3 .
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【参考答案】证明：∵ 抛物线C1：y=ax2+bx+c的顶点为P(1,?3) ，
∴y=a(x?1)2?3=ax2?2ax+a?3 ，
∴c=a?3 ，
∴a?c=3 .
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（2）将抛物线C1绕点M(?2,0)旋转180? 得到抛物线C2,抛物线C2 的顶点为
Q,与x轴相交于C,D两点（点C在点D 左侧）.
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①若b=?2a,且点P在抛物线C2上,当c?a3a≤x≤c+2a5a时,抛物线C1 最低点的
纵坐标为?2,求抛物线C1 的解析式;
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【答案】∵b=?2a ，
∴ 抛物线C1的解析式为y=ax2?2ax+c=a(x?1)2?a+c ，
∴ 抛物线C1的顶点P的坐标为(1,c?a) .
∵ 抛物线C1绕点M旋转180? 得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为Q ，
∴ 点Q与点P关于点M(?2,0) 对称，
∴ 点Q的坐标为(?5,a?c) .
∴ 抛物线C2的解析式为y=?a(x+5)2+a?c .
∵ 点P(1,c?a)在抛物线C2 上，
?
∴?a(1+5)2+a?c=c?a ，
∴c=?17a ，
∴ 抛物线C1的解析式为y=ax2?2ax?17a .
∵c?a3a≤x≤c+2a5a ，
∴?6≤x≤?3 .
∵a>0，当?6≤x≤?3时，抛物线C1最低点的纵坐标为?2 ，
∴ 当x=?3时，y=ax2?2ax?17a=9a+6a?17a=?2 （点拨：抛
物线开口向上时，在对称轴左侧，y随x 的增大而减小），
∴a=1 ,
∴ 抛物线C1的解析式为y=x2?2x?17 .
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②若点B在点M左侧,AB=2BM,且b2?4ac=20,判断四边形APDQ 的形状,
并说明理由.
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【答案】四边形APDQ 是矩形，理由如下：
如图，连接PQ,则PQ经过点M，PM=MQ，AM=MD ，
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∴四边形APDQ 是平行四边形（依据：对角线互相平分的四边形是平行四
边形）.
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∵ 点P为抛物线C1：y=ax2+bx+c的顶点，b2?4ac=20 ，
∴ 点P的坐标为(?b2a,?5a) .
由y=ax2+bx+c=0，解得x=?b±b2?4ac2a=?b±252a ，
∴A(?b?252a,0)，B(?b+252a,0) ,
∴AB=?b+252a??b?252a=25a，BM=?2??b+252a .
∵AB=2BM ，
∴25a=?4??b+25a ，
∴?4a+b=45 .
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方法一：∵A(?b?252a,0)，M(?2,0) ，
∴AM=?2??b?252a=?4a+b+252a=35a .
∵PM2=(?2+b2a)2+(5a)2=45a2 ，
∴PM=35a ，
∴PM=AM ，
∴PM=AM=MQ=MD ，
∴AD=PQ ，
∴ 四边形APDQ 是矩形．
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方法二：由题意知点A,D关于点M 成中心对称,
∴ 点D的坐标为(?4+b+252a,0) ,
∴AD=?4+b+252a??b?252a=b?4a+25a=65a .
∵ 点P,Q关于点M 成中心对称,
∴ 点Q的坐标为(?4+b2a,5a) ,
∴PQ2=(?4+b2a+b2a)2+(5a+5a)2=(b?4aa)2+(10a)2=180a2 ,
∴PQ=65a ,
∴PQ=AD ,
∴ 四边形APDQ 是矩形.
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5.已知抛物线G：y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(?1,a?b+9)，且与y
轴交于点B，与x 轴仅有一个交点．
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（1）求点B 的坐标；
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【参考答案】∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A(?1,a?b+9) ，
∴a?b+c=a?b+9 ，
∴c=9 ,
∴ 点B的坐标为(0,9) .
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（2）当a+b取最小值时，求抛物线G 的解析式；
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【答案】∵ 抛物线y=ax2+bx+9与x 轴仅有一个交点（点拨：抛物线与
x轴仅有一个交点，即对于抛物线解析式，令y=0 时对应的一元二次方程
有两个相等的实数根），
∴b2?36a=0 ,
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∴a=b236 ,
∴a+b=136b2+b=136(b+18)2?9 ，
∴ 当b=?18时，a+b取得最小值，最小值为?9 ，
∴a=?b?9=9 ,
∴ 抛物线G的解析式为y=9x2?18x+9 .
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（3）若P，C(x1,m)，D(x2,m)(x1（点P与点B不重合），直线PC，PD与y轴分别交于点E，F ，且
BF=5BE，求m 的值．
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【答案】设P(x0,ax02+bx0+9) .
∵C(x1,m)，D(x2,m)(x1∴m=ax12+bx1+9,x1+x22=?b2a,
即x1+x2=?ba .
设直线PC的解析式为y=kx+p,
将C(x1,m)，P(x0,ax02+bx0+9) 分别代入，
得&m=kx1+p,&ax02+bx0+9=kx0+p,
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即&ax12+bx1+9=kx1+p,&ax02+bx0+9=kx0+p,
解得&k=ax0+ax1+b,&p=9?ax0x1,
∴直线PC的解析式为y=(ax0+ax1+b)x+9?ax0x1 ,
∴E(0,9?ax0x1) ,
∴BE=|9?9+ax0x1|=|ax0x1| .
同理可得BF=|ax0x2| .
∵BF=5BE ,
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∴|ax0x2|=5|ax0x1| .
∵ 点P与点B 不重合，
∴ax0≠0 ,
∴|x2|=5|x1| .
若x1=0,则x2=0 ,不符合题意，舍去，
∴x1x2≠0 .
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①当x1x2>0时，x2=5x1 .
∵x1+x2=?ba ,
∴x1=?b6a ,
∴m=ax12+bx1+9=a?b236a2?b26a+9=9?5b236a .
∵a=136b2 ,
∴m=9?5=4 .
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②当x1x2<0时，x2=?5x1 .
∵x1+x2=?ba ,
∴x1=b4a ,
∴m=ax12+bx1+9=a?b216a2+b24a+9=9+5b216a .
∵a=136b2 ,
∴m=9+454=814 .
综上，m=4或814 .
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6.已知抛物线G：y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,a+5b) ．
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（1）用含b的代数式表示c ；
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【参考答案】将点A(1,a+5b)的坐标代入y=ax2+bx+c ，
得a+b+c=a+5b ，
∴c=4b .
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（2）若抛物线G与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），且BC=6 ，求
点B 的坐标；
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【答案】方法一：
由（1）知抛物线G的解析式为y=ax2+bx+4b ，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=?b2a .
∵BC=6 ，
∴ 点B的坐标为(?b2a?3,0) .
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将B(?b2a?3,0)的坐标代入y=ax2+bx+4b ，
得0=a(?b2a?3)2+b(?b2a?3)+4b ，
化简，得b2?16ab?36a2=0 ，
∴(b?18a)(b+2a)=0 ，
∴b=18a或b=?2a ，
∴?b2a=?9 或1，
∴ 点B的坐标为(?12,0)或(?2,0) .
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方法二：由（1）知抛物线G的解析式为y=ax2+bx+4b ，
设B(x1,0)，C(x2,0) ，
则BC=|x1?x2| .
将y=0代入y=ax2+bx+4b，得ax2+bx+4b=0 ，
∴x1+x2=?ba，x1?x2=4ba .
∵BC=6 ，
∴(x1?x2)2=(x1+x2)2?4x1?x2=(?ba)2?16ba=36 .
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令ba=t，则t2?16t=36 ，
解得t=18或?2 ，
∴?b2a?3=?t2?3=?12或?2 .
易知x1=?b2a?3 ，
∴点B的坐标为(?12,0)或(?2,0) .
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（3）当y≤3时，自变量x的取值范围是x≤1?m或x≥m+1(m>0) ，
若点D(n,?9)在抛物线G上，求n 的取值范围．
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【答案】∵m>0 ，
∴1?m∵ 当y≤3时，x≤1?m或x≥m+1 ，
∴ 抛物线过点(1?m,3)和(m+1,3)且a<0 ，
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∴抛物线的对称轴是直线x=(1?m)+(1+m)2=1 ，
∴?b2a=1，
∴b=?2a ，
∴抛物线的解析式为y=ax2?2ax?8a=a(x?1)2?9a ，
∴抛物线的顶点坐标为(1,?9a) ，
∴?9a≥3 ，
∴a≤?13 .
?
当a=?13时，y=?13(x2?2x?8) .
令y=?9，得?13(x2?2x?8)=?9 ，
解得x=?5 或7.
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如图，过点(0,?9)作y轴的垂线，交抛物线于点F(n1,?9)，E(n2,?9) .
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∵|a| 越大，抛物线开口越小，
?
∴当a?5，n2<7 .
在y=a(x?1)2?9a中，令y=0 ，
解得x=?2 或4，
∴抛物线过点(?2,0)，(4,0) .
∵点F(n1,?9)只能在点(?2,0)的左边，点E(n2,?9)只能在点(4,0) 的右边，
∴?5∴?5

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